Fonction valeur absolue

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1 Fonction valeur absolue Valeur absolue et distance Introduction Sur un axe gradué, on a placé quatre points A, B, C et D. Les abscisses de ces points sont x A = 3, x B = 6, x C = 2 et x D = 8,5. Comment exprimer, en fonction des abscisses, la distance entre deux points? Comment exprimer la distance entre deux réels? Définition Valeur absolue Soit une droite munie d une origine O et d une unité OI. Pour tout nombre réel x, la valeur absolue de x, notée x, est la distance entre l origine O et le point M de la droite d abscisse x. Propriété - Distance entre deux nombres et valeur absolue On se place sur un axe graduée. Soit a et b deux nombres réels. La distance entre les points A et B d abscisses respectives a et b est le nombre réel positif b a AB = BA soit b a = a b Deuxième définition de la valeur absolue Propriétés algébriques Soit x un nombre réel. On appelle valeur absolue de x, le réel positif noté x tel que : x = x si x 0 et x = x si x 0 En d autres termes, la fonction valeur absolue de x est la fonction définie sur R par x = { x est égal à celui des deux nombres x ou x qui est positif. x si x 0 x si x 0 N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 1

2 Exemples 3 = 3 et 2 = = 5 2 car 5 2 > 0 1 π = π 1 car 1 π < 0 Conséquence de la définition x = 0 x = 0 Pour tout x R, x = x Parité Pour tous x et y réels, x = y x = y ou x = y Pour tout x R, x 2 = x Exemples 1 π = π 1 = π 1 ( 3) 2 = 3 = 3 Exercice Déterminer la valeur absolue des nombres suivants : 2 3 ; 10 3 ; 1 5 ; Propriétés algébriques Pour tous x et y réels, x. y = x. y x y = x y Exemples 5 4 = 5. 4 = 5. 4 = 20 1 = 1 x 2 x 2 x+2 = x+2 = x+2 ( x 2)( x+2) x+2 = x+2 x 4 x 4 Propriété Inégalité triangulaire Pour tous x et y réels, x + y x + y x y x + y La distance la plus courte pour aller d un point à un autre est la ligne droite. Preuve Inégalité triangulaire x x et x x N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 2

3 y y et y y x y x + y et (x y) = y x y + x. D où x y x + y x + y x + y et (x + y) = x y x + y. D où x + y ) x + y Valeur absolue et intervalle Propriété Soit a un nombre réel quelconque et r un réel positif. Pour tout x R on a : x a r x [a r; a + r] Preuve x a r r x a r r + a x r + a x [a r; a + r] En d autres termes, l ensemble des valeurs de x telles que x a r, est l intervalle centré en a et ayant pour longueur 2r. Application Résolution d équations et inéquations Résoudre les inéquations : x 3 4 x x x x 7 S = [ 1; 7] (partie coloriée en rouge sur le graphique ci-dessous). x + 5 > 2 x x x x 3 (partie coloriée en vert sur le graphique ci-dessous) x + 5 > 2 x < 7 ou x > 3 S = ] ; 7[ ] 3; + [ (partie coloriée en rouge sur le graphique ci-dessous). N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 3

4 Étude de la fonction valeur absolue Définition La fonction valeur absolue est la fonction définie sur R par x si x 0 x x = { x si x 0 Remarque La fonction valeur absolue est linéaire sur chacun des intervalles ] ; 0] et [0; + [ En effet, Sur [0; + [, la fonction valeur absolue est x x Sur ] ; 0], la fonction valeur absolue est x x Tableau de variations x 0 + Tableau de signes x 0 + variations de VA 0 Signe de VA Propriété La fonction valeur absolue admet un minimum égal à 0 en x = 0 mais pas de maximum. Représentation graphique N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 4

5 Exemples de fonctions définies à partir d une valeur absolue Exemple 1 Soit la fonction f définie sur R par (x) = x 2. 1) Déterminer l expression algébrique de f sans valeur absolue. 2) Représenter graphiquement la fonction f. Solution x 2 si x 0 1) f(x) = { x 2 si x 0 2) Représentation graphique Exemple 2 Soit la fonction g définie sur R par g(x) = x 2. 1) Déterminer l expression algébrique de g sans valeur absolue. 2) Représenter graphiquement la fonction g. Solution 1) On étudie le signe de x 2 suivant les valeurs de x : x 2 + x de x 2 x x 2 x 2 si x 2 D où g(x) = { x + 2 si x 2 2) Représentation graphique N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 5

6 Exemple 3 Soit la fonction h définie sur R par h(x) = x 2 1 1) Déterminer l expression algébrique de h sans valeur absolue 2) Représenter graphiquement la fonction h Solution 1) On étudie le signe de x 2 1 suivant les valeurs de x : x x 2 1 de x 2 1 x x x 2 1 2) Représentation graphique Exemple 4 Soit la fonction k définie sur R par k(x) = x 2 + x 2 1 Déduire des exemples 2 et 3 les différentes expressions de k(x) en fonction de x et tracer la courbe représentative de k. Solution x x 2 1 de x 2 1 x 2 de x 2 de k(x) x x x x x x x x 2 x 2 x x 2 x x 2 x x 2 + x 3 N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 6

7 Approfondissement Lieu géométrique de points Exemple 1 Sur un axe gradué on donne les points A(1) et B(3). Déterminer l ensemble L de tous les points M(x) tels que MA = 4MB. A l aide d un tableau de signes, on écrit les différentes équations possibles. On résout chaque équation dans l intervalle donné. 4MA = MB 4 x 1 = x 3 x x 1 x x 1 2 x 1 de x 1 x 3 de x x x x 3 Équations 4x + 4 = x + 3 x = 1 0 = 2 4x 4 = x + 3 x = = 0 4x 4 = x 3 x = 1 3 Solutions { 7 5 } On en déduit que L = {M( 7 5 )}. N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 7

8 Exemple 2 Sur un axe gradué on donne les points A(2) et B(5). Déterminer l ensemble L de tous les points M(x) tels que MA 3MB. A l aide d un tableau de signes, on écrit les différentes inéquations possibles. On résout chaque inéquation dans l intervalle donné. MA 3 MB x 2 = 3 x 5 x x de x 1 x x 2 3 x 2 x de x 5 x x x 5 Inéquations x + 2 3x + 15 x x 2 3x + 15 x x 2 3x 15 x 13 2 Solutions [ 17 On en déduit que L = [M 1 M 2 ] avec M 1 ( 17 4 ) et M 2( 13 2 ). 4 ; 5[ {5} ]5; 13 2 ] N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 8