Formulation faible et formulation variationnelle

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1 Chapitre Formulation faible et formulation variationnelle. Une première approche en statique Marc Buffat UFR de Mécanique Université Claude Bernard, Lyon I 3 mars 7 On considère une poutre encastrée à une extrémité et soumise à une force de traction F dans la direction x figure.3. Comme il a été vue dans le chapitre précédent, l équation d équilibre locale des forces en statique s écrit en notant u xle déplacement d une section d abscisse x, S la section et E le module d Young : ES u =. A cette équation, il faut ajouter conditions aux limites :. la condition d encastrement en x = condition de Dirichlet : u =.. la condition de force imposée en x = l condition de Neuman : x ux l F avec l aide précieuse de Bernard Gay et Hamda BenHadid FIG.. poutre en traction

2 3 ES u = F.3 x=l Cette formulation du problème correspond à la formulation classique d équilibre local, qui traduit le principe fondamental de la mécanique F = m γ. En utilisant le principe des travaux virtuels, on peut écrire une formulation intégrale équivalente. Pour cela on considère un déplacement virtuel licite δu autour de la position d équilibre, et on calcul le travail des forces associées à ce déplacement. On multiplie donc l équation. par δu et on intègre dans le domaine pour calculer la somme des travaux dans le solide : l En intégrant par partie, il vient : l ES u δu dx = ES u [ δu dx = ES u ] l δu On calcule ensuite le terme de bord en utilisant les conditions aux limites. La condition de Neuman.3 permet de calculer ce terme en x = l. Pour le terme en x =, on note que le déplacement δu est un déplacement licite, qui doit respecter les liaisons. La condition de Dirichlet fixe la valeur de u en x =, et donc le déplacement δu doit s annuler en x = : δu =. On obtiens ainsi : l ES u δu dx = Fδu l }}}} travail des forces externes travail des forces internes.4 Cette équation traduit le principe des travaux virtuels appliquée au solide : la somme du travail des forces internes contraintesσ xx est égale à la somme du travail fourni par les forces externes force de traction F pour tous les déplacements virtuels licites vérifiant les liaisons δu =. C est la formulation faible de l équation. associée aux conditions aux limites.,.3, qui s écrit : Trouvez u x t.q.u = R l ES u δu dx = F δu.5 l δu t.q. δu = En utilisant le calcul des variations, on peut donner une interprétation de l équation.4. En effet cette équation s écrit sous la forme suivante : l u δ ES dx = δfu l Cette équation traduit la condition de stationnarité ou d extremum de la quantité Ju Ju = l u ES dx Fu l }}}} W U.6 Cette quantité Ju représente la somme de l énergie élastique U du solide et du travail virtuel W des forces extérieures appliquées. Pour ce problème statique, on peut calculer l énergie élastique U à l équilibre en utilisant la formulation faible.5. En effet, le déplacement u et sa variation δu vérifient les mêmes conditions aux limites, donc parmi toutes les variations virtuelles licites δu, on peut choisir δu = u dans.5. On obtiens ainsi : l u ES dx = Fu l d où l expression du potentiel à l équilibre : U = l u ES dx = Fu l = W L énergie élastique à l équilibre est donc égale à la moitié du travail de la force F pour un déplacement u l. C est l énergie fournie au solide, lorsque que l on passe de l état naturel i.e. sans contraintes avec F = à l état contraint par la force F. Ce passage doit se faire par une succession d états d équilibre correspondant à des petites augmentations δf de la force pour passer de à F. Dans ce cas le travail fournit est égale à la valeur moyenne F de la force entre et Fmultipliée par le déplacement ul. Ce travail fourni est emmagasinée dans le solide sous forme de potentiel élastique. C est ce que traduit la relation précédente. On note que la formulation faible ne donne pas le travail réel des forces, mais uniquement un travail virtuel autour de la position d équilibre pour une variation virtuelle licite autour de cette position. En effet l équilibre des forces implique l égalité des travaux de ces forces pour un petit déplacement autour de la position d équilibre. A partir de ces relations, on peut en déduire la valeur de la fonctionnelle Ju à l équilibre, qui est égale à l opposé de l énergie élastique : Ju = U W = U La condition de stationnarité de Ju, qui dans ce cas est un minimum, correspond à la formulation variationnelle de l équation. associée aux conditions aux limites.,.3, et s écrit : Trouvez u x t.q u = minimisant Ju Ju Ju vx t.q. u = avec Ju = R l ES u dx Ful.7 Pour un même problème, on a donc 3 formulations équivalentes :

3 4 5. la formulation locale des équations d équilibre : c est une équation aux dérivées partielles. associée à des conditions aux limites.,.3.. la formulation faible ou principe des travaux virtuels : c est une formulation intégrale.5 traduisant l équilibre des travaux des forces appliquées 3. la formulation variationnelle ou principe de stationnarité : c est un problème d extremum de minimisation ou de maximisation suivant le signe de Ju.7 traduisant à l équilibre un principe de stationnarité de l énergie du système. Suivant les problèmes, l une ou l autre formulation peut être la plus appropriée. Cependant l approximation par éléments finis nécessite l écriture de la formulation faible ou variationnelle du problème. Remarques D un point de vue mathématique, la formulation faible est la formulation la plus générale, car elle s applique à n importe quelle équation aux dérivées partielles. Elle permet en outre l accès à des solutions généralisées ou solutions faibles des équations aux dérivées partielles.. Une seconde approche en dynamique Considérons maintenant le problème de la vibration libre de la poutre encastrée précédente figure.3. L équation d équilibre s écrit : ρs u t ES u =.8 à laquelle on ajoute les conditions aux limites : u,t =, ES u l,t =.9 et les conditions initiales déformée u à t = et vitesse initiale nulle : u x, = u x, u =. t La formulation faible s obtient comme précédemment, en multipliant l équation par un déplacement virtuel licite δu à un instant t fixé et en intégrant sur tout le solide : l ρs u l t δu dx ES u δu dx = si Ju est minimum, alors Ju est maximum, et vice et versa Après intégration par partie du second terme, il vient : l ρs u l t δu dx ES u [ δu dx = ES u ] l δu En utilisant les conditions aux limites.9, la variation δu doit s annuler en x = : δu =. l ρs u l t δu dx Cette formulation faible s écrit : ES u δu dx =. Trouvez u x,t t.q. à chaque instant t u,t = R l ρs u δu t dx R l ES u δu dx = δu t.q. δu =. Dans cette formulation faible, on a considéré une variation δu x à un instant t donné. Cette équation traduit l égalité à chaque instant t du travail des forces d accélération et des forces élastiques. Pour écrire la formulation variationnelle, on considéré ce qu il se passe entre instants : l instant initial t = et un instant t = τ. Les positions d équilibres associées sont notées u x,t = et u x,t = τ, et on recherche quelles sont les différentes solutions possibles ux,t entre ces instants. Les différentes trajectoires solutions licites considérées ux,tcoïncident avec les états d équilibres à t = et à t = τ : ux, = u x, et ux,τ = u x,τ et vérifient les liaisons u,t = La variation entre la solution d équilibre et une de ces trajectoires : δu = u x,t ux,t, vérifie donc : δu x, =, δu x,τ =.3 et la condition de liaison δu,t =. Pour obtenir la formulation variationnelle, on intègre en temps l équation. entre l instant initial et l instant τ : τ l ρs u l t δu dx En intégrant par partie la dérivée seconde en temps, il vient : τ u t δu dτ = τ u t ES u δu dx dt =.4 [ ] δu τ u dτ t t δu Les conditions imposées sur la variation.3 impliquent la nullité du terme de bord, et l équation.4 devient :

4 6 7 τ l δ ρs u t dx l ES u dx dt = En notant L u, u = l u ρs dx l u ES dx t }}}} T=énergie cinétique U=énergie potentielle on obtiens : τ δ L u, u dt = Cette relation implique que la solution u doit être telle quea = R τ L u, u dt soit extremum. En terme mécanique, cette intégrale représente une action, et la fonctionnellel u, u le Lagrangien du système. En effet la fonctionnellel u, u = T U est la différence entre l énergie cinétique T du solide et son énergie potentielle élastique U. Elle représente le Lagrangien du système, et l équation précédente est la traduction du principe de moindre action en mécanique : la solution d équilibre du système u x,t est telle que l actiona = R τ L u, u dt soit minimum. L actiona est une fonctionnelle i.e. est fonction d une fonction u x,t. La condition de minimisation dea est donc que sa dérivée par rapport à u s annule généralisation de la condition d extremum d une fonction. La définition de la dérivée fonctionnelle de A est une généralisation de la dérivée d une fonction par rapport à une variable, et est fonction de la variation direction de dérivation δu. < da A u λδu A u,δu >= lim du λ λ En utilisant cette définition, et en utilisant un calcul classique de variations, la condition de minimisation de l action conduit aux équations de Lagrange pour un milieu continu : < d L L, δu >= δu licite.5 dt u u qui correspondent à la formulation faible.5, ou principe des travaux virtuels. A partir de ce formalisme Lagrangien, on peut retrouver les propriétés du système. On définit la quantitéeu, u par Pour un système discret à N degrés de liberté, la fonction inconnue u est un vecteur à N composantes q i}, et on obtiens alors les N équations de Lagrange : d L L = pour i =,N dt q i q i E u, u = L u u L Cette quantité reste constante au cours du temps puisque par définition dee u, u d dt E u, u = E u, u = cste L ü d L u dt u L = L ü d u dt = < d L dt u u d dt L u u L, u > u L u ü L u u Cette dernière expression est nulle, puisquel u, u vérifie les équations de Lagrange.5. Cette quantitée u, u = T L = T U est en faite l énergie totale du système : E u, u = l u ρs dx l u ES dx t }}}} T=énergie cinétique U=énergie potentielle qui se conserve au cours du temps. Pour ce système conservatif, on retrouve donc le principe de conservation de l énergie. La formulation variationnelle de notre problème s écrit : Trouver u x,t t.q. u,t = minimisant l actiona= R τ L u, u dt La condition de minimisation de l action conduit aux équations de Lagrange : < d L L, δu >= dt u u qui correspondent la formulation faible.5, ou principe des travaux virtuels Trouver u x,t t.q. à chaque instant t < d L dt u L u, δu >= δu licite

5 8.. Élasticité linéaire Pour un problème dynamique en élasticité linéaire, utilisant une formulation en déplacement U, le Lagrangien s écrit sous la forme : L U, U = ρ U U t. t } } T dv σ ε dv }} U ρ f. U dv } } W Γ ρ F. U ds } } W et comprend l énergie cinétique T, l énergie potentielle élastique U qui est le produit tensoriel du tenseur des contraintes et du tenseur des déformations, le travail des forces volumiques externes f et le travail des forces surfaciques externes 3 F. En utilisant la loi de comportement élastique, et la définition du tenseur des déformations : σ = D ε, ε = grad U grad t U l énergie élastique s écrit en fonction du déplacement sous la forme : U = grad t U grad t U D grad U grad t U dv Les équation de Lagrange s écrivent alors : < d L L, δu i >= pour i =,3 dt u i u i.. Problème statique Dans le cas d un problème statique : u = u t =, le Lagrangien ne dépendant que de u x, et s écrit en tenant compte du terme de force extérieure F : L u = Fu l l u ES dx }} travail des forces extérieures }} énergie élastique Il correspond donc à l opposée de la fonctionnelle J.6 :L u = Ju. La formulation faible.5 correspond donc bien aux équations de Lagrange à l équilibre statique : < L u, δu >= δu 3 conditions aux limites de Neuman force imposée 9..3 Système dynamique amorti Dans le cas d un système mécanique amorti, on introduit une force supplémentaire d amortissement F a, en générale dépendant de la vitesse u. Cette force n est pas conservative, et on ne peut plus définir de LagrangienL u, u pour le système complet et écrire les équations de Lagrange.5. En revenant au principe des travaux virtuels, on calcul le travail virtuel de la force d amortissement : l F a u.δu dx et en utilisant le Lagrangien précédent pour la partie conservative L u, u = l ρs u t dx l ES u dx on obtiens les équations de Lagrange généralisées, ou principe des travaux virtuels < d L L l, δu > F a u.δu dx = δu licite dt u u Dans ce cas, on ne peut plus appliquer de principe de moindre action ou formulation variationnelle. On dispose uniquement de la formulation faible, ou principe des travaux virtuels. Exercice : Écrire la formulation faible dans le cas de vibrations forcées induites par une force dépendant du temps Ft appliquée en x = l. On pourra montrer que dans ce cas le Lagrangien s écrit : Exercice : L u, u = l ρs u t dx l ES u dxfu l Écrire la formulation faible dans le cas où le système précédent est amorti, avec un amortissement intrinsèque proportionnel à la masse. Dans une section d épaisseur dx la force d amortissement s écrit : l ρsdx u τ t Montrez que les équations de Lagrange s écrivent : ρs u l t δu dx ES u δu dx l ρs τ u δu dx = Fu l δu licite t

6 y V= x V=V V= FIG.. écoulement dans une cavité V=.3 Formulation faible en mécanique des fluides Considérons l écoulement d un fluide incompressible très visqueux dans une cavité carrée = [,L] [,L] dont la partie supérieure est mise en mouvement figure.4. Par entraînement visqueux, le fluide se met en mouvement dans la cavité pour former un tourbillon. En considérant le problème comme plan, les équations d équilibre sont les équations de Stockes : v v =.6 µ v ρ v = p.7 ρ µ v ρ v = p.8 ρ auxquels on ajoute les conditions aux limites d adhérence aux parois : Vx,L = [V,], Vx, = V,y = VL,y =.9 Pour écrire la formulation faible de ce système on considère à un instant t une variation de vitesse δ V. Cette variation doit être licite, i.e. si on fixe la valeur de la vitesse condition de Dirichlet, la variation s annule condition de Dirichlet homogène : L δ Vx,L = δ Vx, = δ V,y = δ VL,y =. Les équations d équilibre.7,.8 sont la projection de l équation vectorielle : µ div grad V = grad p ρ que nous multiplions donc scalairement par δ V et intégrons sur le domaine pour obtenir la puissance virtuelle des forces appliquées pour une variation δ V de la vitesse : µ div grad V δ V dxdy = grad p δ V dxdy ρ En intégrant par partie les termes il vient : µ grad V gradδ µ V dxdy grad V n δ V dγ = ρ Γ ρ pdiv δ V dxdy p n δ V dγ Γ En utilisant les conditions. imposées à δ V : δ V =, les intégrales de Γ bord s annulent et il reste : µ grad V gradδ V dxdy = pdiv δ V dxdy. ρ.3. Première formulation faible du problème de Stockes Si on impose de plus à la variation δ V d être incompressible : divδ V =, on obtiens une première formulation faible du problème : Trouvez V t.q.div V = et.9 R µ ρ grad V gradδ V dxdy = δ V t.q.divδ V = et. L équation intégrale projetée sur les axes ox,oy s écrit aussi : µ v δv ρ v µ v δv ρ v δv δv dxdy = δv dxdy = δv. Cette formulation faible traduit le fait que la somme des puissances des forces visqueuses doit être nulle pour toute variation de vitesse δ V licite et incompressible. On constate que la pression n intervient plus dans cette formulation, puisque que la puissance des forces de pression est automatiquement nulle pour une variation de

7 3 vitesse δ V licite et incompressible. On retrouve l interprétation classique du champ de pression dans un écoulement de fluide incompressible : la pression p sert à maintenir le champ de vitesse incompressible i.e. div V =. Dans la formulation variationnelle., on impose au champ de vitesse et à sa variation de rester incompressible, et donc on élimine la pression du problème. On constate que l élimination de la pression a aussi découplée les équations de vitesse. Attention cependant, ce découplage n est que relatif, puisque la condition d incompressibilité couple les composantes de vitesse. Cette formulation faible découle d un problème variationnelle, puisque pour ce problème on peut définir un Lagrangien : L v,v = v µ ρ v v v dxdy Le champ de vitesse solution minimise ce LagrangienLv,v, qui n est autre que l énergie dissipée sous forme visqueuse. La solution du problème de Stokes.6,.7,.8 est donc le champ de vitesse incompressible vérifiant les conditions aux limites.9 qui minimise la dissipation visqueuse. La formulation faible correspond alors aux équations de Lagrange : < L, δv > v = < L, δv > v =.3. Seconde formulation faible du problème de Stockes Si on n impose pas à la variation du champ de vitesse d être incompressible, la formulation intégrale. contient un terme de pression p. Il faut donc tenir compte d une variation δpde ce champ de pression, qui doit être tel que le champ de vitesse V reste incompressible. Il faut donc multiplier l équation.6 qui est la condition d incompressibilité div V = par δp et intégrer sur le domaine : δpdiv V dxdy = On remarque que c est le terme symétrique de l intégrale de pression dans., et qui traduit le fait que la puissance de toute variation de pression δpcalculée pour le champ de vitesse V doit être nulle. La formulation faible de.6,.7,.8 s écrit donc Trouvez V, psatisfaisant..9 R µ ρ grad V gradδ V dxdy = R δ pdiv V R δpdiv V dxdy = δ V,δp t.q.. dxdy Cette formulation correspond aussi à un problème variationnel dont le Lagrangien s écrit : L v,v, p = v µ ρ v p v et les équations de Lagrange : v dxdy < L, δv > v = < L, δv > v = < L p, δp > = v v dxdy Dans le Lagrangien, on remarque que la contrainte div V = est multipliée par la pression. La pression apparaît donc comme le multiplicateur de Lagrange de la contrainte d incompressibilité. Dans la pratique, nous utiliserons plutôt la seconde formulation dans laquelle la contrainte est imposée explicitement à travers la pression, car elle est en générale plus simple à approximer numériquement. Cependant certaines méthodes numériques utilisent la première formulation..3.3 Problème instationnaire Pour le problème de Navier-Stockes avec des termes instationnaires, on applique le principe des puissances virtuelles pour obtenir la formulation faible des équations. Par contre, cette formulation n est plus associée à une formulation variationnelle, puisque que l on ne peut pas définir de Lagrangien..4 Formulation faible : approche mathématique Nous avons vu dans les exemples précédents que la formulation faible peut être obtenue à partir de principes mécaniques principe des travaux virtuels, principe des puissances virtuelles, d une formulation lagrangienne pour des systèmes conservatifs. En fait cette formulation faible peut s appliquer à n importe quel système d équations aux dérivées partielles en utilisant une généralisation de l approche qui utilise l analyse fonctionnelle. C est cette approche que nous présentons sur l exemple de l équation de la chaleur stationnaire avec un second membre fx : u = f dans = [,].3

8 4 5 et les conditions aux limites : La démarche est la suivante : u =, u =.4. On multiplie l équation.3 par une fonction test de x quelconque variation de ux vx, et on intègre sur le domaine. Il vient : e u vdx = f.vdx. On intègre par partie le terme de plus haut degré en utilisant une formule de green : [ ] u v u dx v = f.vdx l objectif de cette intégration par partie est de symétriser le problème et de faire apparaître une intégrale de bord pouvant être calculé à l aide des conditions aux limites 3. On calcul l intégrale de bord à l aide des conditions aux limites. Pour les conditions de Dirichlet, on impose la valeur de la fonction, donc on impose à la fonction test qui est variation de s annuler. Pour les conditions de Neuman, la condition aux limites permet le calcul du terme de bord si le problème est bien posé. On a donc avec.4 : v = et v = ce qui permet de calculer le terme de bord : 4. On obtiens alors la formulation faible : [ ] u v = = u v dx = f.vdx qui doit être vérifiée quelque soit la fonction test vxvérifiant la condition imposée : v =, v = 5. On regarde quelles sont les conditions à imposées sur la fonction uxet les fonctions tests vxpour que cette formulation ait un sens : la fonction ux doit vérifier u =, u = et posséder une dérivée première de carré sommable en espace i.e. telle que les intégrales puissent être calculées dans la formulation faible. la fonction test vx doit vérifiée v =, v = et posséder une dérivée première de carré sommable. D un R point de vue mathématique, les fonctions fx de carré sommable i.e. telle que fx dx existe forment un espace vectoriel de Hilbert notél. Cet espace contient l espace des fonctions continuesc, mais est bien plus vaste : une fonction continue par morceaux appartiens àl, mais pas àc. Cet espace vectoriel est doté d un produit scalaire, noté <,> f,g = fxgxdx.5 De même les fonctions, dont la dérivée est de carré sommable, forment un espace vectoriel de HilbertH. Cet espace contiens l espace des fonctions à dérivées continuesc, mais est bien plus vaste. La formulation faible s écrit alors : Trouvez ux H t.q. u =, u =.6 u v dx = f.vdx v H t.q. v =,v = D un point de vue mathématique et numérique, cette formulation.6 a de nombreux avantages par rapport à l équation aux dérivées partielles.3. En particulier les conditions de régularité imposées sur la solution moins contraignantes dans.6 avec une solution dans H, que dans.3 avec une solution dansc. Cela permet d une part de calculer des solutions généralisées i.e. qui ne sont pas dansc, et d autre part la construction plus simple d approximations de la solution qui seront dans H même si la solution est dansc. Cette formulation faible a été obtenue par une généralisation du principe des travaux ou puissances virtuelles. En notant H l espace des fonctions v de H telles que v =, v =, elle s écrit : Trouvez ux H R u v dx = R f vdx vx H soit en utilisant le produit scalaire.5 Trouvez ux H u, v = f,v vx H On peut donner une interprétation de cette formulation. Notons symboliquement l équation aux dérivée partielle.3 associée aux conditions aux limites.4 : Lu = f Le résidu de cette équation s écrit pour une fonction w :

9 6 7 Rw = Lw f La formulation faible consiste à écrire que pour la solution u, le résidu Ru doit être orthogonal au sens du produit scalaire.5 à l espace des fonctions tests v Ru,v = v H En intégrant par partie, on symétrise ce produit scalaire, pour obtenir une forme bilinéaire au,v = u, v. L équation finale s écrit donc au,v = f,v v H.7 Un théorème mathématique Lax Milgram permet alors de montrer l unicité de la solution ux, qui est la projection dans H de la forme linéaire lv = f,v. Si la forme bilinéaire au,v est symétrique et V-elliptique i.e. définie positive, cette forme bilinéaire est un produit scalaire dans H, et le problème correspond à un problème de minimisation d une fonctionnellej w dans H. Pour notre problème : u au,v =, v = u,v H et la fonctionnellejw s écrit : J w = aw,w lw = w,w H f,w Cette fonctionnelle est bien minimale en u. En effet, en posant v = w u J w = J uv = u,u H < u,v > H < v,v > H f,u f,v = Ju < v,v > H < u,v > H f,v et en utilisant.7, il vient J w = Ju < v,v > H Ju w H Cette fonctionnelle Ju est le Lagrangien du système au signe près, et on retrouve la formulation variationnelle : Trouvez ux H t.q J u Jw w H.8 avecj w = aw,w lw = w dx f.wdx Pour ce problème, on peut calculer la valeur de la fonctionnelle Ju à l équilibre, en choisissant comme fonction test vx la solution ux dans la formulation faible. d où au,u = lu J u = au,u lu = au,u.5 Formulation faible discrète Nous avons vue qu il existait plusieurs approches travaux virtuels, Lagrange, approche formelle pour obtenir la formulation faible d une équation ou système d équations aux dérivées partielles Lu = f. Cette formulation faible peut s écrire sous la forme symbolique : Trouvez u V.9 au,v = lv v V où Vest l espace des solutions, au,v la forme bilinéaire associée aux dérivées partielles de l équation et lvla forme linéaire associée au second membre. L espace des solutions V est un espace de fonctions de dimension infinie, et la recherche d une solution analytique de.9 dans cet espace n est en générale pas possible. On recherche donc une solution approchée u h, en construisant une approximation V h de dimension finie N de l espace des solutions V. On se donne pour cela une famille libre de N fonctions Φ i } i=,n de V, et on construit l espace vectoriel V h engendré par ces N fonctions : } V h = v h /v h N = v i Φ i V i= On cherche alors la solution de la formulation dans cette espace V h, en résolvant le problème discret : Trouvez u h V h au h,v h = lv h v h V h En décomposant la solution u h sur la base des fonctions Φ j u h N = u j Φ j j=

10 8 9 et en prenant comme fonction test v h chacune des fonctions de base Φ i ce qui est équivalent, la formulation faible s écrit, en tenant de la bilinéarité de au,v N aφ j,φ i u j = lφ i pour i =,N j= qui n est autre qu un système linéaire d ordre N AU = B avec A i j = aφ j,φ i, U = u i }, B = lφ i }.3 qu il suffit de résoudre pour obtenir la solution approchée u h. Si le problème admet une formulation variationnelle, la solution u h minimise la fonctionnelle Jv h dans V h : Ju h = N N N u i aφ j,φ i u j u i lφ i i= j= i= = Ut AU UB t Ju h est une fonction quadratique de N variables u i }, qui est minimum si le gradient de Ju,u,..u N par rapport à ces N variables est nul. Or N J = u i A i j U j B i j= et la condition de minimisation conduit alors au système linéaire.3. La méthode des éléments finis n est qu une méthode particulière pour construire l espace V h et les fonctions de base Φ i. Pour terminer, nous allons donner quelques propriétés de la formulation faible discrète. cette formulation traduit l orthogonalité du résidu de l équation par rapport à l espace des fonctions tests : au h,v h lv h = Lu h f,v h = v h V h si a, est un produit scalaire dans V, alors la solution approchée u h est la projection de la solution exacte u dans V h, i.e. l erreur u u h est perpendiculaire à V h4 : au u h,v h = u u h,v h = V vh V u h est alors la meilleur approximation de u dans V h, puisque la norme de l erreur u u h est minimum au u h,u u h = u u h u v h V V vh V h pour le montrer on calcul au v h,u v h avec v h = u h w h 4 puisque au,v h = lv h et au h,v h = lv h v h V h, et V h V on en déduit que l approximation u h est au moins aussi bonne que l interpolation u I de u dans V h obtenue en associant N points d interpolation P i aux N fonctions de base Φ i : u I N = up i Φ i i= i.e. l erreur d approximation u u h est majorée par l erreur d interpolation V u u I V.5. Traitement d un exemple Considérons le problème.3,.4 avec f =.La solution analytique u ex est le polynôme du second degré : u ex x = x x La fonctionnellej u de la formulation variationnelle.8 s écrit : J u = et un calcul directe fournit : u dx udx J u ex = Nous allons calculer une approximation de cette solution exacte sur une base de fonctions trigonométriques. Compte tenu des conditions aux limites et des propriétés de symétrie du problème par rapport à x = /, les fonctions choisies sont les fonctions de base Φ i : Φ i x = sin i πx Et nous allons calculer la solution approchée u h en utilisant que deux fonctions de base Φ et Φ u h x = a Φ xa Φ x On peut alors calculerju h analytiquement en utilisant Maple par exemple J u h = 4 π a 9 4 π a 3 3a a π Cette fonctionnelle est un paraboloïde de révolution représenté sur la figure.3, dont le minimum est obtenu par résolution du système d équations : J u h a =, J uh a =

11 fonctionnelle Juh Approximation Uh Erreur d approximation a.5 a x Legend Uex Uh x Legend Uex-Uh FIG..4 solution approchée u h et erreur d approximation u ex u h Ces équations s écrivent : FIG..3 fonctionnelle Ju h π a 9π =, π a 3π = Ces équations sont identiques à celles obtenues avec la formulation faible.6, en remplaçant la solution exacte u par son approximation u h, et les fonctions tests v par les fonctions de base Φ et Φ 5. Ce système d équations linéaires permet de déterminer les coefficients inconnus a i }. La solution approchée u h s écrit : u h x = 4 π 3 sinπx 4 7π 3 sin3πx On a tracé sur la figure.4 la solution approchée u h comparée à la solution exacte u ex, ainsi que l erreur d approximation u ex u h. On constate sur la figure que l on a une très bonne approximation de la solution, avec une erreur uniformément répartie de l ordre de % maximum. Pour cette solution approchée u h, la valeur de la fonctionnelleju h vaut : J u h = 38 8π qui est légèrement plus grande que la valeur exacte.3. 5 les variations δu h sont des combinaisons linéaires des fonctions de base Nous allons maintenant montrer que la solution approchée u h calculée avec la formulation faible discrète est la meilleure approximation 6 de la solution exacte u ex du problème dans l espace d approximation V h engendré par les fonctions de base Φ et Φ. Pour cela nous allons tout d abord comparer u h à l interpolation u I dans V h de la solution exacte u ex aux 5 points d interpolations X =, 4,, 3 4,}. Cette interpolation de u ex s écrit : u I x = b Φ xb Φ x et coïncide avec la solution exacte aux points d interpolation X i : u I X i = u ex X i i =,5 Compte tenu des propriétés de symétrie du problème, ces 5 relations ne donnent que équations indépendantes; b b = 3 3, b b = 8 qui permettent la détermination unique des coefficients b et b. L interpolation u I s écrit donc : 3 u I x = 64 3 Φ x 6 64 Φ x 6 Cette solution approxime bien la solution exacte u ex, comme on peut le constater sur la figure.5, mais l erreur d interpolation est plus grande en moyenne que l erreur d approximation comme on le constate sur cette même figure. 6 au sens de la normel.5

12 Interpolation UI Erreur d interpolation et d approximation x x Legend Uex UI Legend Uex-UI Uex-Uh FIG..5 solution interpolée u I et erreur d interpolation u ex u I Pour le vérifier, on calcule l erreur moyenne en normel : u I u ex dx.37 5, u h u ex dx.67 5 et constate donc que l erreur d approximation est plus faible que l erreur d interpolation, et donc la solution u h est meilleure que l interpolation u I. De façon plus générale, si l on cherche la fonction v h de V h qui minimise l erreur d approximation au sens de la normel : err = v h u ex dx on retrouve l approximation u h. De même, si l on cherche la fonction v h de V h qui minimise l erreur d approximation au sens de la norme associée à la fonctionnellej err = vh u ex dx on retrouve encore l approximation u h. En fait la minimisation de cette erreur conduit à la formulation faible discrète, d où le résultat.