FERS À CHEVAL, ENTROPIE ET DIMENSION. Table des matières. 1. Variétés stables de points fixes

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1 FERS À CHEVAL, ENTROPIE ET DIMENSION Table des matières 1. Variétés stables de points fixes 1 2. Intersections homoclines et fers à cheval 2 3. Ensembles hyperboliques et feuilletages (in)stables 4 4. Entropie topologique 7 5. Dimensions fractales 8 Références Variétés stables de points fixes Soit f : M M difféomorphisme C r, r 1, d une variété de dimension finie d Définition et existence. Definition 1.1. Soit p M un point k-périodique : f k (p) = p. On pose E s p := T p M Λ<1 EC Λ et Eu p := T p M Λ>1 EC Λ avec EC Λ l espace caractéristique (complexifié) correspondant à la valeur propre Λ C pour (f k ) (p). On dit que p est hyperbolique si E s p E u p = T p M. La variété stable d un point périodique p M : W s (f, p) := {x M : lim n d(f n x, f n p) = 0} La variété instable : W u (f, p) := W s (f 1, p). Théorème 1.1. Si p M est un point périodique hyperbolique, on pose d s := dim E s. Alors W s (f, p) est une immersion d une variété C r : W s (f, p) est l image d une application injective u : R ds M de classe C r avec u (t) : R ds T u(t) M injective pour tout t R ds. De plus, T p W s (f, p) = E s et et, pour tout ɛ > 0 : W s (f, p) = {x M : lim n 1 n log d(f n x, f n p) < 0} W s (f, p) = f n ({x M : sup d(f n x, f n p) < ɛ}) n 0 n 0 Date: Café culturel 4 juin

2 2 Exemple 1.2. Application ( ) linéaire sans valeurs propres de module 1 : 2 1 O M = R 2 et A =. L application induite sur le tore T Un temps T > 0 du flot du pendule x + x = 0. Démonstration. Transformée de graphe. Point fixe contractant à paramètre Dépendance par rapport aux paramètres. Théorème 1.2. Dans la situation du théorème précédent, les difféomorphismes g proches de f admette un point k-périodique p g proche de p et les parties compactes de W s (g, p g ) dépendent continument de g : il existe une application continue, définie au voisinage de f, U : g Diff r (M) u g C r (] 1, 1[, M) tel que p g = u g (0) est un point fixe hyperbolique de g qui tend vers p quand g f dans la topologie C 1 et u g (] 1, 1[) W s (g, p g ). Théorème 1.3. Si (λ, x) f λ (x) est de classe C r, alors W s (p g ) dépend C r du paramètre λ R k on peut trouver (λ, t) R k R u λ (t) M de classe C r. Démonstration. Démontrer d abord un théorème de la variété centrestable. 2. Intersections homoclines et fers à cheval 2.1. Définition et illustration. Definition 2.1. Une intersection homocline pour un point périodique hyperbolique p M est un point q M tel que q W s (f, p) W u (f, p) Elle est dite transverse si T q W s (f, p) T q W u (f, p) = T q M (bien définis!). Dans le cas contraire : tangence homocline. Exemple 2.2. Les points de la séparatrice du pendule mathématique sont des tangences homoclines. Par perturbation locale, on peut obtenir des intersections homoclines transverses (voir Fig. 1). On peut aussi créer ces intersections homoclines transverses dans un cadre hamiltonien : x + sin x = ɛ cos t, ɛ 0 assez petit (méthode de Melnikov, voir [?] ou [?]. Pour T A : T d T d, A matrice hyperbolique, les intersections homoclines sont denses. Elles sont toutes transverses. Théorème 2.1 (Crovisier 2006). Tout difféomorphisme f d une variété compacte satisfait, après perturbation C 1 arbitrairement petite, la dichotomie suivante : ou bien f est Morse-Smale, en particulier l ensemble des points récurrents est fini et ne contient que des points périodiques ; ou bien f admet une intersection homocline transverse.

3 BROUILLON 3 Figure 1. Exemples de points fixes hyperboliques correspondant à l équilibre instable du pendule : points p k = ((2k + 1)π, 0) R R, k Z (en haut) ; point p = (π + 2πZ, 0) sur R/Z R (au milieu) et création d une intersection homocline transverse q par perturbation locale (en bas). Poincaré a le premier découvert la complexité lié aux intersections homoclines transverses (voir Fig. 2) Que l on cherche à se représenter la figure formée par ces deux courbes et leurs intersections en nombre infini dont chacune correspond à une solution doublement asymptotique, ces intersections forment une sorte de treillis, de tissu, de réseau à mailles infiniment serrées ; chacune de ces courbes ne doit jamais se recouper elle-même, mais elle

4 4 Figure 2. Conséquences géométriques d une intersection homocline transverse. doit se replier elle-même d une manière très complexe pour venir couper une infinité de fois toutes les mailles du réseau. On sera frappé de la complexité de cette figure, que je ne cherche même pas à tracer 2.2. Fer à cheval de Smale. Il s agit d un modèle localement linéaire, voir Fig. 3 Théorème 2.2. Il existe π : {0, 1} Z M continue, injective, avec π σ = f π et π({0, 1} Z ) = K := n Z f n ([0, 1] 2 ). Autrement dit, f : K K est topologiquement conjugué au décalage complet σ : {0, 1} Z {0, 1} Z. En particulier, K contient une orbite dense et les points périodiques y sont denses. On vérifie facilement que K = n Z f n U pour tout voisinage U de [0, 1] Ensembles hyperboliques et feuilletages (in)stables 3.1. Ensembles hyperboliques. Definition 3.1. Un ensemble compact invariant Λ M est hyperbolique s il existe des nombres C <, κ < 1 et une décomposition T x M = E s x E u x tels que, pour tout x Λ : f (x).e s x = E s fx et f (x).e u x = E u fx ; v E s x n 0 (f n ) (x).v Cκ n ;

5 BROUILLON 5 Figure 3. Fer à cheval de Smale. v E u x n 0 (f n ) (x).v Cκ n. Il est commode de supposer que dim E s x et dim E u x) sont des constantes d s (K) et d u (K) pour x Λ. Exemple 3.2. Les ensembles suivants sont hyperboliques : {f n p : n Z} si p point périodique hyperbolique ou point homocline d un point périodique hyperbolique. T d pour T A hyperbolique. le fer à cheval de Smale. Théorème 3.1 (Katok 1980). Soit f un difféomorphisme de classe C 1+ sur une surface compacte. Pour tout ɛ > 0, il existe un ensemble hyperbolique d entropie topologique ɛ-proche de h top (f).

6 6 Démonstration. Principe variationnel. Inégalité de Ruelle. Théorie de Pesin. Système de cartes compatibles Feuilletages (in)stables. Definition 3.3. Le feuilletage stable d un ensemble invariant K M est la donnée des ensembles W s (f, x) := {y M : lim sup n 1 log d(f n y, f n x) < 0} n pour x K. Le feuilletage instable pour f et K est le feuilletage stable pour f 1 et K. Théorème 3.2. Le feuilletage stable d un compact invariant hyperbolique vérifie les propriétés suivantes : Pour tout ɛ > 0 assez petit, il existe u : K ] 1, 1[ ds (K) M, N < et κ < 1 tels que : x K u(x, ) C r (] 1, 1[ ds (K), M) est continu et pour tout x K : la restriction u : {x} ] 1, 1[ ds (K) M est un plongement de classe C r ; u({x} ] 1, 1[ ds (K) ) = W s ɛ (x) := {y M : n 0 d(f n y, f n x) < ɛ} ; W s (x) = n 0 f k W s ɛ (f k x) ; T x W s (f, x) = E s x ; f N (W s ɛ (x)) W s ɛ (f N x) avec f N W s ɛ (x) κ-contractant ; Démonstration d après Shub, chap. 6. En supposant pour simplifier que K R d, on considère l espace de Banach B := {j : K R d sup x K j(x) < } muni de la norme sup et la transformation F (j) := f j f 1. On vérifie que l inclusion j 0 : x K x est un point fixe (hyperbolique) si K est une partie invariante (hyperbolique). Le feuilletage stable de K se déduit de la variété stable locale Wɛ s (F, j 0 ) B selon : Wɛ s (x) := {j(x) : j W s (F, j 0 )} On vérifie ensuite les propriétés de régularité. Remark 3.4. En général, ces feuilletages sont seulement des laminations Hölder, sauf en codimension 1. Par exemple sur les surfaces, les feuilletages sont C 1+ɛ (C 2+ɛ????) si f est C 3 [2, p.166]. Corollaire 3.5. f K est expansive : il existe ɛ 0 > 0 tel que si n Z d(f n x, f n y) < ɛ 0, alors x = y. Corollaire 3.6. On a une structure locale de produit : il existe ɛ 0 > 0 et C < tels que si x, y K et d(x, y) < ɛ 0, alors W s ɛ 0 (x) W u ɛ 0 (y) contient exactement un point qu on note [x, y]. On a : d(f n [x, y], f n x) 0 et d(f n [x, y], f n y) 0 pour n.

7 BROUILLON 7 De plus, sup n 0 d(f n [x, y], f n x) Cd(x, y) et sup n 0 d(f n [x, y], f n y) Cd(x, y) On voit que, si K est localement maximal, i.e., admet un voisinage U tel que K = n Z f n U alors r > 0 tel que [x, y] K dès que x, y K vérifient d(x, y) < r Dynamique symbolique. Théorème 3.3. Pour tout compact invariant hyperbolique K et tout ouvert U K, il existe un compact invariant hyperbolique L tel que K L U et vérifiant : (*) f L est un facteur topologique fini d un décalage de type fini et les points périodiques y sont denses. Remark 3.7. Si K est localement maximal, alors on peut prendre K = L. Mais tout compact invariant hyperbolique n est pas contenu dans un compact hyperbolique localement maximal (Crovisier, Fisher). et 4. Entropie topologique Il suffit d avoir M espace compact métrique, f continue. Boules dynamiques pour x M, ɛ > 0 : B f (x, ɛ, n) := {y M : 0 k < n d(f n y, f n x) < ɛ} r f (ɛ, n, E) := min{#c : C E et x C B f (x, ɛ, n)} Definition 4.1. Pour E M non nécessairement invariant, on pose : h top (f, E, ɛ) := lim sup n h top (f, E) := lim ɛ 0 + h top(f, E, ɛ) h top (f) := h top (f, M) 1 n log r f(ɛ, n, E) Exercice 4.2. Montrer que : si f est ( une isométrie, ) h top (f) = si A =, h 1 1 top (T A ) = log On pourra d abord établir que 2 h top (T A ) = h top (T A, I) pour tout segment non-trivial de variété instable. si Σ A est un décalage de type fini défini par une matrice d adjacence A, h top (Σ A ) = log + ρ(a). h top (Σ A ) = 0 si et seulement si Σ est dénombrable.

8 8 5. Dimensions fractales 5.1. Dimensions de Minkowski. Definition 5.1. La dimension de Minkowski de E M est : où log N(E, r) dim M (E) := lim sup r 0 + log(1/r) N(E, r) := min{#c : x C B(x, r) E On l appelle aussi dimension de boîte. Exercice 5.2. Si K R d alors dim M (K) d. Si M 1, M 2 sont deux espaces métriques et E M 1 est un compact et h : M 1 M 2 est Lipschitz alors dim M (h(e)) dim M (E) Si M est une variété compacte de dimension d alors dim M (M) = d. Exercice 5.3. Montrer que pour toute partie E d un espace métrique compacte, dim M (E) = dim M (E). En déduire que la nullité de la dimension de Minkowski n est pas stable par union dénombrable. C est une des raisons qui conduisent à privilégier la dimension de Hausdorff 5.2. Majorations de l entropie. Lemme 5.4. Soit f : M M une application Lipschitz et K une partie non nécessairement invariante de M. Alors : h top (f, K) dim M (K) log + Lip(f) En particulier, l entropie de tout difféomorphisme d une variété compacte est finie (Kushnirenko 1965). Démonstration. On suppose Lip(f) > 1 (sinon B(x, ɛ) B f (x, ɛ, n) pour tout n 0, h top (f, K) = 0). Pour tout n 0, on a B(x, r n ) B f (x, ɛ, n) donc r f (ɛ, n, K) N(K, r n ). Or, pour tout α > 0, N(K, r n ) C α r (dim M (K)+α) n C α ɛ (dim M (K)+α) Lip(f) n(dim M (K)+α) D où h top (f, K) dim M (K) + α. On prend α 0 +. Definition 5.5. Soit K un compact invariant hyperbolique et ɛ > 0 assez petit (comme dans le théorème??). La transversale instable en x K est : T u (x) := Wɛ s (y) Wɛ u (x) y K La dimension instable de K en x est : d u (K, x) := dim M (T u (x))

9 BROUILLON 9 Remark 5.6. Sur une surface, la régularité du feuilletage stable permet de voir que d u (K, x) est indépendant de x K si K possède une orbite dense. Si K est de plus localement maximal, T u (x) = W u ɛ (x) K pour x K. Exercice 5.7. Montrer que pour le fer à cheval de Smale cette dimension vaut log 2/ log κ en tout point x K. Lemme 5.8. Soit K un compact invariant hyperbolique. Alors, h top (f K) sup d u (K, x) log + Lip(f) x K Démonstration. Il existe n tel que f n Wɛ s (x) est contractant pour tout x K. On en déduit que, pour x K, h top (B(x, ɛ/2) K) h top (T u (x)). En raisonnant comme dans le lemme, on montre que cette dernière entropie est majorée par dim M (T u (x)) log + Lip(f). On conclut en remarquant que h top (K) = max 1 i I h top (K B(x i, ɛ) si K 1 i I B(x i, ɛ). Proposition 5.9. Soit K un compact invariant hyperbolique localement maximal possédant une orbite dense dans K. Alors, h top (f K) inf x K du (K, x) log + Lip(f) Esquisse. L existence d une orbite dense implique que, pour tous ɛ, δ > 0 (avec ɛ assez petit) il existe 1 N < tel que : x, y Kf N (W u ɛ (x)) B(y, δ) On a également h top (B(x, ɛ)) = h top (W u ɛ (x)) grâce à la contraction dans les variétés locales stables. On en déduit : h top (B(x, ɛ) K) = h top (W u ɛ (x) K) = h top (f N (W u ɛ (x)) K) h top (W u ɛ (y) K) En particulier, h top (B(x, ɛ) K) est indépendant de x K. La conclusion se démontre maintenant comme le lemme précédent. Exercice Supposons que pour tous x, y K avec y W u ɛ (x), d(fx, fy) Ld(x, y)). Montrer que h top (f K) sup x K d u (K, x) log + L Formules d entropie à la Ledrappier-Young. La considération des mesures invariantes permet, comme souvent, de préciser considérablement les choses. Théorème 5.1 (Ledrappier-Young 1985). Soit f un difféomorphisme de classe C 2 d une variété compacte et µ une mesure de probabilité ergodique et invariante. Alors : h(f, µ) = δ i (f, µ)λ i (f, µ) + i où les λ i sont les exposants de Lyapunov et les δ i des dimensions de Hausdorff quotient.

10 10 Références [1] M. Shub, Stabilité globale des systèmes dynamiques, Astérisque. [2] J. Palis, F. Takens, Hyperbolicity and sensitive chaotic dynamics at homoclinic bifurcations, Cambridge University Press.