Puis-je aller de M à A?

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Jean-Sébastien Crevier
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1 1 Réseu ferroviire utomtes et tteignbilité Cristope Troestler Institut de Mtémtique Université de Mons-Hinut ttp://mt.um..be 17 mi tteignbilité 3 Digiode 4 Reonnissne de mots 5 ritmétique Divisibilité pr 2 Divisibilité pr 3 6 Trverser une rivière 7 Reere Réseu ferroviire Terminologie M P : rine l lleud : ruxelles M : Mons P : Mrienne u Pont Puis-je ller de M à? M Cemin : M P M utomte étts trnsitions étiquettes étt initil étts finux P Grpe nœuds rêtes utomte déterministe : d un nœud, prt u plus une trnsition ve une étiquette donnée.

2 Problème de bse Problème d tteignbilité Existe-t-il (u moins) un emin qui joint l étt initil à (u moins) un étt finl? Digiode Cuut! Le ode est C C Pour notre exemple de déprt, l réponse est «oui». Conlusion Le offre s ouvre si et seulement si les trois dernières lettres tpées sont. M P C Digiode modélistion Digiode utomte Étts i : nombre de digits orrets entrés, i = 0,...,3. i = 3 : l porte s ouvre. b,,b, C Trnsitions (évèmements) : bouton pressé ; b : bouton pressé ; : bouton C pressé. utomte Comment un des évènements nge que étt. 0 1 b 2 3 b,

Digiode méliortions Digiode orretion C outon «reset» Presser le bouton permet de reommener à entrer le ode à prtir de zéro. lrme L lrme se délene dès l première lettre fusse entrée. À vous de jouer!

3 Digiode méliortions Digiode orretion C outon «reset» Presser le bouton permet de reommener à entrer le ode à prtir de zéro. lrme L lrme se délene dès l première lettre fusse entrée. À vous de jouer! α,b,,x b,,x b,, b,,b,,x 0 1 b 2 3,x b,,x outon «reset» Nouvel évènement «x». lrme «L lrme sonne» est un nouvel étt que nous ppelons α. Reonnissne de mots Le digiode est piloté pr le mot entré sur le lvier. Le mot est reonnu (et ouvre l porte) s il ontient (u moins une fois) i.e., s il est de l forme... Pr exemple, le mot C est reonnu r le emin prtnt de l étt initil qu il génère rrive dns l étt finl.,c 3 C,C,,C Divisibilité pr 2 Si le mot est omposé des digits 0,...,9, est un nombre. On voudrit svoir quels nombres on peut reonnître. Peut-on onstruire un utomte qui reonnit les nombres divisibles pr 2? Un nombre est pir si et seulement s il se termine pr 0, 2, 4, 6, ,2,4,6,8 1,3,5,7,9 0,2,4,6,8 1,3,5,7,9 Exemples : 4 divisible pr 2 23 ps divisible pr divisible pr 2 x N est pir le emin généré pr les digits de x s rrête dns l étt finl. On identifie «l toue» et l évènement qui est «presser sur» et de même pour et C.

4 Divisibilité pr 3 problème Divisibilité pr 3 utomte Peut-on onstruire un utomte qui reonnit les nombres divisibles pr 3? Étts Étts = = = = Divisibilité pr 3 exéution de l utomte Divisibilité pr 3 modulos = le nœud finl est le reste de l = division pr = Définition x mod 3 := reste de l division de x pr 3 Exemples : 00 mod 3 = 0 r 0 = mod 3 = 1 r 1 = mod 3 = 2 r 2 = mod 3 = 0 r 3 = mod 3 = 1 r 4 = mod 3 = 2 r 5 = mod 3 = 0 r 6 = mod 3 = 1 r 7 = mod 3 = 2 r 8 = mod 3 = 0 r 9 =

ddition modulo 3 + 0 1 1 2 0 2 2 0 1 0 =

1 mod 3 = 4 mod 3 = 7 mod 3 2 = 2 mod 3 =

mod 3 = x mod 3 (x + y) mod 3 = (x mod 3

téorique Trverser une rivière x = y 10 +

5 Divisibilité pr 3 pourquoi ç mre? Divisibilité pr 3 propriétés des modulos ddition modulo = 0 mod 3 = 3 mod 3 = 6 mod 3 = 9 mod 3 1 = 1 mod 3 = 4 mod 3 = 7 mod 3 2 = 2 mod 3 = 5 mod 3 = 8 mod 3 Propriétés (x mod 3) mod 3 = x mod 3 (x + y) mod 3 = (x mod 3 + y mod 3) mod 3 (x y) mod 3 = (x mod 3 y mod 3) mod 3 Exemple : mod 3 = ( ) mod 3 = (2586 mod 3 10 mod mod 3) mod 3 = (2586 mod ) mod 3 = 2586 mod 3 = (2 mod mod mod mod 3) mod 3 = ( ) mod 3 = 0 Divisibilité pr 3 explition téorique Trverser une rivière x = y 10 + d x mod 3 = (y mod 3 + d mod 3) mod 3 d y mod 3 x mod 3 Pouvez-vous les ider à trverser? Règles L omme ne peut trverser qu ve (u plus) un seul de ses trois ompgnons. Sns l omme, le loup mnge l èvre. Sns l omme, l èvre mnge le ou.

6 Trverser une rivière Trverser une rivière solution Étts H : omme L : loup C : èvre X : ou HLCX HLC X LCX H HCX L HLX C CX HL LX HC LC HX HX LC HC LX HL CX C HLX L HCX H LCX X HLC HLCX HLCX H : omme L : loup C : èvre X : ou LX HC l X HLC HCX L HLX C x l x L HCX HLC X Trnsitions : l omme trverse (seul) ; l : l omme trverse ve le loup ; : l omme trverse ve l èvre ; x : l omme trverse ve le ou. HLCX HC LX x l x C HLX l Reere d une îne de rtères Référenes Reere nïve Texte : Reere : C C C... Reere à l ide d un utomte texte C Complétez le! Introdution to utomt teory, lnguges, nd omputtion, J. E. HOPCROFT & J. D. ULLMN, 1979, ddison-wesley. Vérifition de logiiels. Teniques et outils du model-eking, ouvrge olletif sous l diretion de P. SCHNOEELEN, 1999, Vuibert, Pris.. LEXEEV, Miniml DFs for testing divisibility, Journl of Computer nd System Sienes 69 no. 2, pp (2004). Préprint télérgeble à ttp://rxiv.org/bs/s.cc/

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