Partie sans calculatrice : répondre directement sur cette feuille

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1 nde Eléments de correction de l évaluation n du 11/0/014 Durée : 1h maxi Calculatrice non autorisée. Le barème est donné sur 60 points Partie sans calculatrice : répondre directement sur cette feuille QCM :(6 points : 0,5 point par bonne réponse, 0,5 point par mauvaise réponse, 0 si pas de réponse.) Pour chaque ligne du tableau suivant, 3 réponses sont proposées, mais une seule est exacte. Recopier la lettre correspondant à la réponse choisie dans la dernière colonne du tableau. Probabilités: Pour les questions 1 et, on se place dans une classe de seconde, dont la répartition des élèves selon l âge est donnée par le tableau ci-contre 1. On choisit au hasard un élève de cette classe. La probabilité que ce soit un garçon de 15 ans est égale à :. On choisit au hasard une fille. La probabilité qu elle ait 15 ans est : 3. On donne les équations et inéquations suivantes. Un élève veut faire directement un tableau de signes pour les résoudre. Une seule correspond à cette méthode. Laquelle? 4. Voici le tableau de variations de la fonction f. a) 15 a) ans 16 ans Total Filles 6 8 Garçons 18 4 Total b) b) 1 30 c) 30 b c) 3 4 c a)(4-3x)(x+3) = 0 b) (x-3)(x+4) > 5 c)x (7-5x) >0 c a) f est croissante sur [ 3 ; 1] b) f estcroissante sur [ ; 1] c) f est croissante sur [1 ; 8] c f 5. La fonction f dont le tableau de signe est donné ci-dessous est représentée par la courbe : x Signe de f(x) 6. Soit f la fonction dont la courbe est tracée ci-contre. a) f ( 1) < f (0,5) b) f ( 1) > f (0,5) a) b) c) c) On ne peut pas comparer f ( 1) et f (0,5) a)f (x) = 3 x + 1,5 b)f (x) = 1 x + 3 c)f (x) = 3 x c b c 7. f est la fonction affine définie sur IR par : f (x) = x a) Le coefficient directeur est 7 et l ordonnée à l origine est 5 7 b) Le coefficient directeur est et l ordonnée à l origine est 5 7 c) Le coefficient directeur est 7 et l ordonnée à l origine est 5 a 8. L ensemble des solutions de l inéquation x² 16 est : a) [ 4 ; 4 ] b) ] ; 8 [ c) ] - ;- 4] [ 4 ;+ [ a

2 9. Si 7 x< 6, alors : a) 0 x² 36 b) 36 x² < 49 c) 0 x² 49 c 10. a) { ; } b) ]- ; [ ] ;+ [ c) ] ;[ c A l aide du graphique ci-dessus, l ensemble des solutions de l inéquation f(x) <g(x) est : 11. soit ABCD un parallélogramme de centre O I, J, K et L sont les milieux de ses côtés. a) AD b) LJ c) autre réponse b AO + DO est égal à : QCM de géométrie dans l espace ( 4 points) Pour chacune des affirmations du tableau ci-dessous, dire si elle vraie ou fausse, en cochant la case correspondante. Attention plusieurs réponses peuvent être exactes, dans une même ligne. Cocher dans chaque colonne la bonne réponse On considère le pavé droit ABCDEFGH ci-contre : E H F G Les droites (AB) et (DG) sont sécantes A parallèles D B non coplanaires C coplanaires Les droites (AG) et (HB) sont Les plans (ABE) et (AEF) sont La droite (CG) est incluse dans le plan sécantes sécants (ABF) parallèles confondus (BCG) non coplanaires parallèles (DCH) coplanaires strictement parallèles (ADH)

3 nde Evaluation n de mathématiques Le 11/0/014 NOM : Durée : 1h30 Calculatrice autorisée. Partie avec une calculatrice : répondre sur votre copie Probabilités : ( 6 points) Diane choisit au hasard, successivement, pour les manger, deux muffins dans un plat qui en contient 10 : 3 à la pomme et 7 au chocolat. 1. Représenter cette expérience aléatoire par un arbre pondéré. En notant P l événement «le muffin est à la pomme» et C l événement»le muffin est au chocolat» on obtient : 7 10 C C P 3 10 P C P. Quelle est la probabilité qu elle mange deux muffins identiques? Pour qu elle mange deux muffins identiques, elle doit donc manger deux muffins au chocolat, ou deux muffins à la pomme. La probabilité cherchée est donc : Algèbre :(6 points) p = = = Dresser le tableau de signes de (3x + ) ( 4 x ) 3x + = 0 3x = - x = 3 a= 3 donc a >0 4 x = 0 4 = x a= -1 donc a < 0 x Signe de 3 x Signe de 4 x Signe de (x + 1) ( x). Résoudre alors dans IR l'inéquation : (3x + ) ( 4 x ) < 0 S = ]- ; [ ] 4 ;+ [

4 Echantillonnage : ( 5 points) Une loterie est organisée dans l ensemble des écoles primaires d une ville. Les organisateurs annoncent «75% de billets gagnants!» Dans l école de Yan, 10 billets ont été achetés et seuls 71 étaient gagnants. Peut-on comme Yan, penser que la publicité était quelque peu mensongère? La valeur annoncée est p = 0,75. L échantillon comporte 10 billets donc n = 10 On remarque que : 0, p 0,8 et n 5 Les conditions étant vérifiées, on peut donc parler de l intervalle de fluctuation au seuil de 95%, qui est : [ p 1n ; p + 1 n ] Or p 1n = 0, ,651 p + 1n = 0, ,849 donc l intervalle de fluctuation au seuil de 95% est [0,651 ; 0,849] Parmi les 10 billets achetés et seuls 71 étaient gagnants, donc la fréquence de billets gagnants est f telle que : f = ,696 On remarque que f appartient à [0,651 ; 0,849] donc, on peut penser que la fréquence observée est «normale» et donc que la publicité n est pas mensongère. Géométrie analytique : (13,5 points) Le plan est rapporté à un repère orthonormal Soient les points D(5 ; 0), E( ; 6), F ( 10 ; 0) 1. Faire la figure, sur la feuille Annexe, qui est à compléter au fur et à mesure.. Soit L le milieu de [EF]. Déterminer les coordonnées du point L x L = x E + x F y L = y E + y F + ( 10) = = 8 = 4 = = 3 Donc L( 4 ; 3) 3. a) Déterminer les coordonnées du point S tel que LS = ED LS x S x L y S y L ED LS x S ( 4) y S 3 ED 3 6 LS x S + 4 y S 3 LS = ED si et seulement si x S + 4 = 3 y S 3 = 6 x S = 3 4 y S = x S = 1 y S = 3 donc S( 1 ; 3)

5 b) Que peut-on dire du quadrilatère EDSL? LS = ED donc le quadrilatère EDSL est un parallélogramme. 4. On donne EF = 6 5 a) Calculer DE DE = (x E x D )² + (y E y D )² DE = ( 5)² + (6 0)² DE = ( 3)² + 6² DE = DE = 45 DE = 3 5 b) On admet que le triangle LED est rectangle en E. Calculer alors l aire du trapèze FEDS. Rappel : l aire d un trapèze est égale à : ( B + b ) h où B est la longueur de la grande base, b est la longueur de la petite base, h est la hauteur relative à ces bases A FEDS = FE + SD ED Or EDSL est un parallélogramme donc en particulier SD = EL A FEDS = EF + LE ED Or L est le milieu de [EF] donc EL = EF A FEDS = = = 135 = 67,5 5. Déterminer le centre du cercle circonscrit au triangle EFS. En déduire la nature du triangle EFS. Le quadrilatère EDSL est un parallélogramme donc LS = ED = 3 5. L est le milieu de [EF] donc LE = LF = 6 5 =3 5 On a donc LE = LF = LS = 3 5 ; par conséquent, L est le centre du cercle circonscrit au triangle EFS. Le triangle EFS est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre [EF]. On en déduit donc que le triangle EFS est rectangle en S.

6 Algorithmique ( 4 points ) Pour fêter l anniversaire de son ouverture, le gérant d un magasin a décidé de faire une offre promotionnelle lors du passage en caisse. Soit M le montant que devrait payer le client un jour ordinaire. Le jour de l anniversaire, la caissière utilise le programme suivant pour effectuer la réduction. Quelle est cette offre promotionnelle? N y-a-t-il pas un problème avec cet algorithme? Si oui, lequel? Donner une façon de le modifier pour que la promotion soit «réaliste». Un rabais de 50 est accordé pour une valeur supérieure ou égale à 150 Un rabais de 30 est accordé pour une valeur strictement inférieur à 150 Il manque dans cet algorithme une condition correspondant au fait que M doit être supérieur à 30 pour que ce soit valide!! Par exemple : Problème de synthèse. ( 15,5 points) Partie A : Soit g la fonction définie sur IR par f(x)= π ( 3x ² - 0,5 x 3 ). La courbe de f est tracée ci-contre dans un repère du plan. 1. a) Il semble sur le graphique qu il existe deux nombres entiers positifs, solutions de l équation f(x) = 100. Quels sont ces deux nombres entiers positifs? Il semble que ces valeurs sont 4 et 11 b) Vérifier que ces deux entiers positifs ne sont pas des solutions exactes de l équation f(x) = 100. f(4)= π ( 3 4² - 0,5 4 3 ) = π ( ,5 64)= π ( ) = 3 π 100,53 donc f(4) 100 f(11) = π (3 11² - 0, ) = π (3 11-0,5 1331) = π (363 33,75) = 30,5 π 95,03 donc f(11) 100

7 . A l aide de votre calculatrice, déterminer une valeur arrondie à 10 - près de chacune des solutions positives de l équation f(x)= 100. En utilisant le mode Graph, Y1 : π ( 3X² - 0,5X 3 ) Y : 100 Shift Window : X min : 0 ; X max 15 ;. Zoom AUTO Gsolve ; ISCT On trouve les deux solutions positives x 1 et x telles que : x 1 3,99 ( 3, ) et x 10,94 (10, ) 3. Soit g la fonction définie sur IR par g(x)= - 0,5 π ( x 8) ² ( x + 4). Voici ci-dessous le tableau de signes de g. x Signe de g(x) Résoudre dans IR l'inéquation g(x) 0. S = [ 4 ; + [

8 Partie B : Dans cette partie, les longueurs sont exprimées en cm, les aires en cm² et les volumes en cm 3. Le cône représenté ci-contre a pour rayon OM= 6 et pour hauteur SO= 1. On coupe ce cône par un plan parallèle à la base comme indiqué sur la figure de telle manière que SO = x. On construit alors le cylindre qui a le même axe que le cône et pour rayon [O M ] comme représenté ci-contre. On note V(x) le volume de ce cylindre. 1) Quel est l ensemble de définition de la fonction V. On le notera D V. L ensemble de définition de V est [ 0 ; 1] ) a) Dessiner le triangle SOM sur lequel vous ferez figurer les points O et M. b) Démontrer que O M = 0,5 x. Les points S, O et O sont alignés et distincts deux à deux Les points S, M et M sont alignés et distincts deux à deux Les droites (O M ) et (OM) sont parallèles Donc, d après le théorème de Thalès, on a : SO SO = SM SM = O M' OM x d où 1 = O M' 6 On en déduit : O M = 6x 1 = 0,5x c) Exprimer OO en fonction de x, puis justifier que, pour tout x appartenant à D V, V(x) = π ( 3x ² - 0,5 x 3 ). O appartient au segment [ OS] donc OO = OS O S = 1 x Le volume du cylindre est égal à : V(x) = π r h = π O M OO = π (0,5x) (1 x) V(x) = π 0,5x (1 x) = π ( 3x 0,5x 3 ) 3) Peut-on obtenir le volume de ce cylindre égal à 100 cm 3? Si oui, précisez pour quelles valeurs? On cherche donc les valeurs de x telles que V(x) =100 c est-à-dire telles que : π ( 3x ² - 0,5 x 3 ) = 100 et x appartient à [ 0 ; 1] Or d après la partie A ) les solutions positives de l équation π ( 3x ² - 0,5 x 3 ) = 100 sont x 1 et x telles que : x 1 3,99 et x 10,94 Comme, de plus, ces solutions appartiennent à [0 ;1], on peut affirmer que : le volume de ce cylindre égal à 100 cm 3 lorsque x 3,99 ou x 10,94 4) a) Calculer V(8). (on gardera la valeur exacte) V(8) = π ( 3 8 0,5 8 3 )= π ( 19 18)= 64π

9 b) On admet que, pour tout x appartenant à D V, V(x) V(8) = - 0,5 π (x 8) ² ( x + 4). En déduire que, pour tout x appartenant à D V, V(x) V(8).(On pourra utiliser la partie A) Il s agit sur [ 0 ; 1] de comparer V(x) et V(8), donc on étudie le signe de leur différence, c estàdire le signe de V(x) V(8) Or, V(x) V(8) = 0,5 π (x 8) ² ( x + 4) On cherche donc le signe de 0,5 π (x 8) ² ( x + 4), c estdire le signe de g(x) D après la Partie A question 3), on a le tableau de signes suivant x Signe de g(x) Vu que l étude se fait sur [ 0 ; 1], on travaille avec le tableau de signes cidessous x Signe de g(x) 0 Pour tout x de [ 0 ; 1], V(x) V(8) 0 donc V(x) V(8) d) Que représente alorsv(8) par rapport à la fonction V. Comme, pour tout x de [ 0 ; 1], V(x) V(8), on en déduit que V(8) est le maximum de V sur son ensemble de définition [ 0 ; 1]

10 BONUS : Justifier le tableau de signes donné dans la partie A3)? Recherche : ABCD est un trapèze rectangle dont on ne connaît pas les dimensions. C g A tout point M du segment [AB], on associe le nombre réel x, distance de A à M. On considère : f(x) égal à l aire du triangle MCB g(x) égal à l aire du trapèze AMCD Sur le graphique ci-contre, on a tracé les courbes représentatives des fonctions f et g. En s aidant du graphique, retrouver les dimensions du trapèze ABCD.(justifier votre réponse) Plus x augmente, plus l aire du triangle MCB diminue : la fonction f est donc décroissante. Quand x = AB, le triangle MCB n existe plus donc f(x) = 0. D après le graphique, f(x) = 0 pour x = 6. On a donc AB = 6. Quand x = 0, f(x) = f(0) = AB AD = 6 AD = 3 AD. D après le graphique, f(0) = 1 d où 3 AD = 1 Donc AD = 1 3 = 4 Quand x = 0, AMCD est un triangle car A = M et g(x) = g(0) = AD DC = 4 DC = DC. D après le graphique, g(0) = 6, d où DC = 6. Donc DC = 6 = 3