Programme Pédagogique Groupe M : Mathématiques Premier Cycle

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1 Programme Pédagogique Groupe M : Mathématiques Premier Cycle Responsable : Marc Parenthoën Juin 2002 Résumé Ce document rassemble les informations sur le programme proposé par l équipe pédagogique du premier cycle pour le groupe Mathématiques. Il constitue un document de travail en vue de l harmonisation des programmes des différents groupes. Il ne constitue donc pas le programme pédagogique officiel et définitif de l enib. Nous cherchons à expliciter les savoirs et savoir-faire semaine par semaine au long de l année pour servir de base aux autres disciplines scientifiques: Analyse-Géométrie de 1A ; Algèbre de 1A ; Mathématiques 2A ;

2 Table des matières 1 Module AL1 : ALGEBRE 1 (1A) 4 2 Module AL2 : ALGEBRE 2 (1A) 6 3 Module AN1 : ANALYSE 1 (1A) 8 4 Module AN2 : ANALYSE 2 (1A) 10 5 Module M1 : MATHEMATIQUE 1 (2A) 12 6 Module M2 : MATHEMATIQUE 2 (2A) 14 2

3 Modules du Groupe M Prérequis Modules Année(s) Prérequis Responsables AL1 Algèbre 1A 1 1A Florence Dupuis AN1 Analyse 1A 1 1A Marc Parenthoën AL2 Algèbre 1A 2 1A AL1 Florence Dupuis AN2 Analyse 1A 2 1A AN1 Marc Parenthoën M1 Mathématiques 2A 1 2A 1A Pascal Redou M2 Mathématiques 2A 2 2A M1 Pascal Redou Volume Horaire Un type de volume horaire et d emploi du temps est proposé avec une hypothèse de 6 groupes en première et 5 groupes en deuxième année. Globalement, pour le groupe M en première année: Élèves: 120H de Cours et 144H de TD Enseignants: 1044hétd Globalement, pour le groupe M en deuxième année: Élèves: 72H de Cours et 72H de TD Enseignants: 468hétd 3

4 1 Module AL1 : ALGEBRE 1 (1A) Professeur responsable: Florence Dupuis Volume horaire (1 1uc Cours uc TD 6 groupes)*16 semaines 2 2 Élèves (Heures) Enseignants (hétd) Cours 36 Florence Dupuis = 90 Travaux Dirigés 36 XX = 36 YY = 72 ZZ = 72 Total hétd : Heures Équivalent Travaux Dirigés Objectifs Ce module regroupe les savoirs et savoir-faire d algèbre élémentaire pour l élève ingénieur de première année à l enib: L objectif est de donner aux étudiants les outils de calcul algébrique de base. Mots-clés Logique Géométrie analytique du plan et de l espace. Géométrie complexe : Transformations Homographiques. Introduction aux Structures d ensembles. Outils d algèbre linéaire : Résolutions de systèmes linéaires, Matrices, Déterminants Prérequis Module(s) prérequis : Aucun Programme Logique Récurrence Raisonnements (absurde) Algèbre de Boole Etude du plan et de l espace. Introduction des espaces vectoriels Géométrie analytique du plan et de l espace Outils d algèbre linéaire Systèmes linéaires (pivot de Gauss) Matrices 4

5 Déterminants Complexes Problèmes complexes divers Homographies Emploi du Temps type des Savoir-Faire Savoir-Faire 1, récurrence, raisonnement par l absurde, raisonnements logiques, calculs dans 2 l algèbre de Boole 3, étude du plan et de l espace en tant qu espaces vectoriels, géométrie analytique du 4, plan et de l espace (produit scalaire, produit vectoriel, changement de repère, 5, équations d éléments du plan et de l espace, notion de distance entre ces éléments) 6 7 *** C1 *** 8, 9, pivot de Gauss, produit matriciel, inversion de matrices 10 résolution de problèmes complexes, détermination analytique et géométrique 11, d images d éléments du plan par une transformation complexe, représentation 12, matricielle des transformations complexes, notions de groupes, application pour x 13 réel: étude de z = a+ibx c+idx 14 *** C2 *** 15, 16 Évaluation calcul de déterminant de type n (n=1,2,3), calcul de déterminant quelconque par rćurrence, application à la résolution de sytèmes d équations 2 Devoirs Surveillés en C1 et C2 5

6 2 Module AL2 : ALGEBRE 2 (1A) Professeur responsable: Florence Dupuis Volume horaire (1 1uc Cours uc TD 6 groupes)*16 semaines 2 2 Élèves (Heures) Enseignants (hétd) Cours 36 Florence Dupuis = 90 Travaux Dirigés 36 XX = 36 YY = 72 ZZ = 72 Total hétd : Heures Équivalent Travaux Dirigés Objectifs Ce module regroupe les savoirs et savoir-faire d algèbre élémentaire pour l élève ingénieur de première année à l enib: L objectif est de compléter les connaissances algébriques des étudiants. Mots-clés Calcul algèbrique dans sur les entiers : Arithmétique, Dénombrement. Polynômes et Fractions rationnelles Algèbre liéaire : Espaces Vectoriels, Applications linéaires, Réduction d endomorphismes Prérequis Module(s) prérequis : AL1 Programme Calculs sur les entiers Dénombrement Arithmétique Polynômes et Fractions Rationnelles Polynômes Fractions Rationnelles Algèbre linéaire Espaces vectoriels Applications linéaires Réduction d endomorphismes 6

7 Emploi du Temps type des Savoir-Faire 17, 18, 20 Savoir-Faire résolution de problèmes combinatoires non formalisés. division euclidienne, algorithme déuclide, théorème de Gauss, congruences. 19 *** C3 *** 21, 22, 23 24, 26, 27, 28, 29 calcul formel sur les polynômes (arithmétique, racines, liens coefficients-racines), décomposition en éléments simples d une fraction rationnelle vecteurs, bases, applications linéaires, calcul matriciel pour les applications linéaires, rang, utilisation du déterminant 25 *** C4 *** 30, 31 diagonalisation de matrices, exps de trigonalisation 32 *** C5 *** Évaluation 2 Devoirs Surveillés en C4 et C5 7

8 3 Module AN1 : ANALYSE 1 (1A) Professeur responsable: Marc Parenthoën Volume horaire (1uc Cours uc TD 6 groupes)*16 semaines 2 Élèves (Heures) Enseignants (hétd) Cours 24 Marc Parenthoën = 36 Travaux Dirigés 36 X = 72 Y = 72 Z = 72 Total hétd : Heures Équivalent Travaux Dirigés Objectifs Ce module regroupe les savoirs et savoir-faire d analyse élémentaire pour l élève ingénieur de première année à l enib: les fonctions usuelles dont la trigonométrie directe et réciproque, les complexes et le Plan, la dérivation et l intégration formelle, la résolution des équation différentielles linéaires du premier ordre. Les objectifs des TD sont d acquérir une technicité opérative à propos de ces notions. Mots-clés Géométrie du Plan Complexe: affixes, coordonnées polaires/cartésiennes, translations, rotations, homothéties Fonctions Usuelles: puissances, logarithmes, exponentielles, trigonométrie directe, hyperbolique et réciproque Dérivées et Primitives: dérivation et intégration formelles, équations différentielles linéaires du premier ordre. Prérequis Module(s) prérequis : Aucun Programme Fonctions Usuelles puissances, logarithmes, exponentielles trigonométrie directe, hyperbolique et réciproque Géométrie du Plan Complexe affixes, coordonnées polaires/cartésiennes translations, rotations, homothéties Dérivées et Primitives dérivation formelle 8

9 intégration formelle équations différentielles linéaires du premier ordre Emploi du Temps type des Savoir-Faire Savoir-Faire e x+y = e x e y, ln(xy) = ln x + ln y, x b, a x, log a x dérivée, limites classiques, courbes 1 cartésiennes, comparaisons (étude en échelle (Log,Log) des x kx n, k IR, n Z) 2 cercle trigo, e iθ = cos θ + i sin θ, hyperbolique et réciproque 3 sin(a + b) et cos(a + b) par coeur, résolution de sin(2x + 3) = cos(x 1) 4 lc, affixe, a + ib = ρe iθ 5 équations de cercles et de droites en coordonnées cartésiennes et polaires 6 ( lc, +,x) translations, rotations, homothéties 7 *** C1 *** règles de dérivations (f + g),(fg),(fog), notations df(x) dx, f(x,y) x, calculs 8 d entraînement sur des fonctions à valeurs rélles ou complexes (notamment de i(ωt+φ) dt ), vérification de x y z y z x = 1 sur exemples de f(x,y,z) = 0 non implicites 9 tableaux de variations, dérivée nème (récurrence) primitives, x f(t) dt pour f usuelle, linéarité, changement de variable, par parties, 10 b a f(x) dx = F (b) F (a), Chasles, notion d aire algébrique (rappels de terminale) 11 f(x) dx pour f élément simple, trigonométrique, exp, a 2 ± x 2... (formulaire) surface, volume: 12 S f(s) ds, V f(v) dv pour S,V sans problème de paramétrage et d un point de vue technique uniquement équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constant avec 13 second membre nul, ou en P (x)e λx, λ lc et P lc[x]. Le cas sin ou cos sera vu en prenant la partie imaginaire ou réelle d une équation complexe correspondante 14 *** C2 *** 15 équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants 16 étude des solutions y de y + ay = x + bx lorsque x présente un saut fini Évaluation 2 Devoirs Surveillés en C1 et C3 9

10 4 Module AN2 : ANALYSE 2 (1A) Professeur responsable: Marc Parenthoën Volume horaire (1uc Cours uc TD 6 groupes)*16 semaines 2 Élèves (Heures) Enseignants (hétd) Cours 24 Marc Parenthoën = 36 Travaux Dirigés 36 X = 72 Y = 72 Z = 72 Total hétd : Heures Équivalent Travaux Dirigés Objectifs Ce module regroupe les savoirs et savoir-faire d analyse élémentaire pour l élève ingénieur de première année à l enib: courbes paramétrées, limites de fonctions, dérivabilité, formules de Taylor dont les développements limités, suites, intégrale de Riemann. Les objectifs des TD sont de mémoriser les outils d analyse pour l étude des fonctions et l analyse numérique. Mots-clés fonctions numériques, limites, continuité, dérivailité, formules de Taylor, DL courbes paramétrées, coordonnées cartésiennes, polaires, cyclindriques, sphériques, astronomie suites numériques, approximation de réels (Dichotomie, Newton), intégration de Riemann (Méthodes des Rectangles, Trapèzes, Simpson) Prérequis Module(s) prérequis : AN1 Programme Fonctions Numériques négligeabilité, équivalence D f, continuité, prolongement, dérivabilité classe C n, formule de Taylor Lagrange et Développement Limité Géométrie Analytique courbes paramétrées graphes (x,logx), (log,log) repères cylindriques et sphériques 10

11 Suites et Intégration de Riemann suites numériques, convergence, divergence, comparaisons approximation de réels (dichotomie, tangente, sécante) intégration de Riemann (rectangles, trapèzes, Simpson) Emploi du Temps type des Savoir-Faire Savoir-Faire calculs de limites de fonctions par somme, produit et composition des fonctions 17 usuelles, reconnaissance des formes indéterminées, comparaisons (petit o, équivalence) calcul d un ensemble de définition, continuité (définie par lim 18 x0 f = f(x 0 )), prolongement par continuité 19 *** C3 *** dérivabilité comme limite du taux de variation, dérivabilité et dérivation formelle, théorème des accroissements finis et justification du tableau de variation, recherche 20 des extréma parmi les zéros de f et aux bornes de D f, équation de la tangente, DL d ordre 1 formule de Taylor-Lagrange (signe du reste, approximation locale polynomiale 21 d une fonction) ln cos x DL d ordre n pour lever l indertermination d une FI (lim 22 0 ), somme, produit, x 2 composition, quotient, inégration et dérivation de DL reconnaitre l équation d une droite et d un cercle, études d exemples de courbes 23 paramétrées en coordonnées cartésiennes, échelles Log, Log-Log: qu est-ce qu une droite, deux droites parallèles 24 étude d un cas paramétré en polaire 25 *** C4 *** suites classiques arithmétiques/algébriques/récurrentes à 2 ou 3 termes consécutifs 26 (études de cas), convergence (sans la définition avec ε), monotone+bornée=convergente 27 approximations de f(x) = 0 (dichotomie, tangentes, sécantes) Riemann: comme limite de sommes de Darboux (pas 0), justification de 28 l utilisation des primitives pour le calcul des intégrales, notion d intégrale impropre par l étude de cas 0 xα dx, α IR 29 méthodes du point milieu, des trapèzes, de Simpson 30 problème de récapitulation: astronomie/géographie/navigation 31 problème de récapitulation: astronomie/géographie/navigation 32 *** C5 *** Évaluation 2 Devoirs Surveillés en C4 et C5 11

12 5 Module M1 : MATHEMATIQUE 1 (2A) Professeur responsable: Pascal Redou Volume horaire (1 1uc Cours uc TD 5 groupes)*16 semaines 2 2 Élèves (Heures) Enseignants (hétd) Cours 36 Pascal Redou = 234 Travaux Dirigés 36 Total hétd : Heures Équivalent Travaux Dirigés Objectifs Ce module regroupe les savoirs et savoir-faire de mathématiques élémentaires pour l élève ingénieur de deuxième année à l enib: intégration (fonctions d une ou plusieurs variables), fonctions de plusieurs variables, équations différentielles. Les objectifs des TD sont de fournir aux étudiants la pratique des outils mathématiques indispensables à la compréhension des autres disciplines scientifiques et de les habituer à différentes formes de raisonnement théorique. Mots-clés Intégration (fonctions d une ou plusieurs variables) Fonctions de plusieurs variables Equations différentielles Prérequis Module(s) prérequis : AL1, AN1, AL2, AN2 Programme Intégration des fonctions d une variable réelle Intégrale de Riemann Intégration formelle Lien et calculs Intégrale impropre Fonctions de plusieurs variables Limite, continuité Dérivation partielle Théorème des accroissements finis et formule de Taylor 12

13 Extrema locaux et liés Droites et plans tangents Intégrales multiples Intégrales doubles : calcul direct, et changements de variables Intégrales triples : calcul direct, et changements de variables Applications physiques Equations différentielles du premier ordre du deuxième ordre : à coefficients constants, et équations particulières Emploi du Temps type des Savoir-Faires Savoir-Faire 1 intégration formelle 2 intégration simple 3 intégration simple et impropre 4 intégration impropre 5 limites et continuité des fonctions de plusieurs variables 6 dérivation partielle : calculs basiques 7 *** C1 *** 8 TAF, formule de Taylor (rappels de AN2) 9 extrema locaux (rappels de AN2) 10 fonctions implicites 11 extrema liés 12 intégrales multiples : calcul direct 13 intégrales multiples : changement de variables 14 *** C2 *** 15 intégrales multiples : applications mécaniques 16 équations différentielles Évaluation 2 Devoirs Surveillés en C1 et C2 13

14 6 Module M2 : MATHEMATIQUE 2 (2A) Professeur responsable: Pascal Redou Volume horaire (1 1uc Cours uc TD 5 groupes)*16 semaines 2 2 Élèves (Heures) Enseignants (hétd) Cours 36 Pascal Redou = 234 Travaux Dirigés 36 Total hétd : Heures Équivalent Travaux Dirigés Objectifs Ce module regroupe les savoirs et savoir-faire de mathématiques élémentaires pour l élève ingénieur de deuxième année à l enib: équations aux dérivées partielles, intégrales associées à des formes différentielles, analyse vectorielle, séries, espaces euclidiens. Les objectifs des TD sont de fournir aux étudiants la pratique des outils mathématiques indispensables à la compréhension des autres disciplines scientifiques et de les habituer à différentes formes de raisonnement théorique. Mots-clés Equations aux dérivées partielles Intégrales associées à des formes différentielles Analyse vectorielle Séries Espaces euclidiens Prérequis Module(s) prérequis : M1 Programme Equations aux dérivées partielles Equations linéaires du premier et second ordre Equation de Laplace et cordes vibrantes Intégrales associées à des formes différentielles Intégrales curvilignes, circulation d un champ Intégrales de surface, flux d un champ 14

15 Analyse vectorielle Séries Champs de gradients, de rotationnels Théorème de Stokes Théorème d Ostrogradsky Critères de convergence des séries numériques Séries de Fourier Séries entières Espaces euclidiens Notions de base et écriture matricielle Décomposition de Gauss Orthonormalisation Emploi du Temps type des Savoir-Faires Savoir-Faire 17 équations différentielles et équations aux dérivées partielles du premier ordre 18 équations aux dérivées partielles du second ordre 19 *** C3 *** 20 intégrales curvilignes et de surface 21 intégrales curvilignes et de surface 22 champs de gradients, rotationnels 23 Stokes-Ostrogradsky 24 séries numériques : critères de convergence 25 *** C4 *** 26 séries numériques : critères de convergence 27 séries de Fourier 28 séries entières, rayon de convergence 29 séries entières, développement en série entière 30 espaces euclidiens : réduction en somme de carrés 31 espaces euclidiens : orthonormalisation 32 *** C5 *** Évaluation 3 Devoirs Surveillés en C3, C4 et C5 15