Vecteurs et droites dans l espace

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1 Lycée Paul oumer TS1 ours Vecteurs et droites dans l espace ontents 1 aractérisations vectorielles Vecteurs de l espace aractérisations vectorielles d une droite, d un plan écomposition de vecteurs Vecteurs coplanaires Vecteurs non coplanaires Repères de l espace 5.1 oordonnées d un point Représentation paramétrique d une droite Représentation paramétrique d un plan aractérisations vectorielles 1.1 Vecteurs de l espace On étend à l espace la notion de vecteur définie dans le plan, aisni que les opérations associées : multiplication par un réel, somme de deu vecteurs. éfinition : Multiplication par un réel Soit λ un réel et un vecteur non nul =. On définit le vecteur λ par λ =, où est le point d abscisse λ dans le repère, ) de la droite ). e plus, pour tout réel λ, on pose λ 0 = 0 λ = λ = 3 Remarque On dit que les vecteurs et λ sont colinéaires. 1

2 éfinition : Somme de deu vecteurs Pour tout vecteurs et de l espace, on définit le vecteur + comme la somme vectorielle de leurs représentants repsectifs et F dans un même plan. + On a donc : + v = EF + F = E H G E F Remarque es définitions ne dépendent pas des représentants choisis pour les vecteurs. 1. aractérisations vectorielles d une droite, d un plan Propriété : aractérisation d une droite Soit un point de l espace et un vecteur non nul. L ensemble des points M de l espace tels que M =, où R, est la droite ), avec =. On dit que est un vecteur directeur de la droite ). Propriété : aractérisation d un plan Soit un point de l espace, et deu vecteurs non colinéaires de l espace. L ensemble des points M de l espace tels que M = + y où R et y R, est le plan ), où = et =. y M M Remarque : On dit alors que et dirigent le plan ), qui admet pour repère,, ).

3 onséquences eu droites sont parallèles si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. eu plans ayant même couple de vecteurs directeurs sont parallèles. Une droite d et un plan P sont parallèles si, et seulement si, un vecteur directeur de d est un vecteur de P. 1.3 écomposition de vecteurs Vecteurs coplanaires éfinition On dit que trois vecteurs, et w de l espace sont coplanaires lorsqu il eiste quatre points,, et appartenant à un même plan et tels que : = = et w = w Propriété Soient, et w trois vecteurs de l espace, tels que et pas colinéaires. ne soient Les vecteurs, et w sont coplanaires si, et seulement si, il eiste deu réels et y tels que : w = + y Remarque : Si trois vecteurs sont non coplanaires, aucun des trois ne peut se décomposer en fonction des deu autres. 3

4 1.3. Vecteurs non coplanaires Propriété Soient, et w trois vecteurs de l espace non coplanaires. lors pour tout vecteur t de l espace, il eiste un unique trioplet ; y; z) de réels tel que t = + y + z w Remarque : On dit que l on a décomposé le vecteur t en fonction des vecteurs, et w. z M t w y H 4

5 Repères de l espace.1 oordonnées d un point éfinition et théorème Soit O un point de l espace et i, j et k trois vecteurs non coplanaires de l esapce. Pour tout point M de l espace, il eiste un unique triplet ; y; z) de réels tels que OM = i + y j + z z z M ; y; z) est le triplet des coordonnées du point M dans le repère 0, i, j, ) k k j y. O i Remarque est l abscisse de M, y est l ordonnée de M et z est la cote de M. Formulaire L espace est muni d un repère 0, i, j, ) k. Pour deu points, y, z ) et, y, z ), on a : y b y z z oordonnées de K, milieu de [] : + ; y + y ; z ) + z La distance entre les points et vaut : = ) + y y ) + z z ) oordonnées de G, centre de gravité du triangle : + + ; y + y + y ; z ) + z + z Si u y et v y, alors + + v y + y et, λ R, λ λ u λy z z z + z λz 5

6 . Représentation paramétrique d une droite Propriété : L espace est muni d un repère 0, i, j, ) k. Soit d une droite passant par le point ; y ; z ) et dirigée par le vecteur et soit M un point de l espace de coordonnées ; y; z). a b c On a l équivalence suivante : M d il eiste un réel t tel que = + at y = y + bt z = z + ct e système s appelle une représentation paramétrique de la droite d. Remarque : le paramètre est le réel t. Eemple = + t y = 4 est une représentation paramétrique de la droite passant par z = 1 3t ; 4; 1) et de vecteur directeur 1 u 0. 3 Le point E de coordonnées 3; 4; 4) appartient à, en effet, la valeur t = 1 permet d obtenir les coordonnées de E. Remarque : La représentation paramétrique d une droite n est pas unique. En effet, ni le point, ni le vecteur directeur ne sont uniques..3 Représentation paramétrique d un plan Propriété : L espace est muni d un repère 0, i, j, ) k. Le point M ; y; z) appartient au plan P passant par ; y ; z ) et dirigé par les vecteurs a u b et a v b si, et seulement si, il eiste deu réels t et t tels que c c = + at + a t y = y + bt + b t z = z + ct + c t e système s appelle une représentation paramétrique du plan P. 6