Fonctions continues et dérivables

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1 Capitre 2 Fonctions continues et dérivables 2.1 La notion de fonction Definition Une fonction est une relation particulière entre deux variables. De façon précise, on dit qu une variable y est fonction de la variable x si pour toute valeur de x, il correspond une et une seule valeur de y. Les fonctions se notent par des lettres f, g,,... ou parfois des lettres grecques : Φ, φ, ϕ, Ψ, ψ,... On note la relation fonctionnelle sous la forme y = fx), ou f : x y. On peut penser à la fonction comme une règle, ou une macine qui prend la variable x comme input et qui produit la variable y en output. Si y = fx) est une fonction, on dit que x est une préimage et y est l image de cette préimage, on dit aussi que x est la variable libre et y est la variable dépendante. Voyons quelques fonctions familière : La fonction constante : fx) = c = constante) pour tout x. La fonction identité : fx) = x pour tout x. fx) = x 2. fx) = x. fx) = 1 x. Les polynômes : Px) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n. Les fonctions trigonométriques sinx), cosx). Les exponentielles fx) = a x. les logaritmes... Domaine de définition Nous avons dit qu une fonction est une relation particulière entre deux variables, mais nous n avons pas précisé ce que recouvre le mot variable. Pour le moment, nous nous limiterons au cas ou les variables sont des nombres réels on parle de variable réelle), dans certains cas les variables sont même des nombres entiers. En général, la variable est restreinte : elle ne peut pas prendre toutes les valeurs réelles et elle appartient à un un sous-ensemble D R qu on appelle le domaine de la variable. 17

2 Le domaine D de la variable x est souvent un intervalle, par exemple : [a, b] = { x R a x b } [a, b[ = { x R a x < b } [a, [ = { x R a x } ]a, b] = { x R a < x b } ], b] = { x R x b } ]a, b[ = { x R a < x < b }. Si la fonction f transforme x en la variable y, alors le domaine de x s appelle le domaine de définition de la fonction et se note Df). La fonction doit être bien définie pour tout x dans le domaine Df). Par exemple si fx) = 1 x, alors le domaine de définition maximal est R = R \ {0} l ensemble R privé de 0). Si fx) = x, alors le domaine de définition maximal est R + = [0, [ Construction de nouvelles fonctions A partir d une fonction fx) ou de plusieurs fonctions fx), gx),..., on peut en obtenir de nouvelles par diverses opérations algébrique : A) La somme de deux fonctions f et g est la nouvelle fonction f + g) définie par f + g)x) = fx) + gx) f + g) : x fx) + gx). B) Le produit de deux fonctions f et g est la nouvelle fonction f g) définie par f g)x) = fx) gx) f g) : x fx) gx). l une de ces deux fonctions peut -être constante, on obtient alors le produit d une fonction par une constante a f : x a fx)). C) Le quotient de deux fonctions f et g est la nouvelle fonction f g définie par ) f x) = fx) ) f : x fx) g gx) g gx). Exemple : si fx) = sinx) et gx) = cosx), alors f g x) = tanx). D) La composition de deux fonctions f et g est la nouvelle fonction g f obtenue en appliquant d abord f puis g : g fx) = gfx)). Exemple : si fx) = x 2 et gy) = y 3, alors g fx) = x 6, car g fx) = gfx)) = gx 2 ) = x 2 ) 3 = x 2 3 = x 6. E) Le maximum de deux fonctions f et g est la nouvelle fonction max{f, g} obtenue en prenant pour caque x la plus grande des deux images fx) et gx) : Exemple : x = max{x, x}. max{f, g} : x max{fx), gx)} 18

3 2.1.3 La notion de limite d une fonction Soit y = fx) une fonction. On veut donner un sens précis à la prase : La variable y tend vers b lorsque x tend vers a. Supposons pour cela que a Df) et b R : Définition On dit que y = fx) converge vers b lorsque x converge vers a et on note b = lim fx) si pour toute suite x k d éléments du domaine Df) qui converge vers a, la suite y k = fx k ) des images converge vers b : Si lim x k = a, alors lim fx k) = b k k On définit aussi lim fx) = si pour toute suite x k d éléments du domaine Df) qui converge vers a, la suite y k = fx k ) des images tend vers : Si lim x k = a, alors lim fx k) = k k Propriétés des limites Les propriétés de la convergence répètent celles de la convergences des suites : a) Si lim fx) = b = lim x) et si fx) gx) x) pour tout x, alors lim gx) = b. b) Si lim fx) = et si gx) fx) pour tout x, alors lim gx) = ; c) lim f + g)x) = lim fx) + lim gx); d) limf g)x) = lim fx)) lim gx)); e) lim f g ) x) = lim fx) lim gx). On suppose dans ces règles que les limites écrites existent et que lim gx) 0 pour la dernière règle Fonctions continues Définition La fonction y = fx) est continue en a Df) si pour toute suite x k qui converge vers a, la suite des images y k = fx k ) converge vers fa) : lim fx) = fa) Si ça n est pas le cas, on dit que la fonction a une discontinuité en a. On dit que la fonction f est continue si elle est continue en tout point de son domaine de définition. Exemple : Considérons la fonction f : R R définie par { 1 f : x x si x 0; 0 si x = 0. est discontinue en x = 0. 19

4 Propriétés des fonctions continues i.) Si f et g sont continues en a, alors f + g) et f g) aussi. ii.) Si f et g sont continues en a et g ne s annule pas, alors f g est continue en a. iii.) Si f est continue en a et g est continue en b = fa), alors g f est continue en a. Téorème 2.1 Téorème de la valeur intermédiaire) Soit f une fonction continue sur l intervalle fermé [a, b]. Supposons que fa) < fb). Alors pour tout nombre y tel que fa) y fb), il existe au moins) une valeur de x dans l intervalle [a, b] telle que fx) = y. Remarque : Ce téorème est faux si la fonction n est pas continue! Exemple : On veut prouver que la racine carrée de 5 existe. Considérons pour cela la fonction fx) = x 2, cette fonction est continue. Observons que f0) = 0 et f3) = 9. Or 0 5 9, donc par le téorème de la valeur intermédiaire) il existe un x entre 0 et 3 tel que x 2 = fx) = 5. Exemple : Cette métode permet aussi de prouver que n x existe pour tout x > 0 et tout entier naturel n. Corollaire 2.2 Soit f : [a, b] R une fonction qui est continue et strictement croissante. Alors il existe une fonction x = gy), g : [fa), fb)] [a, b] qui est inverse de f, c est-à-dire g fx) = x, pour tout x [a, b]. De plus. cette fonction g est continue. Cette fonction s appelle l inverse ou la réciproque de f et se note f 1 : [fa), fb)] [a, b] On fera attention de ne pas confondre la fonction inverse f 1 avec l inverse algébrique 1 f. 2.2 La dérivée d une fonction Exemple : la notion de vitesse instantanée Considérons une particule qui se déplace au cours du temps, et notons st) la distance parcourue par cette particule jusqu au temps t. La vitesse moyenne de cette particule entre les temps t 0 et t 1 est le quotient st 1 ) st 0 ) t 1 t 0 et la vitesse instantanée est la limite suivante si elle existe) Cette limite est un exemple de dérivée. st 1 ) st 0 ) lim. t 1 t 0 t 1 t 0 D une manière générale, si y = fx) est une fonction de x, alors la variation moyenne d amplitude en x de cette fonction est le quotient fx + ) fx). La dérivée de f en x est la limite de ce quotient lorsque 0 à condition que cette limite existe). On la note f x), ainsi f fx + ) fx) x) = lim. 0 20

5 Attention, cette limite est une limite du type 0 0. Elle n existe pas toujours. On dit que la fonction f est dérivable en x si la limite existe. Exemple 1 Considérons la fonction fx) = 3x 5. Alors fx + ) fx) = 3x + ) 3x = 3, donc fx+) fx) = 3 et f fx + ) fx) x) = lim = 3. 0 Plus généralement, si fx) = a x + b, alors f est dérivable et f x) = a pour tout x. Exemple 2 Soit fx) = x 2. Alors fx + ) = x + ) 2 = x 2 + 2x + 2, donc et donc fx + ) fx) = 2x + 2 f x) = lim 0 fx + ) fx) = lim 0 2x + ) = 2x. = 2x +, On a montré que Exemple 3 Soit fx) = x n. La formule du binôme pour x + ) n s écrit x 2 ) = 2x. x + ) n = x n + n x n 1 + C n 2 xn n donc et finalement On a montré que x + ) n x n = n x n 1 + C n 2 xn n x + ) n x n = n x n 1 + ) f x) = lim 0 x + ) n x n x n ) = n x n 1. = n x n 1. 21

6 Règles de dérivations : f + g) = f + g a f) = a f a est une constante) f g) = f g + f g Règle de Leibniz) ) 1 = g g g 2 ) f = f g f g ) g 2 g f gx) ) ) = f gx) ) g x) dérivation en caîne) si gfx)) = x, alors g = 1 f g dérivation de la fonction réciproque) Preuve de la Règle de Leibniz on a f g)x + ) f g)x) = fx + ) gx + )fx) gx) donc f g)x + ) f g)x) = D où la règle de Leibniz. Exemple 1 : La règle de Leibniz entraîne que poser f = g). = fx + ) gx + ) fx)gx + ) + fx)gx + ) fx) gx) = fx + ) fx))gx + ) + fx)gx + ) gx)) fx + ) fx)) gx + ) gx)) gx + ) + fx) f 2 x)) = 2fx) f x) Exemple 2 : Soit fx) = x dans l exemple précédent, alors f 2 x) = x. Donc 1 = x = 2 x x), c est à dire x) = 1 2 x. 22

7 Quelques dérivées importantes : Si f est constante, alors f = 0 ax + b) = a e x ) = e x loga x) ) = 1 lna) x pour tout a > 0. lnx ) = 1 x x a ) = ax a 1 pour tout a 0. sin x) = cosx cos x) = sin x tanx)) = arcsinx) = 1 cos 2 x) = 1 + tan2 x) 1 1 x 2 1 arccosx) = 1 x 2 arctanx) = x Approximation linéaire d une fonction Proposition 2.3 Si f est une fonction dérivable en x, alors on a au voisinage de x : fx + ) = fx) + f x) + ϕ 1 x, ), où ϕ 1 est un infiniment petit d ordre 1, c est à dire ϕ 1 x, ) lim = 0. 0 Cette formule s appelle la formule d approximation linéaire de la fonction f en x. Preuve On définit la fonction ϕ 1 x, ) par la formule ϕ 1 x, ) = fx+) fx)) f x). Divisons cette équation par ϕ 1 x, ) fx + ) fx)) = f x), et faisons tendre vers 0. Il vient ϕ 1 x, ) fx + ) fx)) lim = lim f x). 0 0 Et cette quantité vaut 0 par définition de la dérivée f x). 23

8 Cette formule est utilisée dans les calculs approximatifs. Les calculs sont approximatifs, mais on peut contrôler l erreur effectuée, le raisonement reste donc rigoureux.) Supposons par exemple que nous voulons estimer 98. On observe que 98 = = ) = On a donc 98 = f ) avec fx) = 10 1 x. La dérivée de f est f x) = 5 1 x et en particulier f 0) = 5. En utilisant l approximation linéaire fx + ) = fx) + f x) avec x = 0, f0) = 10 f 0) = 5 et = 0.02, on trouve que 98 = f0.02) = fx) + f x) = = 9.9. L approximation n est pas si mauvaise, puisque 98 = l erreur est de l ordre de ) La règle de l Hospital Le résultat suivant est utile lorsqu il faut calculer des limites du type 0 0. Proposition 2.4 Soient fx) et gx) deux fonctions qu on suppose dérivables en un point a. Si fa) = ga) = 0 et f a) 0, g a) 0, alors ) fx) lim = f a) gx) g a). Remarques 1. Cette formule est utile car on ne peut pas écrire fx) lim gx) = fa) ga) = 0 0 puisque cette dernière fraction n a aucun sens précis. 2. Si f a) = g a) = 0, alors la règle de l Hopital dit que et on peut essayer de dériver une seconde fois. fx) lim gx) = lim f x) g x) Preuve de la proposition Ecrivons les approximations linéaires de f et g au point a : ϕ 1 a, ) Avec lim 0 On a alors fa + ) = fa) + f a) + ϕ 1 a, ), ga + ) = ga) + g a) + ψ 1 a, ) ψ 1 a, ) = lim = 0. 0 fa + ) ga + ) = fa) + f a) + ϕ 1 a, ) ga) + g a) + ψ 1 a, ) = f a) + ϕ 1 a, ) n oublions pas que fa) = ga) = 0). g a) + ψ 1 a, ) = f a) + g a) + ϕ1a,) ψ1a,) ) ) 24

9 On a donc en posant x = a + fx) lim gx) = lim fa + ) 0 ga + ) f a) + = lim 0 g a) + lim 0 f a) + = lim 0 g a) + = f a) g a). ) ϕ1a,) ) ψ1a,) ϕ1a,) ψ1a,) )) )) Exemple Avec la règle de l Hospital, nous pouvons calculer la limite lim x 0 sinx) x = 1. En effet, nous avons sin0) = 0, donc sinx) sin x) cosx) lim = lim x 0 x x 0 x = lim = 1. x Interprétation géométrique de la dérivée On vu l interprétation cinématique de la dérivée comme vitesse instantanée. Géométriquement, la dérivée f x) représente la pente de la droite tangente au grape de y = fx) au point x, fx)). y x0, fx 0 ) ) droite de pente f x 0 ) fx 0 + ) fx 0 ) y = fx) x 0 x 0 + x f x 0 ) = pente de la droite tangente à la courbe y = fx) au point x 0, fx 0 ) ). Conséquence : Si f x 0 ) > 0, la fonction est croissante en x 0. Si f x 0 ) < 0, la fonction est décroissante en x 0. Si f x 0 ) = 0, la courbe y = fx) a une tangente orizontale en x 0, fx 0 ) ). Définition La fonction y = fx) possède un point critique en x 0 si elle est dérivable et si f x 0 ) = 0 Il y a trois sortes de points critiques, ce sont les maximums locaux, les minimums locaux et les points d inflexions plats. Un point x 0 est un maximum local si la fonction f est croissante dans un intervalle ]x 0, x 0 [ et décroissante dans ]x 0, x 0 + [ pour une valeur de > 0 assez petite. 25

10 Un point x 0 est un minimum local si au contraire la fonction f est décroissante dans un intervalle ]x 0, x 0 [ et croissante dans ]x 0, x 0 +[ pour > 0 assez petit. Le point t x 0 est un points d inflexions plats si c est un point critique et la fonction est monotone croissante ou décroissante) au voisinage de x La dérivée seconde Soit f : [a, b] R une fonction dérivable. La dérivée de f est une nouvelle fonction f : [a, b] R. Définition On dit que f admet une dérivée seconde sur l intervalle ]a, b[ si la fonction dérivée f : [a, b] R est elle-même dérivable. On note f la dérivée de f : f f x + ) f x) x) = lim. 0 Exemple La fonction fx) = 2x 3 x admet une dérivée seconde, et cette dérivée seconde est donnée par f x) = 12x. En effet, f x) = 6x 2 1 et f x) = 6x 2 1) = 12x. Définition Soit f : [a, b] R une fonction dérivable. La fonction f est dite convexe sur l intervalle [c, d] avec a c d b) si la dérivée f est croissante sur cet intervalle. Elle est dite concave si la dérivée est décroissante. Comme la dérivée mesure la croissance infinitésimale de la fonction, on voit qu une fonction est convexe si sa croissance augmente avec x. Définition La fonction f possède un point d inflexion en x 0 si sa dérivée cange de signe en ce point. En un point d inflexion, la dérivée seconde est nulle et la tangente à la courbe y = fx) traverse cette courbe. Téorème 2.5 Si la fonction f : [a, b] R admet une dérivée seconde, alors elle est convexe sur l intervalle [c, d] si f x) 0 pour tout x [c, d]. La fonction est concave sur l intervalle [c, d] si f x) 0 pour tout x [c, d] Exemple La fonction fx) = 2x 3 x est convexe sur {x 0} et concave sur {x 0} car f x) = 12x). Preuve du téorème On sait qu une fonction dérivable g est croissante au voisinage d un point x si g x) > 0. On applique cette remarque à g = f. Donc f est convexe, si g = f est croissante, c est à dire si g = f > 0. On raisonne de la même façon pour la concavité. Corollaire Soit x 0 un point critique d une fonction f. On suppose que f est deux fois dérivable et que la seconde dérivée f est une fonction continue), alors a) Si f x 0 ) > 0, alors f a un minimum local en x 0 ; b) Si f x 0 ) < 0, alors f a un maximum local en x 0 ; c) Si f x 0 ) = 0, alors les trois cas cas peuvent se présenter f peut avoir un maximum, un minimum ou une inflexion en x 0 ). Preuve Supposons que f x 0 ) = 0 et f > 0 au voisinage de x 0. Alors la dérivée f est croissante au voisinage de x 0 ) et comme f x 0 ) = 0, on a : f x) < 0, pour x < x 0 proce de x 0 ); f x) > 0, pour x > x 0 proce de x 0 ). Donc la fonction f elle-même vérifie f est décroissante pour x < x 0 proce de x 0 ); 26

11 f est croissante pour x > x 0 proce de x 0 ). Cela veut bien dire que f passe par minimum local au point x 0. C est un raisonnement semblable qui montre que si f x 0 ) = 0 et f x 0 ) > 0, alors f passe par maximum local au point x 0. Nous pouvons illustrer les concepts précédents avec la fonction ci-dessous : A C B Cette fonction possède deux points critiques, le point A est un maximum local et le point B est un minimum local. La fonction est concave à gauce du point C et convexe à droite de ce point. Le point C est un point d inflexion. On trouve ces points de la façon suivante : a) Le point A = a, fa)) où f a) = 0 et f a) < 0 b) Le point B = b, fb)) où f b) = 0 et f b) > 0 maximum local). minimum local). c) Le point C = c, fc)) où f c) = 0 et f cange de signe en c Optimisation Le mot optimiser signifie recercer la plus grande ou la plus petite valeur possible d une variable y dans une situation donnée. Lorsque cette variable est fonction d une autre : y = fx). Alors les considérations des paragrapes précédents nous disent qu il faut recercer le maximum ou le minimum de y en annulant la dérivée de f, i.e. en résolvant l équation f x) = 0. Nous appellerons cette métode le principe de Fermat : Principe de Fermat : Pour optimiser une fonction y = fx), on doit résoudre l équation f x) = 0, puis analyser la nature du ou des points critiques obtenus. Pour décider si un point critique est un maximum ou un minimum, voire un point d inflexion, on calcule la dérivée seconde en ce point. Exemple 1 Soit fx) = 2x 3 + 3x 2 12x + 5, alors on a f x) = 6x 2 + 6x 12, f x) = 12x + 6. On trouve les points critiques en résolvant l équation f x) = 0. Les solutions sont x 1 = 1 et x 2 = 2. En ces points on a f 1) = = 18 > 0 et f 2) = 12 2) + 6 = 18 < 0. Donc f a un minimum local en x 1 = 1 et un maximum local en x 2 = 2. Il n y a pas d autres points critiques. Exemple 2 On se propose de résoudre le problème suivant : la somme de deux nombres vaut 7, quelle est la valeur maximale de leurs produit? Solution On note x le premier de ces nombres, alors le second vaut 7 x et leur produit vaut Px) = x 7 x) = x 2 + 7x. 27

12 La dérivée de cette fonction est P x) = 2x+7 et le ou les points critiques) se trouvent en résolvant l équation P x) = 0. Il n y a qu une solution qui est x = 7/2 = 3.5. Ce point critique est un maximum car P x) = 2 < 0. Donc la valeur maximale cercée est P ) 7 = ) = 2 ) 2 7 = =