Espaces vectoriels de dimension finie

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1 Bibliothèque d exercices Énoncés L Feuille n 9 Espaces vectoriels de dimension finie Base Exercice Montrer que les vecteurs {,, 0 } forment une base de R. Calculer les coordonnées respectives des vecteurs 0, 0, 0 dans cette base Exercice 2. Montrer que les vecteurs x = (0,, ), x 2 = (, 0, ) et x = (,, 0) forment une base de R. Trouver dans cette base les composantes du vecteur x = (,, ). 2. Donner, dans R, un exemple de famille libre, qui n est pas génératrice.. Donner, dans R, un exemple de famille génératrice, mais qui n est pas libre. Exercice Vrai ou faux? On désigne par E un R-espace vectoriel de dimension finie.. Si les vecteurs x, y, z sont deux à deux non colinéaires, alors la famille x, y, z est libre. 2. Soit x, x 2,..., x p une famille de vecteurs. Si aucun n est une combinaison linéaire des autres, la famille est libre. Exercice 4 Dans R, les vecteurs suivants forment-ils une base? Sinon décrire le sous-espace qu ils engendrent.. v = (,, ), v 2 = (, 0, ), v = (,, ). 2. v = (, 2, ), v 2 = (, 0, ), v = (, 8, ).. v = (, 2, ), v 2 = (, 0, ), v = (, 0, ). Exercice 5. Montrer qu on peut écrire le polynôme F = X X 2 + 8X sous la forme F = a + b( X) + c(x X 2 ) + d(x 2 X ) (calculer a, b, c, d réels), et aussi sous la forme F = α + β( + X) + γ( + X + X 2 ) + δ( + X + X 2 + X ) (calculer α, β, γ, δ réels). 2. Soit P l espace vectoriel des polynômes de degré. Vérifier que les ensembles suivants sont des bases de P : B = {, X, X 2, X }, B 2 = {, X, X X 2, X 2 X }, B = {, + X, + X + X 2, + X + X 2 + X }. Exercice 6 Déterminer pour quelles valeurs de t R les vecteurs 0, t une base de R. Exercice 7, t t 0 forment. Montrer que les vecteurs w = (,, i), w 2 = (, i, ), w = (i,, ) forment une base de C. 2. Calculer les composantes de w = ( + i, i, i) dans cette base.

2 2 Dimension Exercice 8 Si E est un espace vectoriel de dimension finie, F et G deux sous-espaces de E, montrer que : dim(f + G) = dim(f ) + dim(g) dim(f G). Exercice 9 Montrer que tout sous-espace vectoriel d un espace vectoriel de dimension finie est de dimension finie. 2 Exercice 0 On considère, dans R 4, les vecteurs : e = 2, e 2 =, e =, e 4 = 4 2 0, e 5 = 0. 2 Soient E l espace vectoriel engendré par e, e 2, e et F celui engendré par e 4, e 5. Calculer les dimensions respectives de E, F, E F, E + F. Exercice Soient E et F de dimensions finies et u, v L(E, F ).. Montrer que rg(u + v) rg(u) + rg(v). 2. En déduire que rg(u) rg(v) rg(u + v). 2

3 Bibliothèque d exercices Indications L Feuille n 9 Espaces vectoriels de dimension finie Indication 2. Vrai.. Faux. Indication 8 Partir d une base de F G et compléter cette base Indication 9 On peut utiliser des familles libres.

4 Bibliothèque d exercices Corrections L Feuille n 9 Espaces vectoriels de dimension finie Correction det 0 = 0 donc la famille B = {,, 0 } est 0 0 une base de R. 0 = + 0. Ses coordonnées dans B sont donc (/, /, /) = 2 0. Ses coordonnées dans B sont donc (/, /, 2/) = Donc ses coordonnées dans B sont (2/, 2/, /). 0 Correction 2. Le vecteur x = x 2 + x x 2. Donc dans la base (x, x 2, x ) le coordonnées de x sont (,, ) Par exemple la famille {(, 0, 0), (0,, 0)} est libre dans R mais pas génératrice.. La famille {(, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, ), (,, )} est génératrice dans R mais pas libre. Correction. Faux. Par exemple dans R, x = (, 0, 0), y = (0,, 0), z = (,, 0). 2. Vrai. Soit une combinaison linéaire nulle λ x + λ p x p = 0. Supposons qu un des coefficient est non nul : par exemple λ 0. Alors on écrit x = λ 2 λ x 2 λp λ x p. Donc x est une combinaison linéaire de {x 2,..., x p }. Ce qui contredit l hypothèse de l énoncé, donc tous les coefficients sont nuls. Donc {x,..., x p } est une famille libre. Correction 4. C est une base. 2. Ce n est pas une base : v = 4v v 2. Donc l espace Vect(v, v 2, v ) = Vect(v, v 2 ).. C est une base. Correction 5. On trouve a = 0, b = 0, c = 7, d = 8. Puis α =, β = 4, γ = 9, δ = Plus généralement on montre qu une famille de polynômes {P k } k=,...,n avec deg P i = i forme une base de l espace vectoriel P n de polynômes de degré n. Correction 6 C est une base pour t ±. Correction 7. C est bien une base.

5 2. On cherche a, b, c C tels que aw +bw 2 +c w = w. Il s agit donc de résoudre le système : a b + ic = + i a + ib + c = i ia + b c = i On trouve a = 0, b = ( i), c = ( i). Donc les coordonnées de w dans la base 2 2 (w, w 2, w ) sont (0, ( i), ( i)). 2 2 Correction 8. F G est un sous-espace vectoriel de E donc est de dimension finie. Soit (e,... e k ) une base de F G avec k = dim F G. (e,... e k ) est une famille libre dans F donc on peut la compléter en une base de F par le théorème de la base incomplète. Soit donc (f,..., f l ) des vecteurs de F tels que (e,... e k, f,..., f l ) soit une base de F. Nous savons que k + l = dim F. Remarquons que les vecteurs f i sont dans F \ G. Nous repartons de la famille (e,... e k ) mais cette fois nous la complétons en une base de G : soit donc (g,..., g m ) des vecteurs de G tels que (e,... e k, g,..., g m ) soit une base de G. Nous savons que k + m = dim G. Remarquons que les vecteurs g i sont dans G \ F. 2. Montrons que B = (e,... e k, f,..., f l, g,..., g m ) est une base de F + G. C est une famille génératrice car F = Vect(e,... e k, f,..., f l ) Vect(B) et G = Vect(e,... e k, g,..., g m ) Vect(B). Donc F + G Vect(B). C est une famille libre : soit une combinaison linéaire nulle : a e +... a k e k + b f +... b l f l + c g +... c m g m = 0. Notons e = a e a k e k, f = b f b l f l, g = c g c m g m. Donc la combinaison linéaire devient : e + f + g = 0. Donc g = e f, or e et f sont dans F donc g appartient à F. Or les vecteurs g i ne sont pas dans F. Donc g = c g c m g m est nécessairement le vecteur nul. Nous obtenons c g c m g m = 0 c est donc une combinaison linéaire nulle pour la famille libre (g,..., g m ). Donc tous les coefficients c,..., c m sont nuls. Le reste de l équation devient a e +...+a k e k +b f +...+b l f l = 0, or (e,... e k, f,..., f l ) est une base de F donc tous les coefficients a,..., a k, b,..., b l sont nuls. Bilan : tous les coefficients sont nuls donc la famille est libre. Comme elle était génératrice, c est une base.. Puisque B est une base de F + G alors la dimension de F + G est le nombre de vecteurs de la base B : dim(f + G) = k + l + m. Or k = dim F G, l = dim F k, m = dim G k, donc dim(f + G) = dim F + dim G dim(f G). Correction 9 Soit E un espace vectoriel de dimension n et F un sous-espace vectoriel. Supposons que F ne soit pas de dimension finie, alors il existe v,..., v n+, n + vecteurs de F linéairement indépendants dans F. Mais il sont aussi linéairement indépendants dans E. Donc la dimension de E est au moins n +. Contradiction. Deux remarques : 2

6 En fait on a même montrer que la dimension de F est plus petite que la dimension de E. On a utiliser le résultat suivant : si E admet une famille libre à k éléments alors la dimension de E est plus grande que k (ou est infini). Ce résultat est une conséquence immédiate du théorème de la base incomplète. Correction 0 E est engendré par trois vecteurs et F est engendré par deux vecteurs. Donc dim (E) et dim (F ) 2. Clairement e 4 et e 5 ne sont pas liés donc dim (F ) 2 c est à 2 dire dim (F ) = 2. Enfin, det 2 = 0. La famille {e, e 2, e } est donc libre, soit dim (E) i.e. dim (E) =. E F F donc dim (E F ) 2. De plus : dim (E + F ) = dim (E) + dim (F ) dim (E F ). Comme E + F R 4, on a dim (E + F ) 4 d où on tire l inégalité dim (E F ). Donc soit dim (E F ) = soit dim (E F ) = 2. Supposons que dim (E F ) soit égale à 2. Comme E F F on aurait dans ce cas E F = F. En particulier il existerait α, β, γ R tels que e 4 = αe + βe 2 + γe. On vérifie aisément que ce n est pas le cas, donc que dim (E F ) n est pas égale à 2. On peut donc conclure : dim (E F ) = puis dim (E + F ) = 4. Correction. Par la formule dim(f + G) = dim(f ) + dim(g) dim(f G), on sait que dim(f + G) dim(f ) + dim(g). Pour F = Im u et G = Im v on obtient : dim(im u + Im v) dim Im u + dim Im v. Or Im u + Im v = Im(u + v). Donc rg(u + v) rg(u) + rg(v). 2. On applique la formule précédente à u+v et v : rg((u+v)+( v)) rg(u+v)+rg( v), or rg( v) = rg(v) donc rg(u) rg(u + v) + rg(v). Soit rg(u) rg(v) rg(u + v). On recommence en échangeant u et v pour obtenir : rg(u) rg(v) rg(u + v).