UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques

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1 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre V : Suites numériques 1 Un peu de topologie de R On a vu dans le chapitre II quelques propriétés de R qui vont nous être utiles : R contient l ensemble des rationnels Q, ce dernier est insuffisant pour aborder certaines questions ; par exemple, il existe des parties de Q majorées dans Q mais qui ne possèdent pas de borne supérieure dans Q (penser à {x Q/x 2 2}) R muni de l addition est un groupe commutatif. R muni de l addition et de la multiplication est un corps commutatif. R est un corps totalement ordonné. R est archimédien : ε > 0, X R, n N/ nε > X R possède la propriété de la borne supérieure : Axiomes 1 (de la borne supérieure). Soit A R une partie non vide et majorée de R, alors A admet une borne supérieure. Définition 1. Soit A une partie de R. 1. Le point (ou réel) x A est un point intérieur à A s il existe un intervalle ouvert ]a, b[ (a < b) tel que x ]a, b[ A. 2. Le point x est un point adhérent à A si tout intervalle ouvert contenant x possède une intersection non vide avec A. 3. Le point x est un point d accumulation de A si tout intervalle ouvert contenant x possède une intersection avec A non vide et non réduite à {x}. 4. A est ouverte si tout point de A appartient à un intervalle ouvert inclus dans A. 5. A est fermée si son complémentaire A c = R A est ouvert. 6. R et sont à la fois ouverts et fermés : ce sont les seules parties de R possédant cette particularité.

2 2 Remarques : Soit A une partie de R. 1. Un intervalle ouvert est un ouvert. ( 1 ) 2. Toute union quelconque d ouverts est un ouvert, toute intersection finie d ouverts est un ouvert. ( 2 ) 3. Un intervalle fermé est un fermé. 4. Une intersection quelconque de fermés est un fermé. ( 3 ) 5. L ensemble des points adhérents à A est appelée l adhérence de A et est notée A. 6. Soit x un réel, parmi les intervalles ouverts contenant x, on admet qu il suffit d étudier ceux qui sont centrés en x : ceux-ci sont de la forme ]x ε, x + ε[ où ε > 0. On peut alors réécrire les définitions suivantes : (a) Le réel x A est intérieur à A s il existe ε > 0 tel que ]x ε, x + ε[ A, et A est ouvert si chacun de ses points lui est intérieur. (b) Le point x est adhérent à A si et seulement si Exercices 1. ε > 0, ]x ε, x + ε[ A (c) Le point x est un point d accumulation de A si et seulement si ε > 0, ]x ε, x + ε[ A \ {x} 1. Justifier que tout point d accumulation de A appartient à A. 2. Soit A =]a, b] {c} (où c / [a, b]) : déterminer A et l ensemble des points d accumulation de A. { } 1 3. Justifier que n /n N admet le point d accumulation Soit A = {0, 1, 1/2, 1/3,...}. Montrer que A est fermé. 5. A = {n(1 + ( 1) n ); n 1} admet-il des points d accumulations? { } 1 6. A = n + n(1 + ( 1)n ); n 1 admet-il des points d accumulations? Exercice 2. Soit A une partie de R. Montrer que : 1. inf A et sup A sont adhérents à A. 2. A est fermée. 3. A est fermé si et seulement si A = A. 1. Car tout point x ]a, b[ est bien inclus dans un tel intervalle ouvert x ]a, b[ ]a, b[. 2. Par contre, une intersection infinie d ouverts n est pas forcément un ouvert, comme par exemple ] 1 n, 1 [ = {0} n 3. Par contre une union infinie de fermés n est pas forcément un fermé. Par ex. {x} =]0, 1[ n 1 x ]0,1[

3 3 Une première utilisation de l axiome de la borne supérieure est très abstraite mais ses applications sont fondamentales. Sa preuve initiera le lecteur à des modes de raisonnement nouveaux : Théorème 1. de Borel-Lebesgue Émile Borel = mathématicien français ( ) ; Henri- Léon Lebesgue = mathématicien français ( ) Soit (A i ) i I une famille de parties ouvertes de R. Si F est une partie fermée et bornée de R, telle que F A i, alors il existe une partie finie J I telle que F A i i I i J Théorème 2. des intervalles emboîtés (dit aussi de Bolzano-Weierstrass) Bernard Bolzano : mathématicien allemand d origine tchèque ( ) & Karl Weierstrass : mathématicien allemand ( ) Soit (I n ) n N une suite de segments (intervalles fermés bornés) décroissante (ou emboités) : I n I n 1 I 0 où chaque I n = [a n, b n ] désigne un intervalle fermé borné. Si pour chaque entier n, I n alors : I n n N 2 Suites : généralités K désigne le corps R ou C. Définition 2. On appelle suite dans K toute application de N à valeurs dans N. L ensemble des suites dans K est noté K N. { N N Notations : Une suite dans K est notée : ou (x n ) n N ou plus simplement (x n ) ou n x n x. Si la suite est définie à partir du rang n 0, on la note (x n ) n n0 Définition 3. La somme de deux suites (x n ) et (y n ) est la suite (s n ) définie par : n N, s n = x n + y n Définition 4. Le produit de deux suites (x n ) et (y n ) est la suite (p n ) définie par : n N, p n = x n y n Remarque : On verra dans le cours d algèbre que l ensemble des suites à valeurs dans K, muni de ces deux opérations possède un structure d anneau commutatif unitaire. Définition 5. La produit d une suite (x n ) par le scalaire λ est la suite (q n ) définie par : n N, q n = λ x n Définition 6. Une suite réelle (x n ) est dite : majorée s il existe M K tel que pour tout n N, x n M. minorée s il existe m K tel que pour tout n N, x n m. bornée si elle est à la fois minorée et majorée.

4 4 3 Suites convergentes Dans ce paragraphe et les suivants, les suites étudiées seront à valeurs réelles. Définition 7. Une suite réelle (x n ) converge vers la limite l R lorsque : ε > 0, N N/ n N, x n l ε On note lim n x n = l ou plus simplement lim x n = l. On dit que la suite (x n ) est convergente lorsqu elle possède une limite réelle. Une suite non convergente est dite divergente. Remarques : 1. Pour une suite complexe (u n ) définie par u n = a n + ib n, (u n ) converge vers l = a + ib si et seulement si lim a n = a et lim b n = b. Pour le voir on utilise l encadrement max{ u 1, u 2 } n n u 2 max{ u 1, u 2 } si u = u 1 + iu Pour des suites de nombres complexes, l exemple de la suite (u n ) définie par u n = ne in prouve la difficulté d une définition plus générale, cette suite décrit un colimaçon allant vers l infini mais ne se dirige pas dans une direction déterminée du plan complexe. Exercice 3. Montrer que les suites (x n ), (y n ) et (z n ) définies par x n = 1 n, y n = 1 2 n et z n = a n (où 0 < a < 1) convergent toutes les trois vers 0. Théorème 3. La limite d une suite, lorsqu elle existe, est unique. Théorème 4. Soit (x n ) une suite et l R. On suppose qu il existe une suite (y n ) de réels positifs tels que x n l y n à partir d un certain rang et lim y n = 0, alors lim x n = l. Corollaire 1. Soit (y n ) une suite convergente vers 0 et si quel que soit n N, x n y n alors la suite (x n ) converge vers 0. Théorème 5. Toute suite convergente est bornée. Remarque : La suite (u n ) définie par u n = sin n est bornée sans être convergente. En effet, la circonférence d un cercle vaut 2π et les intervalles [π/6, 5π/6] = {t [0, 2π], sin t 1/2} et [7π/6, 11π/6] = {t [0, 2π], sin t 1/2} ont tous les deux la longueur 2π/3 > 1, par suite il existe des entiers aussi grands que l on veut vérifiant sin n 1/2 et d autres tels que sin n 1/2 : cette suite diverge. En effet, pour tout entier N il existe p, q supérieurs à N tels que sin p 1/2 et sin q 1/2, si la limite est positive q donne une contradiction car l sin q 1 (de même avec 2 p si l < 0). On pourra aussi voir une preuve à l aide des suites extraites. Théorème 6. Passage à la limite dans les inégalités Soit (x n ) une suite convergente de limite l, et b un nombre réel. On suppose que pour tout entier N, il existe un entier n N tel que x n < b (respectivement x n > b), alors l b (resp. l b). En particulier s il existe un rang à partir duquel x n < b (resp. x n > b) alors l b (resp. l b)

5 5 4 Opérations sur les limites Théorème 7. Soient (x n ) et (y n ) deux suites convergentes de limites respectives l et l. Alors : 1. La suite somme (x n + y n ) est convergente de limite L = l + l 2. Pour tout réel λ, la suite (λx n ) est convergente de limite L = λl 3. La suite produit (x n y n ) est convergente de limite L = l.l Théorème 8. Théorème des gendarmes Soient (x n ), y n et (u n ) trois suites. On suppose que : 1. (x n ) et y n convergent vers un même réel l 2. Il existe N N tel que n N, x n u n y n Alors (u n ) est une suite convergente et lim u n = l Exercice 4. Prouvez que les suites définies par x n = sin n n 2 3, y n z n = ( 1 n sin convergent. n) = n + sin n n, et Théorème 9. Limite d un quotient Soit (x n ) une suite convergente de limite l 0. Alors il existe un rang à partir duquel x n 0 et lim 1 x n = 1 l. 5 Suites monotones Définition 8. Une suite réelle (x n ) est dite croissante, si et seulement si : n N, m N, (n m u n u m ) décroissante, si et seulement si : n N, m N, (n m u n u m ) Exercice 5. Exercice 6. converge vers 1 2. Prouvez que la suite (u n ) définie par u n = n + sin n est croissante. Montrer que la suite (u n ) définie par u n = n 2 + n n est croissante et qu elle Théorème Toute suite réelle croissante et majorée est convergente. 2. Toute suite réelle décroissante et minorée est convergente. Remarque : Si (x n ) est une suite de nombre réels croissante et majorée, alors, lim x n = sup{x n ; n N} = sup x n. n N De même, si (x n ) est une suite de nombre réels décroissante et minorée, alors, lim x n = inf{x n ; n N} = inf x n n N

6 6 6 Suites adjacentes Définition 9. Deux suites (x n ) et (y n ) de nombres réels sont adjacentes si elles vérifient les propriétés suivantes : 1. (x n ) est croissante 2. (y n ) est décroissante 3. lim(x n y n ) = 0 Exemple 1. Les suites de décimaux à 10 n par défaut et par excès d un nombre réels x : x n = E(10n x) et y 10 n n = E(1 + 10n x) sont adjacentes. 10 n Proposition 1. Soient (x n ) et (y n ) deux suites réelles adjacentes ((x n ) croissante et (y n ) décroissante) alors n N, x n y n. Théorème 11. Soient (x n ) et (y n ) deux suites réelles adjacentes, alors ces deux suites convergent vers une limite commune l. De plus, pour tout entier n, x n l y n Exercice 7. Montrer que tout nombre réel positif ou nul possède une racine carrée réelle. 7 Limites infinies Définition 10. On dit qu une suite de nombres réels (x n ) a pour limite + (resp. ) si : A R, N N/ n N, A x n (resp. x n A) Remarques : 1. On peut remplacer l inégalité large par une inégalité stricte dans la définition. 2. Une suite qui possède une limite infinie est dite divergente. Proposition 2. Soient (x n ) et (y n ) deux suites telles qu il existe N N tel que pour tout entier n N, x n y n si lim y n = + alors lim x n = + si lim x n = alors lim y n = Proposition 3. Toute suite croissante et non bornée diverge vers + Exercice 8. Exhibez une suite (u n ) positive et convergente de limite 0 mais telle que (u n ) ne soit pas une suite monotone pour n assez grand. Montrez qu on peut même avoir une telle suite strictement positive.

7 7 Théorème 12. Opérations sur les limites Limite de la somme de deux suites lim x n + y n lim x n + l lim y n F.I. + + F.I. + l + l + l Limite du produit de deux suites lim x n y n lim x n 0 l > 0 l < F.I. F.I. lim y n l < 0 0 ll ll + l > 0 0 ll ll + + F.I. + + F.I. + + Théorème 13. Soit (x n ) une suite de nombres réels telle que lim x n = +, alors il existe un rang N à partir duquel x n 0 et lim 1 x n = 0. Soit (x n ) une suite de nombres réels strictement positifs à partir d un certain rang telle que lim x n = 0, alors lim 1 x n = +. 8 Suites extraites Définition 11. Soit (u n ) une suite de nombres réels. On dit que la suite (v n ) est extraite de la suite (u n ) s il existe une application strictement croissante ϕ de N vers N telle que pour tout n N, v n = u ϕ(n) Exemples La suite des termes de rangs pairs v : v n = u 2n et la suite des termes de rangs impairs w : w n = u 2n+1 sont extraites de la suite (u n ). 2. La suite v n = cos(1) 4n + 1 est extraite de la suite u n = 1 (1 n sin + n π ) (prendre ϕ : n 4n+1) 2 Lemme 1. Soit ϕ une application strictement croissante N dans N. Alors, pour tout entier naturel n, ϕ(n) n. Théorème 14. Soit (u n ) une suite convergente de nombres réels de limite l, alors toute suite extraite de (u n ) est convergente de limite l. Remarque : Par contraposée du résultat précédent, si deux suites extraites de (u n ) convergent vers deux limites dfférentes, alors (u n ) est divergente. Par exemple (u n ) définie par u n = ( 1) n

8 8 9 Suites récurrentes Définition 12. Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et (u n ) une suite de termes de I est définie par récurrence s il existe un réel a et une fonction réelle f tels que { u0 = a R u n+1 = f(u n ) n N Théorème 15. Sous les notations de la définition précédente, si f est croissante, alors (u n ) est monotone. Si f est décroissante (u n ) n est pas monotone, mais les suites extraites des termes de rangs pairs (u 2n ) et de rangs impairs (u 2n+1 ) sont monotones de monotonies opposées. Théorème 16. Sous les notations de la définition précédente, si (u n ) converge vers un réel l, et si f est continue en l, alors f(l) = l. La preuve sera vue dans le chapitre «Continuité» u 0 = 4 R Exercice 9. Montrer que la suite définie par u n+1 = u n est convergente. n N u n Exercice 10. Étude d une suite récurrente Soit I l intervalle [0; 1]. On considère la fonction définie sur R { 4} par f(x) = 3x + 2 x Étudier les variations de f et en déduire que pour tout x élément de I, f(x) appartient à I. 2. On considère la suite u définie par : u 0 = 1 4 u n+1 = 3u n + 2 u n + 4 Montrez que pour tout entier n, u n appartient à I. n N 3. Représenter graphiquement f et la droite d équation y = x dans un repère orthonormé d unité 10 cm. En utilisant ce graphique, placer les points A 0, A 1, A 2, et A 3 d ordonnée nulle et d abscisses respectives u 0, u 1, u 2 et u 3. Que suggère le graphique concernant la convergence de (u n )? 4. Première méthode : (a) Établir la relation : u n+1 u n = (1 u n)(u n + 2). Déduire le sens de variation de (u n ). u n + 4 (b) Démontrer que la suite (u n ) converge, puis déterminer sa limite l 5. Seconde méthode : (a) Justifier que l on peut définir la suite v par : pour tout n N, v n = u n 1 u n + 2. Montrez que v est une suite géométrique. (b) Exprimez u n en fonction de v n puis en fonction de n, pour tout n N. (c) En déduire la convergence de la suite (u n ) et sa limite. Théorème 17. de Bolzano-Weierstrass De toute suite réelle bornée, on peut extraire une suite convergente