TD4 COMPRESSEUR CINEMATIQUE

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1 JLB TD4 Compresseur cinématique Etude graphique 1 TD4 COMPESSEU CINEMATIQUE Le fruit de cette séquence sera un document papier rédigé TES proprement (couleur, règle, compas ). On donne ci-contre le schéma obtenu lors du premier TP. La trame de tracé graphique est fournie. L objectif de ce TD/TP est de comprendre comment le logiciel de simulation a construit les courbes qu il nous fournit. On rappelle que la vitesse angulaire de la manivelle est de 600 tours / minutes. 1 ETUDE GAPHIQUE 1) Déterminer la relation entre les positions angulaires de 1 et et déduisez en la vitesse à laquelle tourne le moteur lorsque la manivelle tourne à 600 trs/mn. ) Construire graphiquement les différentes positions des solides, 3 et 4. Sur la trame fournie, à partir de la position initiale donnée, vous ferez varier la position angulaire de de 15 en 15 sur un demi-tour ( tournant dans le sens positif = sens trigonométrique = anti-horaire). Vous construirez pour chaque position angulaire les points A et B. 3) Complétez le graphe à deux axes fourni et tracez X (ordonnée) en fonction de α (abscisse) pour un tour complet. Déduisez de ce tracé la course du piston 4 (variation de position pour un tour). 4) L arbre tourne à 600 tours par minute. Déterminez le laps de temps mis pour parcourir 15. Complétez l axe des abcisses en le graduant en secondes. 5) Déterminez la vitesse moyenne du piston. 6) Question pour les champions : proposez une méthode pour déterminer la vitesse instantanée du piston ETUDE ANALYTIQUE 7) Déterminer analytiquement la position de B en fonction de l angle α. A partir de la figure fournie ci-contre, proposez une méthode pour déterminer X en fonction de l angle α, des longueurs e et L. Une piste? Vous serez amené à exprimer le cosinus de l angle α. 8) Suite prévue : exploitation de la relation à l aide d un tableur. Tracé précis de la courbe de position du piston en fonction du temps (incrément de 5 ) Tracé précise de la courbe de vitesse instantanée en fonction du temps.

2 TD4 Compresseur cinématique Etude analytique JLB Schéma du mini-compresseur et paramétrage. OA = e = 9 mm AB = L = 40 mm JD = 1 = 4 mm CJ = = 4.4 mm Pignon 1 : 10 dents oue : 61 dents OB = X caractérise la position de 4 par rapport à 0. θ caractérise la position angulaire de 1 par rapport à 0 α caractérise la position angulaire de par rapport à 0 β caractérise la position angulaire de 3 par rapport à 0

3 JLB TD4 Compresseur cinématique Etude analytique 3 Document réponse - Tracé de la position du piston en fonction du temps

4 4 TD4 Compresseur cinématique Correction JLB 3 COECTION Il existe plusieurs unités pour mesurer les angles, vous connaissez le degré, mais il y a aussi : le grade (gr), le tour (tr) et le radian (rd). 1 (tr) 360 ( ) π (rd) 400 (gr) La circonférence d un cercle se calcule grâce à la formule C = π. Or C est l arc parcouru sur un cercle de rayon lorsque l on fait 1 tour. Il suffit donc de faire une règle de trois (pour vous un tableau de proportionnalité) pour trouver la longueur MN de l arc dans le cas d un angle α quelconque. On obtient immédiatement : MN = α Longueur arc C = π MN Question 1 angle π α Lorsque la roue 1 tourne d un angle θ, la roue tourne d un angle α. Le point coïncident J devient J 1 sur la roue 1 et J sur la roue On a compris que le principe de l engrènement fait que la longueur de l arc parcouru sur la roue 1 est la même que celle de l arc parcouru sur la roue. Donc JJ 1 = JJ Il suffit de traduire cette égalité sachant que : JJ = α et JJ 1 = 1 θ On ajoute le signe moins pour traduire le fait que les deux roues tournent en sens inverse, donc que les angles sont de signes opposés. Question -3 α = α = 1 1 θ θ Numériquement : α θ N = 600 trs/mn N 1 N = trs/mn La construction de X pour α [0 à 180 [ est donnée ci-contre Puis par symétrie on obtient X pour α [ ] La course totale c = OA = 18 mm

5 JLB TD4 Compresseur cinématique Correction 5 Question L arbre tourne à 600 trs/mn soit 10 trs/s soit 0.1 s pour un tour (=360 ). Pour 15 = 360/4 on met donc 0.1/4 = s. Le piston parcourt 18 mm par tour, donc m en 0.1 s soit une vitesse moyenne V moy = distance / temps = 0.036/0.1 = 0.36 m/s

6 6 TD4 Compresseur cinématique Correction JLB Pour déterminer la vitesse instantanée il faut faire la même chose entre deux positions successives très rapprochées (distance entre deux points de la courbe / ). Question 7 Le point O est un point fixe, le point B est un point mobile appartenant au piston. On cherche la position du piston, celle-ci est donc caractérisée par la distance [OB] = X. On projette A en H sur OB. On obtient ainsi deux triangles rectangles en H : (OHA) et (AHB) On écrire : X = OB = OH + HB Dans le premier triangle (OHA) cos α = OH OA HA sin α = OA OH = OAcos α OH = HA = OA sin α HA = Dans le deuxième triangle (AHB) HA HB HB = + HB = L L = AB ( esin α) ( esin α) ( esin α) + HB ecos esin = L emarque : on est sur que L ( e sin α) racine carrée est donc définie. Finalement : X = OH + HB X = ecos α + X = ecos α + L e ( ) sin α X = 9cosα + α α est positif car e < L, la L ( esin α) En application numérique (en mm) : ( ) sin α Vérifions que nous n avons pas raconté de bêtise pour quelques positions caractéristiques lorsque α = 0, α = 90 = π/, α = 180 = π. X X = 9cos0 + π = 9cos sin0 π sin ( ) = = = 49 mm = = mm X = 9cos π sin ( π) = = 31mm On retrouve EXACTEMENT les valeurs déterminées graphiquement (heureusement!).

7 JLB TD4 Compresseur cinématique Correction 7 appels Dans le triangle ci-contre : c cos α = ; s sin α = ; tan α = s c sin α = cos α Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1. On considère un repère (x,y) centré en O. Soit M un point de la circonférence : [OM] = 1 On définit l angle α = (Ox ; OM). C est la projection orthogonale de M sur (O,x), de même S est la projection orthogonale de M sur (O,y). [OC] = c : [OS] = s On retrouve ici : OC c CM s cos α = = = c ; sin α = = = s CM 1 OM 1 Le cercle trigonométrique ( = 1) permet donc de connaître directement le sinus et le cosinus de n importe quel angle : il suffit de tracer l angle afin de définir le point M sur la circonférence. La projection de M sur (O,x) donne directement le cosinus, la projection de M sur (O,y) donne directement le sinus. On peut de la même façon définir la tangente. On considère le point T obtenu en prolongeant OM jusqu à la droite parallèle à (O,y) et tangente au cercle. Avec les triangles semblables : s c = t 1 = t Or s = sinus α et c = cos α On retrouve donc bien : sin α = t = tan α cos α