Identification par la méthode des moindres carrés et par la méthode du modèle : principe et exemples.
|
|
- Paulette Croteau
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Identification par la méthode des moindres carrés et par la méthode du modèle : principe et exemples. F RANÇOIS B AILLY francois.bailly@ens-cachan.fr J ULIEN F LAMANT julien.flamant@ens-cachan.fr 1 Introduction L identification consiste à chercher les paramètres de modèles mathématiques d un système, à partir de données expérimentales et de connaissances disponibles a priori. Ces paramètres peuvent avoir une signification physique, comme dans les modèles de connaissance (issues de lois de la mécanique, de électricité, etc...), ou ne pas en avoir, comme c est le cas pour les modèles de comportement. Dans les deux cas, ils doivent fournir une approximation fidèle des comportements du système physique, dans la mesure où leurs paramètres sont ajustés à partir de données expérimentales. L objectif cherché est de rendre identiques les réponses du processus et du modèle, pour des séquences d entrée données. F IGURE 1 Principe général de l identification [1] Cette leçon s adresse à un public averti des méthodes d identification dites "graphiques". Elles se basent en pratique sur la réponse du processus à un échelon (réponse indicielle), bien qu en théorie elles pourraient également se baser sur l analyse de la réponse impulsionnelle. Elles permettent de se faire une idée du gain d un système, de sa principale constante de temps et de son éventuel retard. On citera à titre de rappel : La méthode des 63% de la valeur finale pour les systèmes du premier ordre Les méthodes d identification de formes canoniques pour les systèmes oscillants du deuxième ordre Les méthodes de Broïda et de Strejc pour les systèmes à retard Elles ne font pas l objet de cette leçon qui présente deux méthodes plus sophistiquées que sont la méthode des moindres carrés et la méthode du modèle. 2 Méthode des moindres carrés Le principe général de cette méthode est de choisir le jeu de paramètres d un modèle que l on définira, de telle sorte qu il minimise la somme des carrés de la différence entre les valeurs prédites par le modèle et les valeurs observées. 1
2 Pour l identification des paramètres, on dispose d un vecteur de mesures : y = [y 1 y 2 y N ] T Et on veut construire un vecteur estimé, via le modèle et ses paramètres : ŷ = [ŷ 1 ŷ 2 ŷ N ] T Il convient donc d établir le modèle permettant de calculer la variable ŷ. On cherche ce modèle sous forme discrète : ŷ(k+1) = (a 1 y(k) + a 2 y(k 1) + + a n y(k n 1))+b 1 u(k)+b 2 u(k 1)+ +b m u(k m+1) (1) On suppose qu une séquence (u(1), u(2),, u(n)) a été appliquée en entrée, et que la séquence des sorties correspondantes a été observée (y(1), y(2),, y(n)). Notons d ores et déjà que la prédiction par le modèle de ŷ(k+1) est réalisée à partir des mesures antérieures, et non des prédictions antérieures. Afin de limiter les développements lourds en notations, présentons sans plus attendre deux exemples simples. Premier exemple Le premier exemple est le plus classique, celui de la régression linéaire. En effet, bien souvent, on dispose d une série de mesures y en fonction d une entrée u qui semble linéaire, et l on souhaite trouver la régression linéaire, c est à dire l équation de la droite ŷ = f(u) minimisant l erreur au sens des moindres carrés. Pour simplifier, nous chercherons l équation de la droite sous la forme ŷ = au, a étant le paramètre inconnu. Ce modèle permet alors de calculer le vecteur ŷ : Observation Commande Prévision y 0 u 0 ŷ 0 = au 0 y 1 u 1 ŷ 1 = au 1 y N u N ŷ N = au N Le critère à minimiser est alors, au sens des moindres carrés : J(a) = 1 [ (y0 ŷ 0 ) 2 + (y 1 ŷ 1 ) (y N ŷ N ) 2] (2) 2 On peut réécrire ce critère sous forme matricielle : y 0 y 1 y N u 0 u 1 u N Où, y =. et H =.. J(a) = 1 2 (y Ha)T (y Ha) (3) Chercher le paramètre a qui minimise ce critère revient à dériver le critère par rapport à a, et à chercher quand il s annule. La valeur du paramètre qui annulent la dérivée du critère est donnée par : a = (H T H) 1 (y T H) (4) On se propose de vérifier ceci par une simulation. On a un jeu de mesures donné, et on désire trouver la régression linéaire correspondante. 2
3 y u FIGURE 2 Régression linéaire à l aide du critère des moindres carrés. Le paramètre estimé a est a = Deuxième exemple Prenons le cas d un système du première ordre, type réponse d un circuit RC à un échelon de tension. La relation (1) devient : ŷ(k) = ay(k 1) + bu(k 1) (5) Pour s en convaincre, il( convient de considérer le modèle classique d un système du premier ordre dans le domaine de Laplace H(p) = K ), et de le discrétiser à T e à l aide la formule suivante : 1 + τp [ ( )] H(p) H d (z) = (1 z 1 )Z L 1 (6) p ( ) On obtient alors l équation (2), avec a = e Te τ et b = K 1 e Te τ. Le modèle permet de calculer le vecteur ŷ : Observation Commande Prévision y 0 u 0 y 1 u 1 ŷ 1 = ay 0 + bu 0 y 2 u 2 ŷ 2 = ay 1 + bu 1 y N u N ŷ N = ay N 1 + bu N 1 En revenant alors au principe de l identification par les moindres carrés, il convient de calculer l erreur quadratique engendrée par le modèle, qui sera le critère à minimiser, classiquement noté J : J(a, b) = 1 2 [ (y1 ŷ 1 ) 2 + (y 2 ŷ 2 ) (y N ŷ N ) 2] J(a, b) = 1 2 [ ] (y Hθ) T (y Hθ) (7) 3
4 y 1 Où 1 y 2, y =., H = y N y 0 u 0 y 1 u 1. y N 1. u N 1 et θ = ( ) a. b Chercher les paramètres a et b qui minimisent ce critère revient à dériver le critère par rapport à θ, et à chercher quand il s annule. La valeur des paramètres qui annulent la dérivée du critère est donnée par : θ = (H T H) 1 (y T H) (8) C est là un résultat général à retenir dans le cadre de l estimation au sens des moindres carrés. Notons que cette méthode fournit une solution analytique pour calculer les paramètres. On se propose de réaliser une simulation sur le système étudié afin de convaincre le lecteur des performances de la méthode y temps (s) FIGURE 3 Identification par la méthode des moindres carrés d une charge d un circuit R C. Les paramètres estimés sont ˆτ = s et ˆK = 0.953, tandis que les valeurs expérimentales ont été simulées pour τ = 100 ms et K = 1 Comme précisé plus haut, la prédiction est effectuée à l aide des mesures passées, et non des prédictions, ce qui diminue la sensibilité de notre estimateur aux paramètres du critère à minimiser : le modèle calculé à partir de mêmes valeurs expérimentales est moins précis. La méthode suivante pallie ce problème. 3 Méthode du Modèle La méthode du modèle se propose de déterminer les paramètres d un modèle donné, en comparant les mesures expérimentales et les données simulées par le modèle. L idée générale de cette méthode est donnée sur la figure suivante : 1. On notera que dans notre cas, u 0 = u 1 = = u N = 1 (échelon de tension de commande unitaire) 4
5 Moindres carrés, méthode du modèle F IGURE 4 Principe de la méthode du modèle [1] Cette fois ci, on notera les valeurs de sortie simulées par le modèle ym, et l on calculera récursivement les différentes valeurs ym (k) par une relation du type : ym (k) = a1 ym (k 1) a2 ym (k 2) an ym (k n) + b1 u(k 1) + + bp u(k p) (9) Il est important de noter que cette relation fait intervenir les prédictions précédentes, et non les mesures comme dans la méthode des moindres carrés. Le critère à minimiser est alors : X J(θ) = (yk ym (k))2 (10) Il n existe pas, en général, de manière simple de minimiser un tel critère. En pratique on utilisera des méthodes de recherche d extremums, comme l algorithme du gradient ou la méthode de Newton. Retour sur la charge du R C. toujours un modèle de la forme : Revenons à présent à la charge du circuit R C. On cherchera ym (k) = aym (k 1) + bu(k 1) La méthode du modèle, avec minimisation à l aide de la méthode du gradient a été implémentée sous Matlab sous la forme d une animation. Voir le code en annexe. Références [1] F LAUS, J.-M. La régulation industrielle : régulateurs PID, prédictifs et flous. Hermes,
6 Annexe : codes utilisés pour la simulation %% programme e f f e c t u a n t l a s i m u l a t i o n des moindres c a r r e s %% Exemple 1 y = a x % generer l e s donnees y = a0 x + b, b b r u i t e t a0 =3; N = 30; %Nb d e c h a n t i l l o n s a0 =3; x = 1: N ; b = 10 randn (N, 1 ) ; y = a0 x + b ; % e s t i m a t i o n des parametres a = inv (( x x ) ) x y ; p l o t (x, y, +, x, a x ) %% Exemple 2 tau = 100ms, charge RC %generation des mesures Te = 1e 2; t = 0: Te : 0. 7 ; tau =. 1 ; N = length ( t ) ; br = randn (1, N ) ; y = 1 exp( t/tau ) br ; %% e s t i m a t i o n des parametres H = [ y ( 1 : N 1) ones (1, N 1) ] ; theta = inv (H H ) (y ( 2 : N ) H ) ; a = theta (1) ; b = theta (2) ; tauexp = Te/ log( a ) ; Kexp = b/(1+a ) ; p l o t (t, y, +, t, Kexp (1 exp( t/tauexp ) ) ) ; 6
7 %% methode du modele %% Exemple 2 tau = 100ms, charge RC %generation des mesures Te = 1e 2; t = 0: Te : 0. 7 ; tau =. 1 ; N = length ( t ) ; br = randn (1, N ) ; yexp = 1 exp( t/ tau ) br ; %methode du modele %i n i t i a l i s a t i o n a= 0.8;b=0.3; ym = zeros (N, 1 ) ; f o r i =1:N 1 ym ( i+1) = a ym ( i ) + b ; end Nit = 300; % nombres d i t e r a t i o n f o r end i = 1: Nit p l o t (t, yexp, t, ym ) ; pause (. 0 1 ) ; % c a l c u l du g r a d i e n t de J H = [ ym ( 1 : N 1) ones (1, N 1) ] ; theta = [a ; b ] ; gradj = H ( yexp ( 2 : N ) H theta ) ; %on c a l c u l e l e nouveau parametre t h e t a theta = theta gradj ; % on r e c a l c u l e l a s o r t i e a=theta (1) ; b=theta (2) ; ym = zeros (N, 1 ) ; f o r i =1:N 1 ym ( i+1) = a ym ( i ) + b ; end 7
Automatique Linéaire 1 Travaux Dirigés 1A ISMIN
Automatique Linéaire 1 Travaux Dirigés Travaux dirigés, Automatique linéaire 1 J.M. Dutertre 2014 TD 1 Introduction, modélisation, outils. Exercice 1.1 : Calcul de la réponse d un 2 nd ordre à une rampe
Plus en détailNotions d asservissements et de Régulations
I. Introduction I. Notions d asservissements et de Régulations Le professeur de Génie Electrique doit faire passer des notions de régulation à travers ses enseignements. Les notions principales qu'il a
Plus en détailSujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.
Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de
Plus en détailPremier ordre Expression de la fonction de transfert : H(p) = K
Premier ordre Expression de la fonction de transfert : H(p) = K + τ.p. K.e τ K.e /τ τ 86% 95% 63% 5% τ τ 3τ 4τ 5τ Temps Caractéristiques remarquables de la réponse à un échelon e(t) = e.u(t). La valeur
Plus en détailBTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL
BTS Groupement A Mathématiques Session 11 Exercice 1 : 1 points Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL On considère un circuit composé d une résistance et d un condensateur représenté par
Plus en détailIntroduction à MATLAB R
Introduction à MATLAB R Romain Tavenard 10 septembre 2009 MATLAB R est un environnement de calcul numérique propriétaire orienté vers le calcul matriciel. Il se compose d un langage de programmation, d
Plus en détailUtilisation d informations visuelles dynamiques en asservissement visuel Armel Crétual IRISA, projet TEMIS puis VISTA L asservissement visuel géométrique Principe : Réalisation d une tâche robotique par
Plus en détailde calibration Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation d
Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation de quelques problèmes de calibration Plan de la présentation 1. Présentation de quelques modèles à calibrer 1a. Reconstruction d une courbe
Plus en détailCHAPITRE I. Modélisation de processus et estimation des paramètres d un modèle
CHAPITRE I Modélisation de processus et estimation des paramètres d un modèle I. INTRODUCTION. Dans la première partie de ce chapitre, nous rappelons les notions de processus et de modèle, ainsi que divers
Plus en détailChapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques
Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer
Plus en détailRapport de projet de fin d étude
Rapport de projet de fin d étude Réalisé Par : Encadré Par : -Soumya sekhsokh Mohammed RABI -Kawtar oukili Année Universitaire 2010/2011 ETUDE D UNE BOUCLE DE REGULATION DE NIVEAU : - IMPLEMENTATION DU
Plus en détailI Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11. 1 Introduction 13 1.1 Un exemple emprunté à la robotique... 13 1.2 Le plan... 18 1.3 Problème...
TABLE DES MATIÈRES 5 Table des matières I Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11 1 Introduction 13 1.1 Un exemple emprunté à la robotique................... 13 1.2 Le plan...................................
Plus en détailTD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires
TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires I ) Ecrire l'expression analytique des signaux représentés sur les figures suivantes à l'aide de signaux particuliers. Dans le cas du signal y(t) trouver
Plus en détailELEC2753 Electrotechnique examen du 11/06/2012
ELEC2753 Electrotechnique examen du 11/06/2012 Pour faciliter la correction et la surveillance, merci de répondre aux 3 questions sur des feuilles différentes et d'écrire immédiatement votre nom sur toutes
Plus en détailLes équations différentielles
Les équations différentielles Equations différentielles du premier ordre avec second membre Ce cours porte exclusivement sur la résolution des équations différentielles du premier ordre avec second membre
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION. Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique
1 ANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique G. ALLAIRE 28 Janvier 2014 CHAPITRE I Analyse numérique: amphis 1 à 12. Optimisation: amphis
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailAutomatique (AU3): Précision. Département GEII, IUT de Brest contact: vincent.choqueuse@univ-brest.fr
Automatique (AU3): Précision des systèmes bouclés Département GEII, IUT de Brest contact: vincent.choqueuse@univ-brest.fr Plan de la présentation Introduction 2 Écart statique Définition Expression Entrée
Plus en détailOptimisation et programmation mathématique. Professeur Michel de Mathelin. Cours intégré : 20 h
Télécom Physique Strasbourg Master IRIV Optimisation et programmation mathématique Professeur Michel de Mathelin Cours intégré : 20 h Programme du cours d optimisation Introduction Chapitre I: Rappels
Plus en détailPrécision d un résultat et calculs d incertitudes
Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* 2012-2013 Lycée Chaptal 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique................................ 4 1.1 Notations.........................................................
Plus en détail3.2. Matlab/Simulink. 3.2.1. Généralités
3.2. Matlab/Simulink 3.2.1. Généralités Il s agit d un logiciel parfaitement dédié à la résolution de problèmes d'analyse numérique ou de traitement du signal. Il permet d'effectuer des calculs matriciels,
Plus en détailENSPS 3A ISAV Master ISTI AR. J. Gangloff
Commande prédictive ENSPS 3A ISAV Master ISTI AR J. Gangloff Plan 1.Introduction / Historique 2.Modélisation du système 3.Fonction de coût 4.Équations de prédiction 5.Commande optimale 6.Exemples 7.Réglage
Plus en détailExercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné :
Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Exo7 Plans tangents à un graphe, différentiabilité Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point
Plus en détailLa régulation. Principe de régulation p. 2. La régulation PID p. 5. La régulation à modèle p. 12. Autres types de régulation p. 15
Le magazine Schneider Electric de l'enseignement technologique et professionnel Juin 2004 La régulation Principe de régulation p. 2 La régulation PID p. 5 La régulation est au cœur de toutes nos actions
Plus en détailCircuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance
Chapitre 5 Circuits RL et RC Ce chapitre présente les deux autres éléments linéaires des circuits électriques : l inductance et la capacitance. On verra le comportement de ces deux éléments, et ensuite
Plus en détailSCIENCES INDUSTRIELLES (S.I.)
SESSION 2014 PSISI07 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI " SCIENCES INDUSTRIELLES (S.I.) Durée : 4 heures " N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision
Plus en détailProbabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12
Probabilités. I - Rappel : trois exemples. Exemple 1 : Dans une classe de 25 élèves, il y a 16 filles. Tous les élèves sont blonds ou bruns. Parmi les filles, 6 sont blondes. Parmi les garçons, 3 sont
Plus en détailRO04/TI07 - Optimisation non-linéaire
RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire Stéphane Mottelet Université de Technologie de Compiègne Printemps 2003 I Motivations et notions fondamentales 4 I1 Motivations 5 I2 Formes quadratiques 13 I3 Rappels
Plus en détailMonitoring continu et gestion optimale des performances énergétiques des bâtiments
Monitoring continu et gestion optimale des performances énergétiques des bâtiments Alexandre Nassiopoulos et al. Journée d inauguration de Sense-City, 23/03/2015 Croissance de la demande énergétique et
Plus en détailExamen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)
Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailChap 4: Analyse syntaxique. Prof. M.D. RAHMANI Compilation SMI- S5 2013/14 1
Chap 4: Analyse syntaxique 1 III- L'analyse syntaxique: 1- Le rôle d'un analyseur syntaxique 2- Grammaires non contextuelles 3- Ecriture d'une grammaire 4- Les méthodes d'analyse 5- L'analyse LL(1) 6-
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailCMI ECONOMIE, FINANCE QUANTITATIVE ET STATISTIQUES - PARCOURS FORMATION EN APPRENTISSAGE
Université de PARIS 2 - ASSAS 1/3 PARCOURS FORMATION EN APPRENTISSAGE L1 S1 Mathématiques 1 4 L1 S1 Statistiques 1 4 L1 S1 Fondemants de l'informatique 4 L1 S1 Compléments Maths 2 L1 S1 Compléments Stats
Plus en détailContents. 1 Introduction Objectifs des systèmes bonus-malus Système bonus-malus à classes Système bonus-malus : Principes
Université Claude Bernard Lyon 1 Institut de Science Financière et d Assurances Système Bonus-Malus Introduction & Applications SCILAB Julien Tomas Institut de Science Financière et d Assurances Laboratoire
Plus en détailComparer l intérêt simple et l intérêt composé
Comparer l intérêt simple et l intérêt composé Niveau 11 Dans la présente leçon, les élèves compareront divers instruments d épargne et de placement en calculant l intérêt simple et l intérêt composé.
Plus en détailAlgorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome
Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Frédéric Jean Unité de Mathématiques Appliquées ENSTA Le 02 février 2006 Outline 1 2 3 Modélisation Géométrique d un Robot Robot
Plus en détailContrôle par commande prédictive d un procédé de cuisson sous infrarouge de peintures en poudre.
Contrôle par commande prédictive d un procédé de cuisson sous infrarouge de peintures en poudre. Isabelle Bombard, Bruno da Silva, Pascal Dufour *, Pierre Laurent, Joseph Lieto. Laboratoire d Automatique
Plus en détailProjet de Traitement du Signal Segmentation d images SAR
Projet de Traitement du Signal Segmentation d images SAR Introduction En analyse d images, la segmentation est une étape essentielle, préliminaire à des traitements de haut niveau tels que la classification,
Plus en détailLa programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique
La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation
Plus en détailAutomatique des systèmes linéaires continus
MINISTERE DE L ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE D ORAN-M B- FACULTE DE GENIE ELECTRIQUE DEPARTEMENT D AUTOMATIQUE Polycopié de : Automatique
Plus en détailI- Définitions des signaux.
101011011100 010110101010 101110101101 100101010101 Du compact-disc, au DVD, en passant par l appareil photo numérique, le scanner, et télévision numérique, le numérique a fait une entrée progressive mais
Plus en détailSECTEUR 4 - Métiers de la santé et de l hygiène
SECTEUR 4 - Métiers de la santé et de l hygiène A lire attentivement par les candidats Sujet à traiter par tous les candidats inscrit au BEP Les candidats répondront sur la copie. Les annexes éventuelles
Plus en détailCompte rendu des TP matlab
Compte rendu des TP matlab Krell Stella, Minjeaud Sebastian 18 décembre 006 1 TP1, Discrétisation de problèmes elliptiques linéaires 1d Soient > 0, a R, b 0, c, d R et f C([0, 1], R). On cerce à approcer
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailPartie 1 - Séquence 3 Original d une fonction
Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)
Plus en détailCorps des nombres complexes, J Paul Tsasa
Corps des nombres complexes, J Paul Tsasa One Pager Février 2013 Vol. 5 Num. 011 Copyright Laréq 2013 http://www.lareq.com Corps des Nombres Complexes Définitions, Règles de Calcul et Théorèmes «Les idiots
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailCoup de Projecteur sur les Réseaux de Neurones
Coup de Projecteur sur les Réseaux de Neurones Les réseaux de neurones peuvent être utilisés pour des problèmes de prévision ou de classification. La représentation la plus populaire est le réseau multicouche
Plus en détailLa Recherche du Point Optimum de Fonctionnement d un Générateur Photovoltaïque en Utilisant les Réseaux NEURO-FLOUS
Rev. Energ. Ren. : Chemss 2000 39-44 La Recherche du Point Optimum de Fonctionnement d un Générateur Photovoltaïque en Utilisant les Réseaux NEURO-FLOUS D.K. Mohamed, A. Midoun et F. Safia Département
Plus en détailÉquations non linéaires
Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et
Plus en détailINTRODUCTION A L ELECTRONIQUE NUMERIQUE ECHANTILLONNAGE ET QUANTIFICATION I. ARCHITECTURE DE L ELECRONIQUE NUMERIQUE
INTRODUCTION A L ELECTRONIQUE NUMERIQUE ECHANTILLONNAGE ET QUANTIFICATION I. ARCHITECTURE DE L ELECRONIQUE NUMERIQUE Le schéma synoptique ci-dessous décrit les différentes étapes du traitement numérique
Plus en détail4 Exemples de problèmes MapReduce incrémentaux
4 Exemples de problèmes MapReduce incrémentaux 1 / 32 Calcul des plus courtes distances à un noeud d un graphe Calcul des plus courts chemins entre toutes les paires de noeuds d un graphe Algorithme PageRank
Plus en détailÉdIteur officiel et fournisseur de ServIceS professionnels du LogIcIeL open Source ScILab
ÉdIteur officiel et fournisseur de ServIceS professionnels du LogIcIeL open Source ScILab notre compétence d'éditeur à votre service créée en juin 2010, Scilab enterprises propose services et support autour
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détail500 W sur 13cm avec les modules PowerWave
500 W sur 13cm avec les modules PowerWave Philippe Borghini / F5jwf f5jwf@wanadoo.fr Janvier 2012 Introduction Tout le monde a déjà vu au moins une fois, sur les puces, ces fameuses platines PowerWave
Plus en détailChp. 4. Minimisation d une fonction d une variable
Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailProgrammation linéaire
Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire
Plus en détailPôle Performance Industrielle Durable. Page 1 Rencontre SEE Le 20/05/2014 Lille. Innover
Page 1 Innover en mécanique Page 2 Rencontre Solutions Energie Entreprises Lille le 20 mai 2014 Atelier : «Audit énergétique obligatoire : quelles sont les entreprises concernées?» Eric SENECHAL-CETIM
Plus en détailArithmétique binaire. Chapitre. 5.1 Notions. 5.1.1 Bit. 5.1.2 Mot
Chapitre 5 Arithmétique binaire L es codes sont manipulés au quotidien sans qu on s en rende compte, et leur compréhension est quasi instinctive. Le seul fait de lire fait appel au codage alphabétique,
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives.
L G L G Prof. Éric J.M.DELHEZ ANALYSE MATHÉMATIQUE ÉALUATION FORMATIE Novembre 211 Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d Analyse Mathématique.
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailOrdonnancement robuste et décision dans l'incertain
Ordonnancement robuste et décision dans l'incertain 4 ème Conférence Annuelle d Ingénierie Système «Efficacité des entreprises et satisfaction des clients» Centre de Congrès Pierre Baudis,TOULOUSE, 2-4
Plus en détailChapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires
Chapitre 3 Les régimes de fonctionnement de quelques circuits linéaires 25 Lechapitreprécédent avait pour objet l étude decircuitsrésistifsalimentéspar dessourcesde tension ou de courant continues. Par
Plus en détailCommande Prédictive. J. P. Corriou. LSGC-ENSIC-CNRS, Nancy. e-mail : corriou@ensic.inpl-nancy.fr
Commande Prédictive J P Corriou LSGC-ENSIC-CNRS, Nancy e-mail : corriou@ensicinpl-nancyfr Ý Consigne Trajectoire de référence Ý Ö Réponse Ý Horizon de prédiction À Ô ¹ Ù ¹ Temps Entrée Ù Horizon de commande
Plus en détailChapitre 1. L intérêt. 2. Concept d intérêt. 1. Mise en situation. Au terme de ce chapitre, vous serez en mesure de :
Chapitre 1 L intérêt Au terme de ce chapitre, vous serez en mesure de : 1. Comprendre la notion générale d intérêt. 2. Distinguer la capitalisation à intérêt simple et à intérêt composé. 3. Calculer la
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailUne comparaison de méthodes de discrimination des masses de véhicules automobiles
p.1/34 Une comparaison de méthodes de discrimination des masses de véhicules automobiles A. Rakotomamonjy, R. Le Riche et D. Gualandris INSA de Rouen / CNRS 1884 et SMS / PSA Enquêtes en clientèle dans
Plus en détailPeut-on imiter le hasard?
168 Nicole Vogel Depuis que statistiques et probabilités ont pris une large place dans les programmes de mathématiques, on nous propose souvent de petites expériences pour tester notre perception du hasard
Plus en détailAlgèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008)
Université Mohammed V Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Filière : SMI Algèbre binaire et Circuits logiques (27-28) Prof. Abdelhakim El Imrani Plan. Algèbre de Boole 2. Circuits
Plus en détailQuantification Scalaire et Prédictive
Quantification Scalaire et Prédictive Marco Cagnazzo Département Traitement du Signal et des Images TELECOM ParisTech 7 Décembre 2012 M. Cagnazzo Quantification Scalaire et Prédictive 1/64 Plan Introduction
Plus en détailIntroduction à l approche bootstrap
Introduction à l approche bootstrap Irène Buvat U494 INSERM buvat@imedjussieufr 25 septembre 2000 Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-1 Plan du cours Qu est-ce que le bootstrap?
Plus en détail4.2 Unités d enseignement du M1
88 CHAPITRE 4. DESCRIPTION DES UNITÉS D ENSEIGNEMENT 4.2 Unités d enseignement du M1 Tous les cours sont de 6 ECTS. Modélisation, optimisation et complexité des algorithmes (code RCP106) Objectif : Présenter
Plus en détailTable des matières. I Mise à niveau 11. Préface
Table des matières Préface v I Mise à niveau 11 1 Bases du calcul commercial 13 1.1 Alphabet grec...................................... 13 1.2 Symboles mathématiques............................... 14 1.3
Plus en détailESSEC. Cours «Management bancaire» Séance 3 Le risque de crédit Le scoring
ESSEC Cours «Management bancaire» Séance 3 Le risque de crédit Le scoring Les méthodes d évaluation du risque de crédit pour les PME et les ménages Caractéristiques Comme les montants des crédits et des
Plus en détailIntroduction. I Étude rapide du réseau - Apprentissage. II Application à la reconnaissance des notes.
Introduction L'objectif de mon TIPE est la reconnaissance de sons ou de notes de musique à l'aide d'un réseau de neurones. Ce réseau doit être capable d'apprendre à distinguer les exemples présentés puis
Plus en détailCalculer avec Sage. Revision : 417 du 1 er juillet 2010
Calculer avec Sage Alexandre Casamayou Guillaume Connan Thierry Dumont Laurent Fousse François Maltey Matthias Meulien Marc Mezzarobba Clément Pernet Nicolas Thiéry Paul Zimmermann Revision : 417 du 1
Plus en détailK W = [H 3 O + ] [OH - ] = 10-14 = K a K b à 25 C. [H 3 O + ] = [OH - ] = 10-7 M Solution neutre. [H 3 O + ] > [OH - ] Solution acide
La constante d autoprotolyse de l eau, K W, est égale au produit de K a par K b pour un couple acide/base donné : En passant en échelle logarithmique, on voit donc que la somme du pk a et du pk b d un
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailAnalyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I
Analyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I Roxane Duroux 1 Cadre de l étude Cette étude s inscrit dans le cadre de recherche de doses pour des essais cliniques
Plus en détailAvertissement sur les Risques Associés aux CFDs
CMC MARKETS UK PLC Avertissement sur les Risques Associés aux CFDs January 2015 RCS Paris: 525 225 918 Société immatriculée en Angleterre sous le numéro 02448409 Agréée et réglementée par la Financial
Plus en détailTP N 57. Déploiement et renouvellement d une constellation de satellites
TP N 57 Déploiement et renouvellement d une constellation de satellites L objet de ce TP est d optimiser la stratégie de déploiement et de renouvellement d une constellation de satellites ainsi que les
Plus en détailÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE
ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE JEAN-DENIS FOUKS, EMMANUEL LESIGNE ET MARC PEIGNÉ J.-D. Fouks. École Supérieure d Ingénieurs de Poitiers. 40 avenue du Recteur Pineau, 860 Poitiers
Plus en détailFormation des enseignants. Le tensiomètre. Objet technique modélisable issu de l environnement des élèves
Le tensiomètre Objet technique modélisable issu de l environnement des élèves Un peu d'histoire C'est en 1628 que W. Harvey découvrit la circulation du sang. C'est pourtant seulement en 1730 que la pression
Plus en détailFiltrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales
Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de
Plus en détailLe calculateur numérique pour la commande des processus
Le calculateur numérique pour la commande des processus par Daniel JAUME Maître de Conférences au Laboratoire d Automatique du Conservatoire National des Arts et Métiers et Michel VERGÉ Professeur des
Plus en détailProjet de synthèse de l'électronique analogique : réalisation d'une balance à jauges de contrainte
J3eA, Journal sur l enseignement des sciences et technologies de l information et des systèmes, Volume 4, HorsSérie 2, 20 (2005) DOI : http://dx.doi.org/10.1051/bibj3ea:2005720 EDP Sciences, 2005 Projet
Plus en détailTESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION
TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION Bruno Saussereau Laboratoire de Mathématiques de Besançon Université de Franche-Comté Travail en commun
Plus en détailRationalisez vos processus et gagnez en visibilité grâce au cloud
Présentation de la solution SAP s SAP pour les PME SAP Business One Cloud Objectifs Rationalisez vos processus et gagnez en visibilité grâce au cloud Favorisez une croissance rentable simplement et à moindre
Plus en détailLe Modèle Linéaire par l exemple :
Publications du Laboratoire de Statistique et Probabilités Le Modèle Linéaire par l exemple : Régression, Analyse de la Variance,... Jean-Marc Azaïs et Jean-Marc Bardet Laboratoire de Statistique et Probabilités
Plus en détail