TD 11 : Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs Intermédiaires

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1 Université Paris Est Créteil DAEU TD : Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs Intermédiaires Dans cette fiche on définie une propriété très importante qui est vérifiée par un très grand nombre de fonctions : la continuité. On énonce et on utilise un théorème sacrément intuitif. Representation graphique Exercice On se donne la fonction f définie sur l intervalle [,8] dont la représentation graphique est donnée ci dessous Déterminer les images de,,, et 6 par f. Par lecture graphique on a f( ) = 5 ; f( ) = ; f() = ; f() = ; f(6) =. Déterminer l expression de f(x) pour x [, 8]. Le graphe de f est constitué uniquement de segments donc pour chacun des segments on a une expression du type f(x) = ax+b. On a facilement : x+ si x [, ] si x [,] si x ],] f(x) = x + si x [,6[ si x = 6 x +5 si x ]6,8]. Par lecture graphique, déterminer

2 (a) lim f(x)= 5 x x> (b) lim x f(x)= (c) lim f(x)= x x< (d) lim f(x)= x x> (e) lim f(x)= 5 x 6 x<6 (f) lim f(x)= x 6 x>6. Que peut-on dire de lim x x< f(x) et de lim f(x)? x 8 x>8 C est limites n ont aucun sens car la fonction f n est pas définie pour x < ou bien x > 8. Les fonctions continues. Définitions et exemples Dans toute cette section (" Les fonctions continues") on travail sur un intervalle quelconque qui contient au moins deux éléments, cette intervalle sera noté I. C est à dire : ou bien I est un intervalle borné : pour a,b R tels que a < b I = [a,b] ou bien I =]a,b] ou bien I = [a,b[ ou bien I =]a,b[ I est un intervalle non-borné (avec c R) : I =]c,+ [ ou bien I = [c,+ [ ou bien I =],c] ou bien I =],c[ ou bien I = R. On dit qu une fonction f définie sur un intervalle I est continue lorsque pour tout x I on a lim x x f(x) = f(x ), c est à dire lim x x f(x) existe cette limite vaut f(x ) Cette définition peut sembler bien étrange à première vu... Par contre une interprétation graphique simple peut-être faite : Une fonction f définie sur un intervalle I est continue lorsque l on peut tracer sa représentation graphique sans lever le stylo. Si une fonction n est pas continue, on dit qu elle est discontinue; moralement on peut visualiser une telle fonction comme présentant des sauts (voir le graphe de l exercice aux points x = et x = 6).

3 Exercice. Soit f : [,] x { R si x [,]. si x ],] a. Dans le graphique ci-contre tracer la courbe représentative de la fonction f sur l intervalle [, ]. b. La continuité par le graphique. En observant la représentation graphique de la fonction f, selon vous, f est-elle continue? x> c. La continuité par le calcul. Calculer lim x f(x). La fonction f estelle continue dans [, ]? Exemple. Les fonctions usuelles sont continues sur tout intervalle inclus dans leur domaine de définition : f(x) = x est continue sur R - - f(x) = x est continue sur R f(x) = est continue x sur ],[ et ], [ - - f(x) = e x est continue sur R Remarques. Le fait que les fonctions usuelles soient continue sur leur ensemble de définition permet de justifier les calculs du type lim x x 5 = ou bien lim x 57 x x = Par contre cela ne dit rien pour des limites intéressantes, i.e. pour des limites sur le bord du domaine de définition. Exemple. On peut facilement construire des fonctions qui sont discontinues :

4 si x [,[ f(x) = si x = est discontinue si x ],] On observe un saut en x = La fonction partie entière définie par x f(x) où f(x) est l entier qui est immédiatement inférieur ou égal à x Cette fonction est définie sur R et est discontinue : on observe des sauts en chaque valeures entières de x On peut montrer la proposition suivante [voir Exercice ] Proposition. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si f est dérivable sur I alors f est continue sur I. Exercice Démontrer la proposition précédente. Remarque. Attention la réciproque à la proposition précédente est fausse : il existe des fonctions continues qui ne sont pas dérivables. [Voir Exercice ] Exercice On a déjà rencontrer la fonction valeur absolue qui a x R associe la valeur absolue de x notée " x " où { x si x x = x si x.. Tracer le graphe de la fonction valeur absolue pour x [ 5,5].. Pourquoi la fonction valeur absolue est-elle continue sur [ 5,5]? [Utiliser le graphique]. Montrer que x n est pas dérivable en.

5 . Le Théorème des Valeurs Intermédiaires On travail dans cette section sur un intervalle fermée et bornée : I = [a,b] où a,b R et a < b. On se donne une fonction f définie et continue sur [a,b]. Définition. On dit que l R est une valeur comprise entre f(a) et f(b) lorsque f(a) l f(b) si f(a) f(b) ou bien. f(a) l f(b) si f(a) > f(b) Le Théorème des Valeurs Intermédiaires (abrégé par TVI et énoncé ci-dessous) exprime un fait presque évident : on fixe une valeur l comprise entre f(a) et f(b) Le but du TVI est de prouver l existence d une solution à l équation f(x) = l où l inconnue est x et x parcourt l intervalle [a, b]. L existence d une telle solution est affreusement évidente sur un graphique, cela se fait en étapes : ) On trace la courbe C de la fonction f C f(a) ) On place l sur les ordonnées On trace la droite y = l (ici en pointillés) C f(a) ) Le théorème dit : il existe x [a,b] tel que le point (x,l) soit sur la courbe C f(a) [ a ] b [ a l - ] b [ a l - x ] b f(b) f(b) f(b) Plus précisément, le théorème peut s énoncer de la manière suivante : Théorème des Valeurs Intermédiaires [TVI]. Soit f une fonction continue sur un intervalle [a,b] et soit l une valeur comprise entre f(a) et f(b), alors il existe x [a,b] tel que f(x ) = l. Remarque.. Ce théorème peut se reformuler de la manière suivante : Toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b) sont atteintes au moins une fois par f.. Le TVI ne donne aucune information sur la localisation de la solution x outre le fait que x [a,b]. Généralement, si on désire une valeur approché de cette solution, alors on procède par dichotomie en divisant l intervalle [a, b] en sous intervalle et on essaie alors de localiser quel sous intervalle contient une solution en réitérant l utilisation du TVI.. Le TVI ne donne aucune information sur le nombre de solution outre le fait que l on sait qu il en existe au moins une. Par contre, si on sait que la fonction f est strictement monotone (strictement croissante ou bien strictement décroissante) alors, il est clair que l équation f(x) = l possède au plus une solution. Ainsi si x est une solution, alors x est unique.. L hypothèse "f est continue sur [a,b]" est fondamentale. Par exemple avec a = et b = 8, la fonction de l exercice est définie sur [,8] mais n est pas continue. On a f( ) = 5 et f(8) = par contre, on peut facilement voir qu il n existe pas de x [,8] tel que f(x) = 5/ et pourtant 5/

6 5. Une variante très utilisée du TVI est : Si f(a) et f(b) sont de signes contraires [donc la valeur est comprise entre f(a) et f(b)], alors il existe x [a,b] tel que f(x ) =. Exercice 5 Soit f(x) = x +5x.. Justifier très rapidement que f est continue sur R. La fonction f est un polynôme, donc est dérivable. Par suite la fonction f est continue. [Car être dérivable implique d être continue]. Calculer f() et f(). f() = et f() = 5. En utilisant le TVI montrer qu il existe x [,] tel que f(x ) =. La fonction f est continue sur l intervalle [,] et puisque f() et f(), on a que est une valeur comprise entre f() et f(). Ainsi, par le TVI, il existe x [,] tel que f(x ) =. Exercice 6 Pour x on considère le domaine hachuré ci-contre obtenu à partir d un carré de coté x auquel on a ôté un carré de coté x.. Déterminer l expression f(x) de la surface de la partie hachurée. f(x) correspond à la surface d un carré de coté x [donc la surface vaut (x ) = x 6 ] moins la surface d un carré de coté x [donc la surface vaut x ]. Ainsi f(x) = x 6 x. Montrer qu il existe x tel que la surface hachurée mesure exactement unités d aire. D une part on a f() = 6 < et f() = 6 = 9999 > et donc est une valeur comprise entre f() et f(). D autre par la fonction f est continue sur l intervalle [,] puisque c est un polynôme. Ainsi, on peut appliquer le TVI dans l intervalle [,] afin d obtenir qu il existe x [,] (et donc x ) tel que la surface hachurée mesure exactement unités d aire.. Montrer que f est strictement croissante dans [, + [. On a facilement que f (x) = 6x 5 x = x(x ). Il est facile de vérifier que pour x on a x. Ainsi, pour x on a f (x) >. Par suite f est strictement croisante sur [, [.. Montrer que x est unique, i.e, si x x et x alors f(x) Puisque f est strictement croissante sur [, [, toutes les valeurs prises par f sur cet intervalle ne sont prises qu une seule fois. En particulier, on sait que la valeur est prise par f sur [, [, ainsi cette valeur est atteinte une seule fois (en x ). Par suite, si x x et x alors f(x). 5. Donner la partie entière de x. Un calcul rapide permet de trouver : f() = 6 < ; f() = 7 < ; f() = 8 > Ainsi, puisque f est strictement croissante on a x ],[. Par suite la partie entière de x vaut. 6

7 Encore de exercices... Exercice 7 [Bac ES (metropole) ] Le bénéfice en milliers d euros que réalise une entreprise lorsqu elle fabrique et vend x centaines d objets (pour x compris entre et 6) est donné par f(x) = (x )e x + Alix a affiché sur l écran de sa calculatrice la courbe représentative de la fonction f sur l intervalle [ ; 6]. Partie A : objectif «réaliser un bénéfice maximal» L écran ne permet pas à Alix de déterminer le bénéfice maximal. Il décide donc d étudier la fonction f sur l intervalle [ ; 6]. On admet que cette fonction est dérivable sur l intervalle [ ; 6]. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f.. Établir que, pour tout nombre réel x de l intervalle [ ; 6], On a f (x) = (5 x)e x f (x) = [ (x )e x + ] = [ (x )e x ] = (x ) e x +(x ) ( e x ) = e x (x )e x = (5 x)e x. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l intervalle [ ; 6]. On étudie le signe de f (x). D ou le tableau f (x) 5 x [car e X > pour tout X R] x 5 x f (x) f En déduire le nombre d objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice maximal en euros? (Donner la réponse arrondie à l euro). On voit facilement à l aide du tableau de variation que le maximum de f est atteint en x = 5 et vaut donc f( 5 ) 6,9. D où le bénéfice maximal est de 69 euros. 7

8 . Proposer un réglage de la fenêtre graphique permettant de visualiser le maximum de la fonction f. Si notre but set de visualiser le maximum de la fonction f, alors on peut prendre : Partie B : objectif «ne pas vendre à perte» X min = X max = 6 Y min = Y max = 7. Au vu du graphique obtenu par Alix, à partir de combien d objets l entreprise ne vend-elle pas à perte?. Démontrer que sur l intervalle [ ; ] l équation f(x) = admet une unique solution notée α.. Donner une valeur approchée de α à près.. Préciser le nombre d objets à partir duquel l entreprise ne vend pas à perte. Exercice 8 [Bac ES (metropole) ] Partie A On considère la fonction f définie sur [ ; + [ par :. (a) Déterminer la limite de f en +. f(x) = (x x+)e x. (b) Étudier les variations de f sur [; + [.. Montrer que l équation f(x) = admet une solution unique x appartenant à ] ; [. Donner une valeur arrondie à de x.. Déduire des résultats précédents le signe de f(x) sur [; + [. Partie B Une entreprise fabrique un produit, en quantité x exprimée en tonnes, sa capacité de production ne pouvant dépasser tonnes. Le coût total de fabrication de ce produit, en centaines de milliers d euros, est donné par : C T (x) = (x )e x +x+. Le coût moyen est défini sur ]; ] par la formule suivante : C m (x) = C T(x). x. Pour tout x de ]; ] calculer C m (x) et vérifier que l égalité suivante est vraie : f(x) C m (x) = x. En déduire le sens de variation de C m sur ]; ].. Pour quelle production l entreprise a-t-elle un coût moyen minimum? Quel est le coût moyen minimum (arrondi au millier d euros) d une tonne de ce produit? Exercice 9 Soit f une fonction définies et continue sur [,] tel que pour tout x [,] on a f(x) [,]. Montrer qu il existe un point fixe de f dans [,], i.e. il existe x [,] tel que f(x ) = x. 8