Mathématiques. Préparation à la 1 ère ES - L - STMG. Correction. Mathématiques préparation à la 1 ère ES L STMG correction page 1/11

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1 Mathématiques réparation à la 1 ère ES - L - STMG Correction Mathématiques préparation à la 1 ère ES L STMG correction page 1/11

2 Notations : «appartient à», symbole utilisé entre un élément et un ensemble : symbole de l intersection : symbole de la réunion Ensembles de nombres est l ensemble vide N est l ensemble des nombres entiers naturels (positifs et nul) R est l ensemble des nombres réels R est l ensemble des nombres réels sauf zéro ractions (écrire sous la forme d une seule fraction) our tous réels,, et non-nuls + =+ = = = Calculer sans calculatrice (puis vérifier à la calculatrice) = = = = 2 3 5= = 2 3 5= = = = = = = = uissances our tous réels et non-nuls. our tous entiers naturels et. =1 = = 1 = = = = = ormes d une expression algébrique Les identités remarquables + = ++ = + += ne pas confondre +=+ = = ne pas confondre = ++=3 Compléter +6+ 9= = 1 4 = = 7 2 Racines carrées our tous et positifs = si 0, = = Mathématiques préparation à la 1 ère ES L STMG correction page 2/11

3 Equations signifie «est équivalent à» =0 =0 =0 =0 = 0 0 our tout réel Si <0 alors l équation = n admet pas de solution dans R Si =0 alors l équation = admet une solution dans R qui est =0 Si >0 alors l équation = admet deux solutions dans R qui sont = et = Soit,, et quatre réels avec et non-nuls. = = ( produit en croix ) Exercice 1 Résoudre dans R les équations suivantes =8 = 2 2 ;2 2 = 25 = 1 =0 = = 4 2 =2 1. actoriser les expressions suivantes 7 += = 2. Résoudre dans R les équations suivantes 7 +=0 =0 ; =0 =0 ; 4 4 1= + 6+9= 25 3 = + 4 1=0 6+9= =0 = 1 2 ; 1 2 =3 = 2 ; 8 Inéquation QCM 1 ) Lorsqu on ajoute un même nombre aux deux membres d une inéquation, alors le sens de l inéquation change si ne change pas 2 ) Lorsqu on multiplie par un même nombre 0 les deux membres d une inéquation, alors le sens de l inéquation change si <0 ne change pas 3 ) Lorsqu on soustrait un même nombre aux deux membres d une inéquation, alors le sens de l inéquation change si ne change pas 4 ) Lorsqu on divise par un même nombre 0 les deux membres d une inéquation, alors le sens de l inéquation change si <0 ne change pas Exercice Résoudre dans R les inéquations suivantes >0 5 >0 3+5<5 11 = ; 3 2 = 0 ; + =R = ; 5 = 2 ; + Mathématiques préparation à la 1 ère ES L STMG correction page 3/11

4 Arrondir La valeur arrondie au dixième de 1928, est 1928,4 La valeur arrondie à l unité de 1928, est 1928 La valeur arrondie au millième de 1928, est 1928,375 La valeur arrondie à la centaine de 1928, est 1900 La valeur arrondie au centième de 2 est 1,41 La valeur arrondie à 10 de 1,25 est 3,815 Algorithmes Exercice 1 1. Un article coûte 85. Son prix après réduction : =85 0,95=80,75 2. Un article coûte 120. Son prix après réduction : 120 5=115 Entrée Saisir Traitement Si <100 Alors prend la valeur 0,95 Sinon prend la valeur 5 in Si Sortie Afficher On exécute l algorithme ci-dessous. Initialisation prend la valeur 50 prend la valeur 0 Traitement Tant que > 0,5 faire Sortie prend la valeur prend la valeur +1 in Tant que Afficher Compléter le tableau ci-dessous donnant l état des variables au cours du traitement de l algorithme ,5 2 6,25 3 3, , , , Exercice 3 On exécute l algorithme ci-dessous. Initialisation prend la valeur 0 Traitement our allant de 0 à 6 faire prend la valeur +2 Sortie in our Afficher Compléter le tableau ci-dessous donnant l état des variables au cours du traitement de l algorithme = = = = Mathématiques préparation à la 1 ère ES L STMG correction page 4/11

5 Signe d une expression QCM ( une seule bonne réponse ) 1 ) Le produit de deux facteurs négatifs est négatif positif ça dépend des facteurs 2 ) Le produit de deux facteurs positifs est négatif positif ça dépend des facteurs 3 ) Le produit de deux facteurs de signes contraires est négatif positif ça dépend des facteurs 4 ) La somme de deux termes négatifs est négative positive ça dépend des termes 5 ) La somme de deux termes positifs est négative positive ça dépend des termes 6 ) La somme de deux termes de signes contraires est négative positive ça dépend des termes our tous et réels avec 0, += = + Signe de + Signe de 0 Signe de Exercice 1 Soit la fonction définie sur R par = = 1;0 3; = = ; 4 ; , =R = ; 4 4 ; 2. Image de = a pour antécédent Mathématiques préparation à la 1 ère ES L STMG correction page 5/11

6 onctions de référence La courbe représente la fonction carré définie sur R par = La courbe représente la fonction inverse définie sur R par = La courbe représente la fonction constante définie sur R par = 2 La courbe représente la fonction linéaire définie sur R par = 2 La courbe représente la fonction affine ni constante ni linéaire définie sur R par =31 La courbe ne représente pas une fonction Soit,, et quatre réels avec 0 et. La fonction définie pour tout réel tel que + 0 par = est une fonction homographique Sa représentation graphique est une hyperbole C f y L ensemble de définition de la fonction est 4 ;4 0,51,5 41 L image de 0 par la fonction est 3 1 a pour image 4 par la fonction =3 a pour solutions 2 et x = 2 ;0 >0 a pour ensemble de solutions = 3 ;1 3 ;4 Le minimum de la fonction est 1 Le maximum de la fonction est 4 Dresser le tableau de variations et le tableau de signes de la fonction Mathématiques préparation à la 1 ère ES L STMG correction page 6/11

7 Equations de droite On se place dans un repère. Une droite parallèle à l axe des abscisses a une équation de la forme = avec un réel Une droite parallèle à l axe des ordonnées a une équation de la forme = avec un réel Soit une droite d équation =+ est appelé coefficient directeur et est appelé ordonnée à l origine On considère les points ; et ;. Si alors le coefficient directeur de la droite est égal à Exercice Donner une équation de chacune des droites d à d d : =3 d : =5 d = d : = d : = 2 d : Dans le repère ci-contre, tracer les droites d à d telles que d 31 d d onction polynôme du 2 nd degré Soit le trinôme du 2 nd degré défini sur R par = ++= + avec,,, et des réels tels que 0 ++ est la forme développée de + est la forme canonique de La représentation graphique de la fonction est une parabole de sommet le point ; Cette représentation graphique est dirigée vers le haut si > et vers le bas si < et possède un axe de symétrie parallèle à l axe des ordonnées et qui a pour équation = Mathématiques préparation à la 1 ère ES L STMG correction page 7/11

8 Exercice 1 On considère les fonctions, et h définies sur R par =2+3 1 = =2 ; = 3 ; = 1 =4 ; =5 ; =6 h= +7 = 1 ; = 7 ; = min= 1 donc 2 points d intersection entre et l axe des abscisses min=6 donc aucun point d intersection entre et l axe des abscisses h max=0 donc 1 point d intersection entre et l axe des abscisses Soit la fonction définie sur R par = forme C 1. = + forme D 2. our tout réel, = 8+12= forme 3. a. Avec C, l image de 4 est 4=4 4 4= 4 Avec D, l image de 0 est 0= =12 Avec D, l image de 2 est 2= = b. Avec, =0 6 2=0 =6 ou =2 donc les antécédents de 0 sont 6 et 2. c. Avec D, = =12 8=0 =0 ou =8 =0 ;8 d. Avec D ou C, est une fonction trinôme du 2 nd degré donc est une parabole. Avec C, le sommet a pour coordonnées 4 ; 4 et l axe de symétrie a pour équation =4 Exercice 3 Soit la fonction définie sur R par = et sa représentation graphique dans un repère. 1. our chacun des points suivants, déterminer par le calcul s il appartient ou pas à. 1 3 = = 2 3 0,67 donc 1 3 ; 0,67 2= = 25 donc 2 ; : =3 7 Si = 2 alors =3 2 7= 1 donc 2 ; 1 2= = 1 donc 2 ; 1 donc et sont sécantes au point. 3. et semblent sécantes au point 1 ; 10. Même vérification qu au 3. Mathématiques préparation à la 1 ère ES L STMG correction page 8/11

9 Exercice 4 On considère les fonctions et définies sur R représentées ci-contre telles que : = 1 4 et =+ 1. = 2 et = et donc 42 donc =2 3. Résoudre graphiquement dans R l inéquation = ; 1 2 ; 4. Etudier le signe de 222 à l aide d un tableau = ; 1 2 ; Statistiques Exercice 1 Le tableau suivant donne les âges des membres d un club de sport. Age (ans) Effectif ECC = , ans pair donc Médiane = moyenne entre 24 ème valeur et 25 ème valeur = moyenne entre 16 et 16 = =12 donc le 1er quartile est la 12 ème valeur = ; =36 donc le 3ème quartile est la 36 ème valeur = Dans une entreprise, la répartition des salaires est donnée par le tableau suivant. Salaire (euros) 1000 ; ; ; ;6000 centre ourcentage 19 % 43 % 26 % 12 % CC 19 % 62 % 88 % 100 % 1. Calculer la moyenne de cette série. =15000, , , ,12 euros 2. Dans un repère bien choisi, tracer le polygone des fréquences cumulées croissantes (page suivante). 3. En déduire, par lecture graphique, la médiane et les quartiles de cette série (arrondir à la centaine). Q ; Med 2700 ; Q Mathématiques préparation à la 1 ère ES L STMG correction page 9/11

10 y Q1 Med Q3 x robabilités Soit A et B deux événements. Soit A l événement contraire de A. A=1 A Exercice A B=A+B A B On lance trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. 1. Construire un arbre représentant la situation et lister les issues =8 issues : ; ; ; ; ; ; ; Mathématiques préparation à la 1 ère ES L STMG correction page 10/11

11 2. Déterminer la probabilité des événements suivants : A : «on n obtient que des piles» A= ; A= 1 8 B : «on obtient au moins un pile» B= ; ; ; ; ; ; ; B= 7 8 C : «on obtient exactement un pile» C= ; ; ; C= 3 8 D : «on obtient aucun pile» D= ; D= Compléter B : «on obtient aucun pile» et calculer la probabilité deb. B=D ; B =D= 1 8 Intervalle de fluctuation On fait l hypothèse que la proportion d un caractère dans une population est. On considère un échantillon de taille. On observe que le caractère est présent dans cet échantillon avec une fréquence égale à. Lorsque et,, alors il y a environ 95% des échantillons de taille qui sont tels que la fréquence appartient à un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % où rise de décision Si alors on rejette l hypothèse Si alors on ne rejette pas l hypothèse = 1 ;+ 1 Exercice Un laboratoire pharmaceutique affirme que son nouveau médicament contre le mal des transports est efficace sur les trois-quarts des malades habituels. Une association indépendante collecte des données auprès de personnes habituellement malades. Sur 57 personnes, 50 n ont pas été malades à la suite de la prise du médicament. Que peut-on dire de l affirmation du laboratoire pharmaceutique? résultats à 10 = 57 = 3 4 =0,75 = ,8772 =0, ;0, ,6175 ;0, donc on ne rejette pas l affirmation du laboratoire pharmaceutique. Mathématiques préparation à la 1 ère ES L STMG correction page 11/11