MEDIATRICE (RAPPELS DE CINQUIEME).
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- Josephine Rochefort
- il y a 7 ans
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1 ours de Mr Jules lasse de quatrième ontrat 2 p.1 MEDITRIE (RPPELS DE INQUIEME). I. MEDITRIE D UN SEGMENT DE DRITE. Définition : La médiatrice d un segment est droite : passant par le de ce segment, à ce segment. Exercice 1: tracer à la règle et au compas la médiatrice de [] ( notée med[] ). N oubliez pas de coder la figure! Exercice 2 : placer de telle sorte que la droite d soit la médiatrice de [] Placer un point M sur med []. omment semble être le triangle M?.. d odage!. Propriété métrique de la médiatrice : (1 condition ou hypothèse) (1 résultats ou conclusion) Quand M est sur la médiatrice d un segment [] alors M = M utrement dit : Lorsque un point est situé sur la médiatrice d'un segment, alors il est situé égale distance des deux extrémités de ce segment. Utilité : cette propriété sert à prouver une égalité de.. Inversement : Réciproque de la propriété métrique de la médiatrice (1 condition ou hypothèse) (1 résultats ou conclusion) Quand M = M alors M est sur la médiatrice du segment [] utrement dit : Lorsque. un point est équidistant 1 des extrémités d'un segment, alors c est un point de la médiatrice de ce segment. Utilité : cette propriété sert à prouver qu un point est sur une.. 1équidistants : de equi : "égal". Equidistants veut dire: situés à égale distance.
2 ours de Mr Jules lasse de quatrième ontrat 2 p.2 ommentaire : Quand une propriété et sa réciproque sont vraies en même temps, n dit que cette propriété est caractéristique : ici, seul l objet médiatrice et lui seul a tous ses points équidistants de 2 points fixes. pplication directe : onstruction à la règle et au compas du centre d un cercle Placer trois points distincts sur ce cercle. Puis construire grâce aux médiatrices le centre de ce cercle. II. ERLE IRNSRIT UN TRINGLE. Théorème : Les 3 médiatrices des cotés d un triangle se en un point. n dit qu elles sont c.. en ce point. e point de concours des 3 médiatrices est équi des trois sommets du triangle : c est le centre du.. au triangle Exercice : onstruire le cercle circonscrit à ce triangle. Preuve du théorème :
3 ours de Mr Jules lasse de quatrième ontrat 2 p.3 TRINGLE RETNGLE & ERLE IRNSRIT : Vocabulaire: Le plus grand côté d un triangle rectangle s appelle l.. (avec un seul h car il n y a qu un seul plus grand côté!). ttention : n a le droit d utiliser le mot hypoténuse que si on sait déjà que le triangle est rectangle! I. THEREME DIRET :. ctivité 6 p146: Soit un rectangle D et I le point d intersection des diagonales. Placez I. D Puisque D est un..., alors rectangle en.... et I milieu de son hypoténuse [...] Nous allons montrer que I est équidistant de, et (et D accessoirement). Puisque I milieu de la diagonale [] alors. = =... 2 Puisque I milieu de la diagonale [D] alors. = =... 2 Puisque D est un rectangle alors. =. donc..=.=... 2 =... 2 =.=.. ette dernière égalité nous dit que : I = I = I (= ID aussi) utrement dit, I est équi. des points, et. Donc, et sont sur un même cercle : le cercle de centre. (qui est déjà le milieu de l hypoténuse []) et de diamètre l hypoténuse [..]. Tracez ce cercle. QFD
4 ours de Mr Jules lasse de quatrième ontrat 2 p.4 n vient de prouver le théorème suivant :. Théorème direct : Théorème direct : «triangle rectangle et cercle circonscrit» (1 donnée ou hypothèse) (1 résultat ou conclusion) Quand est un triangle en alors : [ ] est sur le cercle de diamètre [] utrement dit : Lorsqu un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit est le cercle de diamètre l hypoténuse. Utilité : e théorème sert à prouver qu un point est sur un. Figure : Exercice : Sans tracer de médiatrices, construire le cercle circonscrit à. odage!. 3 onséquences importantes du théorème direct : Lorsqu un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le.. de l hypoténuse. Lorsqu un triangle est rectangle, le milieu de l hypoténuse est équi.. des 3 sommets du triangle rectangle. -à-d, avec la figure du théorême : =.. = =... 2 La dernière égalité dit la chose suivante : «Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane issue de l angle droit est la moitié de la longueur de l hypoténuse.» Un triangle inscrit 2 dans un cercle mais dont aucun des côtés n est un diamètre de ce cercle, ne peut pas être un triangle rectangle. Dessiner un triangle inscrit dans ce cercle et qui ne soit pas rectangle. 0 2 Do you know this word?
5 ours de Mr Jules lasse de quatrième ontrat 2 p.5 Inversement, qu en est il d un triangle inscrit dans un cercle et dont un des côté est un diamètre de ce cercle? Est il rectangle? Le suspense est à son comble. Il faut pour cela étudier le problème réciproque. est justement ce qu on va faire dans ce qui suit. III. THEREME REIPRQUE : Reprenons un cercle (figure ci contre) Tracer un diamètre [L] puis placer un troisième point M sur le cercle, distinct de et. omment semble être de LM? 0 Réciproque du Théorème : «triangle rectangle et cercle circonscrit» (2 données ou hypothèses) (1 résultat ou conclusion) Quand : [ ] distinct de et de alors est un triangle en utrement dit : Lorsqu un triangle est inscrit dans un cercle avec un de ses 3 côtés comme diamètre du cercle, alors ce triangle est rectangle. Utilité : e théorème sert à prouver qu un triangle est. Figure : Preuve du théorème réciproque: Décor : Soit un cercle de diamètre [] et un point sur [ ] L idée est la suivante : plutôt que montrer directement que est rectangle en, on va prouver que est «la moitié» d un rectangle. Et le tour sera joué! Soit D le symétrique de par rapport à. (le placer) Puisque D de par rapport à alors :.. de [ ] et donc [ ] est aussi un diamètre du.. Prouvons que D est un : Puisque =. commun de [..] et [..] alors [ ], distinct de et. D est un. Rappel : un quadrilatère ayant ses deux diagonales se en leur et de même. est un. Puisque D est un.. alors ( ) (.) donc triangle..en QFD.
6 ours de Mr Jules lasse de quatrième ontrat 2 p.6 2 onséquences importantes de la réciproque : Lorsque le milieu d un côté d un triangle est équi de ses 3 sommets, alors ce triangle est. Lorsque le centre du cercle cir. à un triangle est le milieu d un côté, alors ce triangle est Remarque finale : Puisque cette propriété du triangle rectangle avec son cercle circonscrit ( à savoir que son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit) et sa réciproque sont toutes les deux vraies, cette propriété caractérise les triangles rectangles : elle est vraie pour eux et pour eux seulement! Nous allons voir dans le cours qui suit une autre propriété (sur les longueurs cette fois) qui va encore caractériser les triangles rectangles : le célèbre Théorême de Pythagore.
7 ours de Mr Jules lasse de quatrième ontrat 2 p.7 THEREME DE PYTHGRE I. Qui était Pythagore? Pythagore était un mathématicien grec de la fin du 6 ème s. av. J., il serait né au large des côtes turques. Il fonda l école des Pythagoriciens qui était en fait une secte de 220 membres environ. Elle dura 1500 ans. Ils avait des activités religieuses, philosophiques, mathématiques et politiques. Leur devise était «Toutes choses sont des nombres». Toutes les découvertes scientifiques de cette école étaient rapportées à Pythagore! Il est donc impossible de distinguer les inventions de Pythagore de celles de ses disciples. Il fut l élève de Thalès. omme pour ce dernier, on ne dispose d aucune œuvre car, à cette époque, l enseignement était oral. n ne sait donc pas si Pythagore a démontré le théorème qui porte son nom! La mort de Pythagore semble étrange. Voici la version la plus répandue : un jour, sa maison fut incendiée par ses ennemis. Plusieurs de ses disciples furent tués. Pythagore lui même se sauva pour se retrouver dans un champs de haricots. Il s arrêta et déclara qu il préférait être tué plutôt que de traverser de champ de haricots. Ses poursuivants le prirent au mot et lui tranchèrent la gorge. II. Les Pythagoriciens : Ils ont découvert entre autres : Le raisonnement par l absurde. Les premières démonstrations sur l irrationalité de 2 ( c-à-d qu on ne peut pas écrire 2 sous forme d une fraction) et sur la somme des angles d un triangle. Les premières classifications des nombres en nombres pairs et impairs ainsi que les règles : pair + pair = pair impair + impair =. pair + impair =.. pair pair = pair impair = pair impair impair = impair Ils construisirent 3 polyèdres réguliers (parmi les cinq) : le cube, le tétraèdre et le dodécaèdre. Platon avait démontré qu il n existait que cinq polyèdres réguliers dans l espace, les deux autres étant l octaèdre et l icosaèdre. (Un polyèdre régulier est un solide ayant toutes ses faces qui sont des polygones réguliers (carré, triangle équilatéral, pentagone régulier )) III. Théorème de Pythagore :. Historique : Le théorème de Pythagore était connu des abyloniens ( dès av. J. soit 1000 ans avant Pythagore!) : des textes gravés sur une tablette d argile ont été trouvés. Précisons que les abyloniens ne connaissaient pas le théorème sous sa forme générale mais utilisaient ce qu'on appelle des triplets pythagoriciens (nous verrons par la suite ce qu est un triplet pythagoricien). e fameux «théorème de Pythagore» ( appelé ainsi depuis le milieu du XX e siècle) fut appelé au début du XX e siècle «le Pont-aux-ânes de la géométrie» par les lycéens ( connaissance «permettant» de juger de l intelligence de quelqu un). Il a eu au fil du temps différents noms : «Théorème de la mariée» chez les Grecs ; «haise de la mariée» chez les Hindous, «Figure de l'épousée» chez les Perses pour la réciproque du théorème de Pythagore. Et maintenant, voyons ce qu est ce théorème. Place aux Maths! Vive les..!
8 ours de Mr Jules lasse de quatrième ontrat 2 p.8. Théorème de Pythagore, sens direct : 1. ctivité introductrice : Soit un triangle rectangle en. alculer d une part : =.. + alculer d autre part : =...+ = 2 =.. =... Que remarquez vous? Que =. 5 cm Soit maintenant un triangle non rectangle. alculer d une part : =.. + =...+ = alculer d autre part : 2 =.. =... Que remarquez vous? Que... Je ne vous étonnerai pas si je vous affirme que, de même, après calculs, on aurait aussi : et Théorème de Pythagore direct: Théorème de Pythagore version directe : (1 donnée ou hypothèse) (1 résultat ou conclusion) Quand est un triangle en alors = 2 hypoténuse 2 = utrement dit : Lorsqu un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l angle droit. Utilité : e théorème sert à calculer des longueurs.
9 ours de Mr Jules lasse de quatrième ontrat 2 p.9 Preuve(s) du théorème : Il existe environ 370 démonstrations de ce théorème! La plus ancienne est une démonstration chinoise. n démontre d abord facilement, par des considérations d angle que D est un carré. Puis,on calcule l aire du carré D de deux façons : 1 ère façon en considérant le grand carré : aire(d) =. = c.. 2 ème façon en considérant le découpage : aire(d) = 4 aire du. + aire du petit carré de côté (b-a) = 4 + (.)² 2 = 2ab + a² + b² 2ab (admis) = a² + b² Finalement, en regroupant les résultats des 2 calculs, on obtient bien + = c 2 Une autre démonstration géométrique : QFD n dispose de deux façons (voir les deux figures et ) quatre triangles rectangles de longueur d hypoténuse a et de longueur de côtés b et c. Tout d abord, on arrive facilement à démontrer que JGHI est un carré ( on utilise le fait que, dans un triangle rectangle, les deux angles, autres que l angle droit, sont complémentaires ). Puis, on remarque que dans chaque figure, les aires en blanc sont évidemment Donc ire grisée dans ire grisée dans -à-d ire du carré.... = ire du carré. + ire du carré. Finalement = +. QFD Démonstration d Euclide (grand mathématicien grec du VIème s. av. J) : Le film de cette démonstration est visible sur Je vous invite à la regarder chez vous.
10 ours de Mr Jules lasse de quatrième ontrat 2 p.10 Démonstration par Garfield en 1876 : Garfield était le 20e président des Etats-Unis. Il s est inspiré de la démonstration des hinois. Voici la figure sur laquelle il s est appuyée. Sa démonstration repose sur l aire du trapèze calculée de deux manières. en est fini pour les démonstrations! triangle rectangle : 3. Utilité de Pythagore : calculer la longueur inconnue d un côté dans un Soit rectangle en et tel que = 5 cm et = 2 cm, calculer. n sait que est rectangle en et on connaît 2 longueurs. Grâce au théorème de Pythagore, on va pouvoir trouver la troisième longueur. Modèle de rédaction : Puisque rectangle en alors, d après le théorème de Pythagore, 2 = donc 2 = = =... + D où la valeur exacte pour : = 29 cm ( 29 est le nb positif qui a pour carré 29) La longueur mesure exactement 29 cm. la calculatrice, on peut avoir une valeur approchée de : cm. vous : Soit NL un triangle rectangle en L tel que L = 2 et LN = 3. Faire une figure. alculer en appliquant exactement la méthode ci dessus N. figure Exercice : (ide p.170 «ppliquer») Soit un triangle rectangle en tel que = 3 cm et = 5 cm. Faire une figure (faites un schéma au brouillon d abord). En appliquant exactement la méthode ci dessus, calculer (donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie au mm).
11 ours de Mr Jules lasse de quatrième ontrat 2 p onséquence du théorème de Pythagore version directe : Dans un triangle : Quand le carré de la longueur du plus grand côté est DIFFERENT de la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle NE peut PS être rectangle Exercice : onstruire le triangle de dimensions 4cm ; 5 cm ; 6cm. Semble-t-il rectangle?.. Prouver qu il ne l est pas!. Réciproque du théorème de Pythagore : 1. Question : Réciproquement, un triangle vérifiant = 2 est il forcément rectangle en? Prenons un exemple : onstruire le triangle tel que = 2,4 cm ; = 3,2 cm ; = 4 cm alculer d une part = figure alculer d autre part 2 = Quelle égalité vérifie le triangle? vous semble-t-il rectangle? ù?.. 2. Réciproque : Le fait que = 2 semble obliger le triangle à être rectangle en, n est pas un pur hasard! Il s agit en fait de la réciproque du théorème de Pythagore. Réciproque du Théorème de Pythagore (1 donnée ou hypothèse) (1 résultat ou conclusion) Quand = 2 alors est un triangle en 2 = utrement dit : Lorsque, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle ; le plus grand côté est alors l hypoténuse.
12 ours de Mr Jules lasse de quatrième ontrat 2 p Utilité de la réciproque de Pyth. : Prouver qu un triangle est rectangle. Un triangle MNP dont les dimensions sont MN = 12 cm, MP = 35 cm et NP = 37 cm est-il rectangle? n ne peut pas construire ce triangle sur la feuille! Et pourtant, grâce aux 3 longueurs données, on peut vérifier si il est rectangle ou pas. D une part D autre part Modèle de rédaction : MN 2 + MP 2 =.. +. =.. +. =.. NP 2 =.. =. Puisque MN 2 + MP 2 = NP 2 alors, d après la réciproque du thm de Pythagore, MNP rectangle en M. Exercices : (voir aussi p.171 «ppliquer») P N M es deux triangles semblent rectangles. Le sont ils vraiment? (appliquer exactement la méthode!)
13 ours de Mr Jules lasse de quatrième ontrat 2 p Quelques remarques : Puisque le Théorème de Pythagore et sa réciproque sont vrais, on dispose maintenant d une 2 ème propriété caractéristique pour le triangle rectangle (avec celle du cercle circonscrit) : les triangles rectangles et eux seuls ont leur carré du plus grand côté = somme des carrés des 2 autres côtés! En Mésopotamie, en Inde, et même en Egypte, on utilisait des cordes à nœuds pour obtenir des angles droits ( pour construire des autels...). Par exemple une corde à 13 nœuds régulièrement espacés permet de tracer un triangle rectangle de côtés 3 ; 4 ; 5 ( les nœuds n 1 et 13 se confondent ) Voici une liste des triplets de nombres entiers vérifiant la relation de Pythagore a²+b²=c² ( 3 ; 4 ; 5 ) ( 5 ; 12 ; 13 ) ( 6 ; 8 ; 10 ) ( 7 ; 24 ; 25 ) ( 8 ; 15 ; 17 ) (12 ; 16 ; 20 ) (12 ; 35 ; 37 ) ( 15 ; 20 ; 25 ) ( 15 ; 36 ; 39 ) ( 20 ; 21 ; 29 ) ( 119 ; 120 ; 169 ) es triplets de nombres sont appelés triplets pythagoriciens car ils peuvent être la mesure des trois côtés d un triangle rectangle. es triplets sont connus des maçons qui les utilisent pour «fabriquer» des angles droits. IV. Distance d un point à une droite : Il est très facile de définir la distance entre deux points : c est la. du joignant ces deux points. Mais entre un point est une droite? Moins facile! Situation : figure Tracez une droite d (qui symbolisera une rivière) et M un point (qui symbolisera vous même mort de soif) extérieur à d. Essayez de tracer en rouge le plus court chemin vers la délivrance! Maintenant, tracer en vert la perpendiculaire à d passant par M et H le point d intersection de cette perpendiculaire et d. Votre chemin rouge et [MH] coïncident-ils?.. Si non, aviez vous si soif que cela pour faire un détour?! Résultat : Le point H est le point 2 de d le plus proche de M. utrement dit : Quand on prend un point N sur d, différent de H, alors MN > MH. Preuve : 2 à titre d information : ce point H s appelle le projeté orthogonal de M sur d.
14 ours de Mr Jules lasse de quatrième ontrat 2 p.14 Puisque MHN est en H, alors, d après le théorème de..,. =.. donc MH 2 < MN 2 (car HN 2 est positif) donc MH.. MN (car on n a que des quantités positives!) QFD Définition : La distance d un point M à une droite (d) est la longueur MH, où H est le pied de la perpendiculaire à (d) passant par M Exercices : 1) Tracer un triangle quelconque. Mesurer la distance du point à la droite (). 2) Tracer une droite, puis placer un point M à 2 cm de cette droite. V. Tangente à un cercle en un point : Positions relatives d une droite et d un cercle : Placer dans chaque cas le point H sur d de telle sorte que H soit la distance du centre à la droite d. ompter le nombre de points d intersection entre le cercle et d. d d d r r r as sécant : d coupe le cercle. 2 points d intersection et H < r as tangent : d coupe le cercle. point d intersection et H. r as distinct : d ne coupe pas le cercle... point d intersection et H. r
15 ours de Mr Jules lasse de quatrième ontrat 2 p.15 Définition : Une tangente à un cercle est une. qui.. ce cercle en un unique point appelé point de contact. Propriété : u point de contact, la tangente est perpendiculaire au rayon joignant ce point de contact et le centre. Exercices : Tracer la tangente au cercle, passant par. Tracer le cercle de centre et tangent à d. ide p.169 «ppliquer» Exercice : Soit un cercle de centre. Placer un point M sur le cercle et tracer la tangente au cercle passant par M. Placez un point N sur cette tangente. Quelle est la nature de MN?
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