Dérivation numérique. Problématique : Vincent Nozick. Étant donnée une fonction f, on veut estimer la dérivée f de f en un point x.

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1 Dérivation numérique Dérivation numérique Vincent Nozick Problématique : Étant donnée une fonction f, on veut estimer la dérivée f de f en un point x Vincent Nozick Dérivation numérique 1 / 21 Vincent Nozick Dérivation numérique 2 / 21 Dérivation numérique Dérivation numérique Fonctions étudiées : fonctions analytiques (fonctions dont on connait la formule) R R, continues et dérivables fonctions non analytiques, mais évaluables en n importe quel point un ensemble de points représentant une fonction supposée continue Applications : Résolution de systèmes physiques Traitement d image ou du signal Vincent Nozick Dérivation numérique 3 / 21 Vincent Nozick Dérivation numérique 4 / 21

2 Dérivée Dérivée f (x 0 ) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 f(x) f(x 0 ) } x x {{ 0 } dérivée ressemble à f(x B ) f(x A ) x B x A }{{} coefficient directeur d une droite Vincent Nozick Dérivation numérique 5 / 21 Vincent Nozick Dérivation numérique 6 / 21 Calcul de la dérivée Dérivée la formulation : Si on a la formule analytique de la fonction, on peut la dériver en utilisant des méthodes de calcul formel (maple/mupad) Et si on ne l a pas? on peut en faire une estimation est équivalente à : f (x 0 ) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h Vincent Nozick Dérivation numérique 7 / 21 Vincent Nozick Dérivation numérique 8 / 21

3 Dérivée avant Dérivée arrière f (x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ) f (x 0 ) f(x 0) f(x 0 ) Vincent Nozick Dérivation numérique 9 / 21 Vincent Nozick Dérivation numérique 10 / 21 Dérivée centrée Dérivée centrée f (x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ) 2 Vincent Nozick Dérivation numérique 11 / 21 Vincent Nozick Dérivation numérique 11 / 21

4 Formule de Taylor : (x a) 2 + (x a) 2 + Vincent Nozick Dérivation numérique 12 / 21 Vincent Nozick Dérivation numérique 13 / 21 (x a) 2 + changement de variable : x x ± a x (x a) 2 + changement de variable : x x ± a x Vincent Nozick Dérivation numérique 13 / 21 Vincent Nozick Dérivation numérique 13 / 21

5 (x a) 2 + changement de variable : x x ± a x 2 f (x) 2 f (x) f(x + ) f(x) = f (x) + f (x) 1 + Vincent Nozick Dérivation numérique 13 / 21 Vincent Nozick Dérivation numérique 14 / 21 2 f (x) 2 f (x) f(x + ) f(x) = f (x) + f (x) 1 + f(x) f(x ) = f (x) f (x) 1 + dérivée avant 1 ordre 1 Vincent Nozick Dérivation numérique 14 / 21 Vincent Nozick Dérivation numérique 15 / 21

6 2 f (x) 2 f (x) f(x) f(x ) = f (x) f (x) 1 + f(x + ) f(x ) = 2f (x) + 2 f (x) dérivée arrière 1 ordre 1 Vincent Nozick Dérivation numérique 15 / 21 Vincent Nozick Dérivation numérique 16 / 21 2 f (x) 2 f (x) f(x + ) f(x ) = 2f (x) + 2 f (x) f(x 0 + ) f(x 0 ) 2 = f (x) + f (x) 2 + f(x + ) f(x ) = 2f (x) + 2 f (x) f(x 0 + ) f(x 0 ) 2 = f (x) + f (x) 2 + dérivée centrée 2 ordre 2 (plus précis) Vincent Nozick Dérivation numérique 16 / 21 Vincent Nozick Dérivation numérique 16 / 21

7 Dérivées partielles Bilan: dérivée avant : f (x) f(x 0 + ) f(x 0 ) dérivée arrière : dérivée centrée : f (x) f(x 0) f(x 0 ) f (x) f(x 0 + ) f(x 0 ) 2 ordre 1 ordre 1 ordre 2 Soit une fonction f à plusieurs variables de R n R m : x 1 f 1 (x 1, x 2,, x n ) x 2 f 2 (x 1, x 2,, x n ) f : x = x n f m (x 1, x 2,, x n ) Définition: La dérivée partielle de f est la dérivée par rapport à l une de ses variables, les autres étant gardées constantes Vincent Nozick Dérivation numérique 17 / 21 Vincent Nozick Dérivation numérique 18 / 21 Dérivées partielles Dérivées partielles Exemple: f : x = x 1 x 2 x n f 1 (x 1, x 2,, x n ) f 2 (x 1, x 2,, x n ) f m (x 1, x 2,, x n ) f(x) x i est la dérivée partielle de f par rapport à la variable x i du vecteur x Lors du calcul de cette dérivée, les autres variables x j i sont considérées comme constantes En pratique : f(x) x i f(x + i) f(x) δx i avec i = 0 δx i il est conseillé de choisir : δx i = max ( min(x i 10 4, 10 6 ), 10 15) favorise δx i = x i 10 4 tout en imposant que 10 6 δx i Vincent Nozick Dérivation numérique 19 / 21 Vincent Nozick Dérivation numérique 20 / 21

8 Matrice jacobienne f : x = x 1 x 2 x n f 1 (x 1, x 2,, x n ) f 2 (x 1, x 2,, x n ) f m (x 1, x 2,, x n ) Définition: La matrice jacobienne J est la matrice des dérivées partielles du premier ordre d une fonction vectorielle f J = (f 1,, f m ) (x 1,, x n ) = f 1 f 1 x n x 1 f m x 1 f m x n Vincent Nozick Dérivation numérique 21 / 21