CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES. Utiliser le cercle trigonométrique, notamment
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- Maxime Clermont
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1 Chapitre 6 Trigonométrie CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale. Utiliser le cercle trigonométrique, notamment pour : - déterminer les cosinus et sinus d angles associés; - résoudre dans R les équations d inconnue x : cosx = cosa et sinx = sina. L étude des fonctions cosinus et sinus n est pas un attendu du programme. 1
2 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
3 Table des matières 6 Trigonométrie 1 I - Rappels : le cercle trigonométrique II - Mesure des angles orientés de vecteurs III - Propriétés des angles orientés IV - Cosinus et sinus d angles orientés
4 Dans tout le chapitre, (O; #» ı, #» j)ou (O;I,J)est un repère orthonormé du plan. I - Rappels : le cercle trigonométrique Définition 1 On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1. Ce cercle est orienté dans le sens direct (sans contraire des aiguilles d une montrer), c est le sens trigonométrique. On dit alors que le plan est orienté. Propriété 1 Tout point N d abscisse x de la droite des réels vient se superposer à un point M du cercle trigonométrique et on associe ainsi à tout réel x un unique point M du cercle trigonométrique. Exemple 1 le point I est l image des réels 0, π, 4π,... et π, 4π,... le point J est l image des réels π, 5π, π... les réels π, 7π et 5π sont associés au même point, en effet : 7π π = π et 5π π = π. Propriété Si x est un réel et M son point associé sur le cercle trigonométrique alors M est associé à tous les réels de la forme : x+k π avec k Z. Exemple Le réel π π = π 1π = 11π est aussi associé au point J. Définition Soit M un point du cercle trigonométrique. La longueur de l arc de cercle ĪM étant proportionnelle à l angle géométrique IOM, cette longueur est appelée mesure en radian de l angle géométrique IOM. Remarque : Degrés π π π π Radians 0 π π 6 4 Un angle de 1 radian mesure environ 57, : 1 rad = 180 π 180 = 60. Définition Soit M un point du cercle, on appelle mesure en radian de l angle orienté ( OI, #» OM) #» tout nombre réel x associé à M. Exemple π 11π est une mesure de l angle orienté ( #» OI, #» OJ), dans ce cas on dit que le repère (O;I,J)est direct. est une autre mesure de ( #» OI, #» OJ). Remarque : On écrira que ( OI, #» OJ) #» = π (π) (se lit «modulo π») pour dire que π de cet angle orienté. 4 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes est une mesure en radian
5 II - Mesure des angles orientés de vecteurs Définition 4 Soit E et F deux points du cercle trigonométrique. On note x un réel associé à E et y un réel associé à x. On dit que le réel y x est une mesure de l angle orienté ( #» OE, #» OF). F(y) O J y x #» v E(x) I #» u Définition 5 Soit #» u et #» v deux vecteurs non nul du plan. Il existe deux points E et F du cercle trigonométrique tels que #» u et OE #» soient colinéaires de même sens et #» #» v et OF également. On dit que le réel y x est une mesure de l angle orienté ( #» u, #» v). Propriété Si α est une mesure de l angle orienté ( #» u, #» v) alors les autres mesures de cet angle orienté sont les réels α+k π avec K Z. On écrit alors : ( #» u, #» v) = α+k π,k Z ou ( #» u, #» v) = α (π). Démonstration Soit x et x deux réels associés à E, y et y deux réels associés à F. D après la propriété, x = x+k π et y = y +k π, ainsi y x = y x+(k k) π. Propriété 4 L angle orienté ( #» u, #» v) possède une unique mesure α ] π;π]. Cette mesure est appelée la mesure principale de l angle orienté ( #» u, #» v). Démonstration Les mesures] de l angle orienté #» u, #» v) sont de la forme x+k π. L intervalle x π 1 ; x π + 1 ] est d amplitude 1 car x π + 1 ( x π 1 ) = 1. Il existe donc un unique nombre entier relatif k 1 contenu dans cet intervalle, et on a : x π 1 < k 1 x π + 1 x π < k 1 x π π π x π < k 1 π x+π π < x+k 1 π π Le nombre α = x+k 1 π est l unique mesure de l angle ( #» u, #» v) contenue dans l intervalle ] π;π]. Exemple 4 D C ABCD est un carré direct, on a ( IB, #» IC) #» = π = π (π). π #» est la mesure principale de ( IB, IC). #» ( CD, #» ID) #» = ( BA, #» BI) #» = π 4 (π). I A B Remarques : ( #» u, #» u) = 0 (π) et ( #» u, #» u) = π (π). Un angle orienté de mesure 01π a pour mesure principale π car 01 = 5 6 +, ainsi 5 6π +π = 5 π +π. Un angle orienté de mesure 01π a pour mesure principale π Lycée Pierre-Gilles de Gennes 01π car 01 = 01 10π π, ains =
6 01π 5 = 01 10π π 5 = 01 π π 5. III - Propriétés des angles orientés Propriété 5 Relation de Chasles des angles orientés Pour tous vecteurs #» u, #» v et #» w non nuls, on a : ( #» u, #» v)+( #» v, #» w) = ( #» u, #» v) (π). Propriété 6 Pour tous vecteurs #» u et #» v non nuls. (1) ( #» v, #» u) = ( #» u, #» v) (π) ; () ( #» u, #» v) = ( #» u, #» v) (π) ; () ( #» u, #» v) = ( #» u, #» v) = ( #» u, #» v)+π [π]. #» u #» v #» v #» u Démonstration (1) ( #» v, #» u)+( #» u, #» v) = ( #» v, #» v) = 0 π. D où ( #» v, #» u) = ( #» u, #» v) (π). () ( #» u, #» v) = ( #» u, #» v)+( #» u, #» v)+( #» v, #» v) = π +( #» u, #» v)+π = ( #» u, #» v) (π). () ( #» u, #» v) = ( #» u, #» v)+( #» v, #» v) = ( #» u, #» v)+π (π). ( #» u, #» v) = ( #» u, #» u)+( #» u, #» v) = ( #» u, #» v)+π (π). Remarque : Somme des angles orientés d un triangle A ( AB, #» AC)+( #» CA, #» CB)+( #» BC, #» BA) #» = ( AB, #» AC)+( #» AC, #» BC)+( #» BC, #» BA) #» (π) = ( AB, #» BA) #» = π (π). B C IV - Cosinus et sinus d angles orientés Définition 6 Soit M un point du cercle trigonométrique associé à un réel x. On note : (1) cos(x) l abscisse de M dans le repère (O;I,J) (cosinus du réel x); () sin(x) l ordonnée de M dans le repère (O;I,J) (sinus du réel x); Propriété 7 On a le tableau de valeurs particulière ci-dessous : π π π π x cos(x) sin(x) Lycée Pierre-Gilles de Gennes
7 Démonstration Soit M le point du cercle trigonométrique associé au réel π, le triangle OMI est équlilatéral, ainsi la droite (MM ) est médiatrice du segment [OI], on en déduit que OM = cos π = 1. D après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle OMMM, on a OM = OM + M M 1 = 1 4 +M M M M = 4 d où M M = = sin π. Par symétrie, on a cos π 6 = et sin π = 1. Soit M le point du cercle trigonométrique associé au réel π 4, et M le pied de la perpendiculaire à (OI) passant par M. Le triangle OMM est isocèle rectangle en M, d après le théorème de Pythgore, on a OM = OM + MM 1 = OM OM = 1 d où OM = MM = 1 = = cos π 4 = sin π 4. Propriété 8 Pour tout réel x, on a : (1) 1 cos(x) 1 et 1 sin(x) 1. () (cosx) +(sinx) = 1. () cos(x+k π) = cosx et sin(x+k π) = sinx pour tout entier relatif k. Grâce au () de cette propriété, on peut définir le cosinus et le sinus d un angle orienté : Définition 7 Soit #» u et #» v deux vecteurs non nuls. Soit x une mesure en radian de l angle orienté ( #» u, #» v). On pose : cos( #» u, #» v) = cosx et sin( #» u, #» v) = sinx. Exemple 5 ABC est un triangle rectangle en A, tel que ( #» CB, #» On a cos( #» CB, #» CA) = cos π = 1, sin( #» AB, #» AC) = sin CA) = π (π). Ä π ä = 1 et cos( #» CB, #» BC) = cos π 6 =. Cosinus et sinus d angles associé On dit que deux angles sont associés lorsqu ils admettent des cosinus ou des sinus égaux ou opposés. 7 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
8 Propriété 9 Pour tout réel x : (1) cos( x) = cos(x) et sin( x) = sin(x) Å ã Å ã π π (4) cos +x = sin(x) et sin +x = cos(x) () cos(π +x) = cos(x) et sin(π +x) = sin(x) Å ã Å ã π π (5) cos x = sin(x) et sin x = cos(x) () cos(π x) = cos(x) et sin(π x) = sin(x) Exemples ( 6 ) π Ä cos = cos π π ä = cos π = 1 ; ( ) 5π Ä sin = sin π + π ä = sin π = ; ( ) ( ) 79π 80π π Ä cos = cos = cos 0π π ä Ä = cos π ä = cos π 4 4 =. Équations du type cos(x) = cos(a) et sin(x) = sin(a) 8 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
9 Propriété 10 Soit a un réel fixé. (1) Les solutions de l équation cosx = cosa sont les réels a+k π et a+k π où k Z. () Les solutions de l équation sinx = sina sont les réels a+k π et π a+k π où k Z. Exemples 7 1. Résoudre dans R les équations cos(x) = 1 et sin(x) =.. En déduire les solutions de ces équations dans [0;π[ puis dans ] π;π].. Résoudre dans R, puis dans [0;π[ l équation cos(x) = sin(x). Ä 4. Résoudre sur ] π; π] l équation sin x π ä = Lycée Pierre-Gilles de Gennes
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