SYMETRIE CENTRALE EXERCICES

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1 SYMETRIE CENTRALE EXERCICES DÉMONTRER EN UTILISANT LES PROPRIÉTÉS DE LA SYMÉTRIE Exercice 1. Etant donnés trois points non alignés A, B et O, on appelle A' et B' les symétriques respectifs de A et B par rapport à O. Soit M un point alignés avec A et B ; que peut-on dire du point M' symétrique de M par rapport à O? Justifier la réponse. Exercice 2. Soient un cercle C de centre I et deux diamètres distincts [AB] et [CD]. Quelle est l'image de la droite (AC) par rapport à I? Démontrer que les droites (AC) et (BD) sont parallèles entre elles. Exercice 3. Soient deux cercles concentriques C et C ', de centre I, un diamètre [AB] de C et un diamètre [CD] de C '. Quelle est l'image de l'angle ÂCB et ÂDB ont la même mesure. ÂCB par rapport à I? Démontrer que les angles Exercice 4. Un triangle ABC est isocèle en A ; le point D est le symétrique de B par rapport à A. Démontrer que le triangle ADC est isocèle en A. Exercice 5. Soient (d 1 ) et (d 2 ) deux droites perpendiculaires entre elles, I un point n'appartenant à aucune de ces droites, et (d 3 ) l'image de (d 1 ) par rapport à I. Démontrer que la droite (d 3 ) est perpendiculaire à (d 2 ). Exercice 6. Un triangle ABC est rectangle en A, le point D est le milieu de [BC], et le point E est l'image de A par rapport à D. Démontrer que l'angle BEC est droit. Exercice 7. Soient ABC un triangle, I et J les milieux respectifs de [AB] et [AC], E l'image de C par rapport à I et F celle de E par rapport à J. 1 ) Démontrer que AE = BC 2 ) Démontrer que CF = AE. 3 ) Que peut-on dire des longueurs BC et CF? Exercice 8. Tracer deux droites (d) et (d') sécantes en A et placer un point M n'appartenant à aucune de ces deux droites. Construire les points : R symétrique de M par rapport à (d) ; S symétrique de M par rapport à (d') ; T symétrique de M par rapport à A. Démontrer que A est équidistant des points M, R, S et T. Exercice 9. Soit ABCD un quadrilatère dont les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu O. Démontrer que les côtés opposés [AB] et [CD] sont parallèles entre eux ainsi que les côtés opposés [AD] et [BC] (Un tel quadrilatère est appelé parallélogramme). 1

2 CONSTRUCTIONS Exercice 10. Les points B' et C' sont les symétriques respectifs des points B et C par rapport à I. Construire le point A' symétrique de A par rapport à I en utilisant uniquement la règle non graduée. Justifier cette construction. Exercice 11. On a tracé un quadrilatère ABCD et son symétrique A'B'C'D' par rapport à un point O. Une partie de la figure a été effacée. Reconstituer l'ensemble de la figure en utilisant uniquement la règle non graduée. Exercice 12. Tracer un cercle de centre I et [AB] l'un de ses diamètre, puis placer un point M appartenant au cercle, distinct de A et de B. En utilisant uniquement la règle non graduée, construire la droite parallèle à (AM) passant par B. Exercice 13. Tracer un cercle de centre I, puis placer un point M n'appartenant pas au cercle. En utilisant uniquement la règle non graduée, construire le point N symétrique de M par rapport à I. Exercice 14. Tracer un carré ABCD de centre I, puis placer un point M n'appartenant pas au carré. En utilisant la règle non graduée et l'équerre, construire le point N symétrique de M par rapport à I. 2

3 DIVERS Exercice ) Voici un message à décoder : «NO JNRXVL XEHA FSJDELRLOV ALA RNHVNOA GHL ALA SRDA» Pour ce faire, reporter dans le tableau suivant la clé «PYTHAGORE» P Y B C puis compléter le tableau en écrivant dans l ordre les lettres restantes de l'alphabet. A l'aide de ce tableau, remplacer chaque lettre du message crypté par celle qui se trouve dans la case symétrique par rapport au centre du tableau. 2 ) En choisissant une nouvelle clé, coder un message. Transmettre ce message crypté, ainsi que la clé, à un camarade qui doit le décoder. 3

4 CORRECTIONS Exercice 1. Données : Le point A' est l'image de A par rapport à O. Le point B' est l'image de B par rapport à O. Le point M' est l'image de M par rapport à O. Les points M, A et B sont alignés. Propriété : Si des points sont alignés alors leurs images par symétrie centrale sont alignées. Conclusion : Les points M', A' et B' sont alignés. Exercice 2. Donnée : La droite (BD) est l'image de (AC) par rapport à I. Propriété : Une droite et son image par symétrie centrale sont parallèles entre elles. Conclusion : Les droites (AC) et (BD) sont parallèles entre elles. Exercice 3. Donnée : L'angle ÂDB est l'image de ÂCB par rapport à I. Propriété : Un angle et son image par symétrie centrale ont la même mesure. Conclusion : Les angles ÂCB et ÂDB ont la même mesure. Exercice 5. Première étape, on démontre que les droite (d 3 ) et (d 1 ) sont parallèles entre elles : Donnée : La droite (d 3 ) est l'image de (d 1 ) par rapport à I. Propriété : Une droite et son image par symétrie centrale sont parallèles entre elles. Conclusion : Les droites (d 3 ) et (d 1 ) sont parallèles entre elles. Deuxième étape, on démontre que les droite (d 3 ) et (d 2 ) sont perpendiculaires entre elles : Donnée : Les droites (d 3 ) et (d 1 ) sont parallèles entre elles. Les droites (d 2 ) et (d 1 ) sont perpendiculaires entre elles. Propriété : Si deux droites sont parallèles entre elles et une troisième droite est perpendiculaire à l'une alors cette troisième droite est perpendiculaire à l'autre. Conclusion : Les droites (d 3 ) et (d 2 ) sont perpendiculaires entre elles. Exercice 10. Le point A étant alignés avec B et C, son image A' sera alignés avec B' et C', car les symétries centrales conservent les alignements. Le point A' étant l'image de A par rapport à I, ces trois points sont donc alignés. Ainsi, le point A' est à l'intersection des droites (AI) et (B'C'). 4

5 Exercice 11. On prolonge les côtés visibles du quadrilatère ABCD afin de retrouver aux intersections les sommets B et D, le sommet B étant "en bas" puisque son image B' est "en haut". On trace ensuite les segments [AA'] et [BB'] afin de retrouver le centre de symétrie O. On retrouve le sommet C' à l'intersection de (CO) et de la demi-droite d'origine B' ; on retrouve D' à l'intersection de (DO) et de la demi-droite d'origine A'. Exercice 15. On reporte la clé «PYTHAGORE» dans le tableau puis on le complète : P Y T H A G O R E B C D F I J K L M N Q S U V W X Le message se décrypte en remplaçant chaque lettre du message crypté par son image par symétrie centrale par rapport à la lettre F du tableau, ainsi : l'image de N par la symétrie centrale est O ; l'image de O est N ; celle de J est C ; etc... Le message décodé est une citation du philosophe Socrate : «ON COMPTE PLUS FACILEMENT SES MOUTONS QUE SES AMIS». 5

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