Cours 7. L équation des géodésiques

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Gilbert Pelletier
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1 Cours 7: Équation des géodésique 1 Cours 7. L équation des géodésiques

2 Cours 7: Équation des géodésique 2 Résumé du cours d aujourd hui Résumé du dernier cours. Comment trouver les symboles de Christoffel pour une métrique donnée. L équation des géodesiques.

3 Cours 7: Équation des géodésique 3 Résumé du dernier cours Dilatation du temps gravitationnelle. Le principe d équivalence. Dérivée covariante d un tenseur. Les géodésiques.

4 Cours 7: Équation des géodésique 4 Dilatation du temps gravitationnelle altitude 4000m 3000m 2000m 0, s/jour «plus vite» Plateau Rosa 1000m 250m Turin

5 Cours 7: Équation des géodésique 4-1 Table 1 Interpretation physique de l intervalle ds 2 < 0, intervalle du genre espace dl = ds 2 dl = distance propre dl = distance on mesure avec une règle ds 2 > 0, intervalle du genre temps ds2 = dτ dτ = temps propre dτ = temps on mesure avec une horloge

6 Cours 7: Équation des géodésique 5 Le principe d équivalence et la géométrie de l espace-temps Dans un laboratoire assez petit en chute libre (sans rotation) les lois de la physique sont les mêmes qu en RR. Mais le EP (le fait que «dans un laboratoire assez petite en chute libre (sans rotation) les lois de la physique sont les mêmes qu en RR») implique que la géométrie locale de l espace-temps est celle de Minkowski : g αβ (P ) = η αβ, ( ) x µ g αβ = 0. (1) P

7 Cours 7: Équation des géodésique 6 Resumé : Dérivée covariante d un tenseur Plus tard.

8 Cours 7: Équation des géodésique 7 Les symboles de Christoffel (ou la connexion affine) : Γ µ αβ Définition (Schutz, 2009, Eq. (5.44)) x β ( e α) = Γ µ αβ e µ Avec les vecteurs de base naturelles nous avons la symétrie (Schutz, 2009, Eq. (5.74)) Γ µ αβ = Γµ βα. Relation avec le tenseur métrique (Schutz, 2009, Eq. (5.75)) Γ µ αβ = 1 2 gµσ [ β g σα + α g σβ σ g αβ ] (2) Ce n est pas nécessaire de rappeler cet équation, mais c est

9 Cours 7: Équation des géodésique 8 important de remarquer que Γ µ αβ est relie à les dérivées temporelle et spatiale du tenseur métrique.

10 Cours 7: Équation des géodésique 9 Cours d aujourd hui

11 Cours 7: Équation des géodésique 10 L équation des géodesiques

12 Cours 7: Équation des géodésique 11 Exercice à la maison : Trouver Γ α µν pour la sphère. Utilise équation (3) Γ µ αβ = 1 2 gµσ [ β g σα + α g σβ σ g αβ ] (3) Vous devriez trouver : Γ θ θθ = 0, Γ θ θφ = 0, Γ θ φφ = sin θ cos θ. Γ φ θθ = 0, Γφ θφ = cot θ, Γφ φφ = 0. (4) Nous avons vu en Cours 6 que, avec les vecteurs de base naturelles, nous avons la symétrie (Schutz, 2009, Eq. (5.74)) Γ µ αβ = Γµ βα.

13 Cours 7: Équation des géodésique 12 Équation des géodésiques Nous avons dit que les géodésiques sont (i) les lignes la plus droites que possible dans un espace-temps courbe, (ii) liées à une généralisation de la première loi de Newton à une espace-temps courbe. Première loi de Newton : La vitesse d un corps soumis à un ensemble de forces de somme nulle est constante (c est le principe d inertie). (Taillet et al., 2009) La généralisation à une espace-temps courbe exige que la quadri-accélération a est nulle sur une géodésique de genre temps a = d u dτ = 0. Rappellez-vous qu en cours 5 nous avons définit la quadrivitesse

14 Cours 7: Équation des géodésique 13 comme u ( ) d dτ xµ (τ) e µ (5) où x µ (τ) est la ligne d univers d une particule dans l espace-temps en 4 dimensions, paramétrée par le temps propre τ. Alors, l équation des géodésiques est : 0 = d u dτ = d ( d dτ dτ xµ (τ) e µ ( ) d 2 = dτ 2 xµ (τ) ), e µ + Le dernier terme est subtile. Réecrire ce-ci comme d dτ e α = dxβ dτ e α x β ( ) d d dτ xα (τ) dτ e α (6) = dxβ dτ Γµ αβ e µ (7)

15 Cours 7: Équation des géodésique 14 et puis d u dτ = ( d 2 x µ dτ 2 + dxα dτ dx β ) dτ Γµ αβ e µ = a = 0. (8)

16 Cours 7: Équation des géodésique 15 Équation des géodésiques : exercice immédiat Démontrer que les grands cercles sont les géodésiques dans la sphère.

17 Cours 7: Équation des géodésique 16 Exercice à la maison Démontrer que l équations géodésiques admettent les solutions circulaires (r =constante, θ = π/2) pour la métrique de Schwarzschild ( ds 2 = 1 2MG ) rc 2 c 2 dt 2 ( 1 2MG ) 1 rc 2 dr 2 r 2 dθ 2 r 2 sin 2 θdφ 2. Vous verrez que deux des équations géodésiques sont triviales dans ce problème, une dit que la vitesse orbitale est constante, et la quatrième nous permet de calculer la période de l orbite. Trouver la période. Les symboles de Christoffel non-nuls dans les coordonnées de Eq. (9) sont les suivant (et les impliqués par la symétrie (9)

18 Cours 7: Équation des géodésique 17 Γ α µν = Γ α νµ ) : Γ t MG tr = r(2gm rc 2 ) Γ r tt = MG(2GM c2 r) r 3 c 2 Γ r rr = Γ r θθ = 2GM c2 r c 2 Γ θ φφ = sin θ cos θ MG r(2gm c 2 r) Γ r φφ = 2GM c2 r c 2 sin 2 θ Γ θ rθ = 1 r Γ φ rφ = 1 Γ φ θφ r = cos θ sin θ. (10) (Remarquez par exemple Γ t tr = Γ t rt même si je n ai qu écrit le premier.)

19 Cours 7: Équation des géodésique 18 Références Hobson, M., G. Efstathiou, and A. Lasenby (2010), Relativité Générale, de boeck, Bruxelles. Poisson, E. (2004), A Relativist s Toolkit : The mathematics of black-hole mechanics, 252 pp., Cambridge University Press, Cambridge, U.K., xvi pp. Schutz, B. (2009), A first course in General Relativity, Cambridge University Press, Cambridge UK. Taillet, R., V. Villain, and P. Febvre (2009), Dictionnaire de physique, de boeck, Bruxelles.

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