Cours du Samedi 10 Octobre 2009 : Cours n 1.

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1 Cours du Samedi 10 Octobre 2009 : Cours n 1. Chapitre N 1 : Les nombres réels et les propriétés de R : la construction de R à partir de N, Z, et Q ; les développements décimaux et l élaboration de D ; Valeur Absolue et partie Entière dans R ; Les Intervalles dans R ; Quelques Inégalités importantes dans R ; Nombres Irrationnels et nombres transcendants. pages 1 à 10 de l ouvrage de référence). Chapitre N 2 :Les Fonctions Réelles d une Variable Réelle : Dom ain e de défin it ion de l E n t it é " " Fon ct ion " " ; - **Introduction à la notion de continuité par le biais de limites ; (pages 12 à 15 du livre) Cours du Samedi 17 Octobre 2009 : Cours N 2. Chapitre N 2 (suite) :Les Fonctions Réelles d une Variable Réelle : - **Les fonctions ""de base"" : valeur absolue, racine carrée, exp, log,ln,u(x)^v(x),sin,cos,tan,ch,sh,th,arcsin,arccos,arctan,argsh,argc h,argth (uniquement les ""énoncés"",ces fonctions seront étudiées plus tard). Opérations sur les fonctions ; Monotonie des fonctions(sans la notion de fonction dérivable) ; Continuité des fonctions, continuité par morceaux sur un intervalle, saut d une fonction discontinue, stabilité de la continuité, prolongement par continuité. Equivalence, négligeabilité, domination pour les fonctions au voisinage d un point : définitions et nombreux exemples. Retour sur les limites de fonctions, liens avec les notions de majoration, de minoration, de ""bornitude"" des fonctions : exemples concrets avec des fonctions de référence simples. (jusqu à la page du livre de J.Vélu). COURS du Samedi 24 Octobre 2009 : COURS N 3. Chapitre 2 : Suite et Fin(page à page 36). Limites de f(x) quand x->x0,quand x->+ou-l infini ; Limites de fractions rationnelles ; O p é r a t i o n s s u r l e s l i m i t e s : p r o d u i t, somme,quotient,différence,composée de fonctions ; Théorème de l encadrement et applications ; Nombreuses applications concrètes sur tous les thèmes relatifs aux limites de fonctions. Chapitre 3 :Dérivabilité et Dérivées. Définition de base : taux d accroissement ; COURS du Samedi 7 Novembre 2009 : COURS N 4. Le Chapitre traité ce matin est le N 3 :pages 39 à 52. 1)Dérivées d une Fonction réelle :

2 Taux d accroissement et notion de Nombre dérivé ;fonction dérivée ;opérations sur les fonctions dérivables ;dérivée à droite,dérivée à gauche ; dérivée d ordre n et formule de Leibnitz ;Classe d une fonction et opérations sur les fonctions de classe C^n ; 2)Dérivées des fonctions usuelles : puissances n ièmes,polynômes,fractions rationnelles,racines carrées et racines n ièmes,exp, ln, sin, cos, tan, ch,sh,th,ainsi leurs réciproques Arcsin, Arccos, Arctan,Argch,Argsh,Argth(qui seront étudiées en détails dans un prochain cours)quand elles sont définies ; Lien entre dérivabilité et continuité :exemples concrets de fonctions dérivables par intervalles,de fonctions C1 et de fonctions C1 par morceaux,de fonctions C infini. COURS N 5 : SAMEDI 14 NOVEMBRE Enoncés des principaux théorèmes fondamentaux basiques de l analyse : Rolle, Accroissements finis,(égalité et inégalité),valeurs Intermédiaires,Bolzano,.. Le Chapitre traité ce matin est le N 4 :pages 52 à 64. Le Chapitre N 5 a été abordé jusqu à la page 73. 1) Image par une fonction continue d un intervalle de R ; 2) Image par une fonction continue d un fermé-borné de R ; 3) Borne Sup et Borne Inf d une fonction ; 4) Cas des fonctions continues Monotones, Fonction Réciproque : Fonctions Trigonométriques Réciproques, Fonctions Ln et Exp, Argsh, Argch, Argth,qui seront reprises dans le chapitre adéquat, Dérivation des fonctions réciproques évoquées. Les Principaux Théorèmes de base de l analyse élémentaire. 1)Extrémum local et dérivée ; 2)Théorème des Valeurs Intermédiaires ; 3)Théorème de Bolzano et Théorème de Rolle ; 4)Théorème des Accroissements finis ; 5)Inégalité des Accroissements finis ; 6)Fonction k-lipschitzienne ; COURS N 6 : SAMEDI 21 NOVEMBRE 2OO9. Le Chapitre N 5 a été traité entièrement. [Le Chapitre Log-Exp-Fonctions Assimilées,ainsi que Le Chapitre Développements Limités, ont été abordés.] Propriétés des Extréma locaux et Absolus ; Généralisations du Théorème de Rolle ; Fonctions Convexes et concaves :propriétés générales, et étude des Log et des Exp comme exemples de base ; Introduction aux Primitives et aux Fonctions définies par une intégrale ; Enoncés et démonstrations de Théorèmes relatifs à des fonctions C1, puis C2 ; Formule de Taylor avec Reste de Lagrange ;

3 Formule de Taylor avec Reste de Young ; Formule de Mac-Laurin avec Reste de Young ; Introduction aux Développements Limités ; COURS N 7 : SAMEDI 28 NOVEMBRE 2OO9.. Formule de Taylor - Young et développements limités ; Formule de Taylor avec reste intégral ; Inégalité de Taylor- Lagrange ; Nous reviendrons sur les applications de toutes ces formules après le chapitre ""Développements Limités"". [Le chapitre 6 a été traité jusqu à la page 96.] ****Log, Exp, et puissances.**** Etude détaillée des fonctions log ; Etude détaillée des fonctions exp ; Etude détaillée des fonctions puissances ; Etude détaillée des fonctions u(x)^v(x) ; Etude détaillée des fonctions hyperboliques(pas leurs inverses,c.f. semaine prochaine) ; Suite de l introduction aux développements Limités. COURS N 8 : SAMEDI 5 DECEMBRE L es F on ct ion s Argch /Argsh /Argt h / :défin it ion s,graph es, primitives,utilisation en intégration. ( FIN du Chapitre 6). (Le Chapitre 7 sur les Développements Limités a été traité de la page 100 à la page 125, sauf les applications concrètes sur les compositions et les quotients,ainsi que les tangentes et les courbes asymptotes,qui seront des thèmes à traiter le samedi 12/12/09.). Comparaisons des Fonctions : domination, négligeabilité, équivalence,notations,et premières applications. Définitions et propriétés essentielles des D.L. ; Unicité du D.L., D.L.en 0, en x#0,en x infini ; D.L. des fonctions usuelles en 0,dérivation et intégration de D.L. en 0 ; Opérations classiques sur les D.L. :somme,produit,quotient, Composition,différence(équivalents obtenus après D.L.) ; COURS N 9 : SAMEDI 12 DECEMBRE Le Chapitre "" Primitives et Intégrales propres "" a été largement entamé le 12/12/2009. D.L. pour les composées de fonctions ; D.L. pour les quotients de fonctions ; D.L. et recherche d équivalents et de limites ; D.L. et étude d une fonction au voisinage d un point, tangente et position courbe/tangente ; D.L. et recherche d asymptotes obliques et de courbes asymptotes, D.L. généralisés,développements asymptotiques.

4 ********CALCUL INTEGRAL :PRATIQUE///THEORIE******** Primitives et Intégrales. Primitives :définitions de base ; Dét e r m in a t ion de pr im it iv e s : t a bleau de s pr im it iv e s usuelles,application de la dérivation d une fonction composée et complétion du 1er tableau des primitives ; Intégrale d une fonction : définition,interprétation géométrique dans le cas d une fonction positive ; Premières Propriétés de L Intégrale : Linéarité, Chasles, Positivité, intégration d une inégalité, 1ère formule de la moyenne, inégalité de la moyenne, encadrement d une intégrale ; COURS N 10 : SAMEDI 19 DECEMBRE 2OO9.. Intégrale de la valeur absolue d une fonction et inégalité des accroissements finis ; Changement de variable affine ; changement de variable C1 ; Intégration par parties avec des fonctions C1 ; Intégration et parité,intégration et périodicité ; Théorème des 3 Conditions. Fonctions Continues par Morceaux. Subdivision d un segment ; Fonction en escalier ; Fonction continue par morceaux : approximation par des fonctions en escalier ; Construction de L Intégrale. Intégrale d une fonction en escalier ; Propriétés de l intégrale ; Inégalité de la moyenne,inégalité de Cauchy-Schwarz ; Primitives et Intégrales. Primitives d une fonction ; Intégration par primitivation ; Positivité de l intégrale d une fonction continue ; Fonction définie par une intégrale. Méthodes d Approximation d intégrales. Méthode des Rectangles,sommes de Riemann ; Méthode des Trapèzes ; Méthode de Simpson. COURS N 11 : SAMEDI 9 JANVIER 2O1O.. Les 2 Chapitres sur l Intégration seront terminés ce jour, et le chapitre ""Nombres Complexes"" sera largement entamé. INTEGRALES IMPROPRES (OU GENERALISEES). Définitions pour les fonctions c.p.m. ; Intégrales de Riemann convergentes ; Relation de Chasles, Linéarité, Positivité ;

5 Changement de Variable Affine ; Changement de Variable C1 ; Intégration par parties ; Critéres de Convergence : Majoration, Minoration, équivalent, négligeabilité, domination ; Absolue Convergence et convergence ; Comparaison Série Numérique et Intégrale Impropre. NOMBRES COMPLEXES. Construction de C, premières propriétés, premiers calculs de base, lien avec R^2. COURS N 12 : SAMEDI 16 JANVIER Structure Algébrique de C ; Nombres Complexes Conjugués,Modules des nombres complexes ; Formes trigonométriques des complexes ; Formules de Moivre et applications en trigonométrie ; Interprétations géométriques des complexes : Image-Affixe, addition, multiplication, division, Propriétés du plan complexe ; Les transformations géométriques du plan complexe : Translation,Homothétie, Rotation, Similitude, Inversion. Normes et Distances dans le plan complexe. Exponentielle Imaginaire, Exponentielle Complexe : définitions et propriétés simples des fonctions complexes de variables complexes. COURS N 13 : SAMEDI 23 JANVIER Racines nièmes d un nombre complexe non nul ; Equations dans C : équation du 2nd degré à coefficients complexes et à coefficients réels,équations de degré n ; Théorème de Gauss-d Alembert ; Cas des équations polynômiales à coefficients réels résolues dans C. POLYNOMES ET FRACTIONS RATIONNELLES. Equations Algébriques dans R et dans C ; Polynômes dans R et dans C ; Factorisations dans C et dans R des polynômes de Rn[X], et de Cn[X] ; Développement de Taylor d un polynôme de degré<=n ; Racines multiples d un polynôme, lien avec les polynômes dérivés ; Conjugué d un polynôme à coefficients complexes. Fractions Rationnelles. Définitions et premières propriétés ; Décomposition en éléments simples d une fraction rationnelle sur C puis sur R : Cas des pôles simples et des pôles multiples, division euclidienne suivant les puissances croissantes,

6 isolation de la partie Entière quand elle existe. COURS N 14 : SAMEDI 30 JANVIER 2O1O.. Etude sur un cas concret simple de la décomposition complète d une fraction rationnelle sur R, avec pôles réels multiples et pôles complexes multiples. Différentes techniques pratiques de recherche des coefficients relatifs aux pôles de tous ordres réels et complexes. Application de la décomposition aux calculs d intégrales propres et impropres. Application de la décomposition aux développements limités, puis aux développements es séries de fonctions aux voisinages de certains points. EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES. Equation Linéaire du premier ordre. Définitions et premières propriétés fondamentales. Equations Homogènes, Equations avec condition initiale, Equations avec condition aux limites : unicité des solutions. Méthode de Variation de la Constante, détermination de solution particulière, détermination d une solution générale de l équation complète,intervention éventuelle des conditions initiales et /ou aux limites. Principe de superposition des solutions. Introduction à la notion de Solutions Maximales(Cauchy- Lipchitz). COURS N 15 DU SAMEDI 6 FEVRIER 2O1O.. FIN DU COURS DE MVA OO5******- Retour sur la notion de maximalité de solutions ; Cas particulier des équations à coefficients constants ; Résolution de l équation entière,juxtaposition de solutions ; Exemple concret d une équation avec maximalité ; Extension à des équations non linéaires du 1er ordre. Equation Linéaire du 2ième ordre. Equation linéaire générale,à coefficients variables ; Equation linéaire à coefficients constants : résolution de l équation homogène associée ; détermination de solution particulière par la méthode de variation des constantes, avec condition de Legendre, évocation du wronskien ; juxtaposition des solutions, problème des conditions initiales, problème des conditions aux limites ; Exemples concrets :résolution intégrale. FIN DU COURS :EVOCATION DE MVA OO6.

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