A propos du disque en rotation autour de son axe

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1 A propos du disque en rotation autour de son axe Jean Parizet, mars 007 Étant donné en Relativité restreinte un disque en rotation uniforme autour de son axe, on se propose d obtenir son aspect dans l espace physique de l un de ses points : c est une ellipse, conséquence au fond de la "dilatation des longueurs". L intervention de l espace de Minkovski permet de préciser, à partir de la somme directe Φ-orthogonale liée à la quadrivitesse d un observateur galiléen ou non), ce qui se passe dans son espace physique et ce qu il peut éventuellement y observer. Soit un disque de bord un cercle C de rayon a et de centre O, supposé galiléen de quadrivitesse τ, tournant uniformément dans l espace physique de O autour de son axe O, k) avec la vitesse angulaire ω. i, j, k) est une base orthonormée directe de E τ. Notons t le temps propre de O qui sera pris pour paramètre du mouvement du disque. La vitesse de la lumière est prise pour unité. 1. Préliminaires géométriques Ligne d univers d un point de C Soit A le point du cercle C situé à l instant initial du temps propre de O en A0) tel que O 0 A0) = a i ou encore A0) = O 0 + a i. Á l instant t la position de A est donnée par At) = O t + acos ωt i + sin ωt j) soit avec O t = O 0 + tτ, ut) = cos ωt i + sin ωt j : At) = O 0 + tτ + a ut). La ligne d univers de A est une "hélice temporelle" située dans le sous espace affine d origine O 0, de direction engendrée par τ, i, j), et les lignes d univers des points de C engendrent le cylindre situé dans ce sous espace) de génératrices les droites parallèles à la ligne d univers de O s appuyant sur C 0 situation du cercle à l instant initial, où l on peut synchroniser les horloges. La quadrivitesse de M à l instant t, τ t), est donnée par dat) = τ + aω vt) où vt) = sin ωt i + cos ωt j unitaire dt s étant le temps propre de A nul en A0) : dat) = τ t) ds ds ) avec = 1 a ω = 1 t dt dt dt γ : s = du/γ 0 soit dat) = τ t), τ t) = γ τ + aω ) vt) avec γ = 1/ 1 a ds ω > 1. γ est constant et indépendant du point de C et s = t/γ le même pour tous ) en prenant les origines des temps propres en les points de C et le temps propre de O en O 0. Pour repérer les événements, considérons les bases Q-othonormées les plus naturelles associées aux sommes directes Rτ E τ et Rτ t) E τ t). jparizet@yahoo.fr 1

2 Bases Q-orthonormées directes de Rτ E τ et Rτ t) E τ t) Les deux bases de Rτ E τ { τ, i, j, k) τ, ut), vt), k) fixe mobile sont Q-orthonormées directes. Avec τ t) et les trois derniers vecteurs de la précédente, construisons une base Q-orthonormée adaptée à Rτ E τ t). ut) et k sont Φ-orthogonaux à τ et vt) donc à τ t) qui est combinaison linéaire des précédents, et complétons τ t), k, ut)) par leur biproduit vectoriel τ t) k ut) que l on note v t) : τ t), ut), v t), k) est base Q-orthonormée directe de E τ t) avec v t) = τ t) k ut) = γ τ + aω ) vt) k ut) = γτ k ut) + γaω vt) k ut) = γ vt) + γaωτ On passe de τ, ut), vt), k) base adaptée à Rτ E τ à τ, ut), v t), k) adaptée à Rτ E τ, et réciproquement selon, k et ut) étant communs, τ t) = γ τ + aω ) vt) τ = γ τ t) aω ) v t) ) v t) = γ vt) + aωτ ) vt) = γ v t) aωτ t) et de l une à l autre des bases adaptées à Rτ E τ par { { ut) = cos ωt i + sin ωt j i = cos ωt ut) sin ωt vt) vt) = sin ωt i + cos ωt j j = sin ωt ut) + cos ωt vt). Aspect du disque dans l espace physique d un point de son bord Trace de la ligne d univers d un point de C sur l espace physique de At) Notons HAt)) cet espace physique, issu de At) et de direction E τ t). Puisque ut) appartient à E τ t), O t =At) a ut) appartient à HAt)). Soit M un point du cercle C, précisé à l instant initial du paramètre temps propre de O selon M0) = O 0 + a cos θ i + a sin θ j Pour la valeur t de ce temps propre : Mt ) = O t + a cosθ + ωt ) i + a sinθ + ωt ) j = O 0 + t τ + a cosθ + ωt ) i + a sinθ + ωt ) j ou encore Mt ) = O 0 + t τ + a cosθ + ωt ωt) ut) + a sinθ + ωt ωt) vt) Cherchons t de sorte que Mt ) appartienne à HAt)) soit O t Mt ) à E τ t). Il convient donc d exprimer ce vecteur dans la base précédente liée à Rτ E τ : O t Mt ) = t t)τ + a cosθ + ωt ωt) ut) + a sinθ + ωt ωt) vt) = t t)γ τ t) aω ) v t) + a cosθ + ωt ωt) ut) + a sinθ + ωt ωt)γ [ ] = γ t t a ω sinθ + ωt ωt) τ t) +a cosθ + ωt ωt) [ ] ut) + aγ sinθ + ωt ωt) ωt t) v t) ) v t) aωτ t)

3 Mt ) appartient à E τ t) si et seulement si la composante selon τ t) de O t Mt ) est nulle c est à dire si t est solution de ) t t = a ω sin θ + ωt t) équation qui a une solution et une seule car a ω < 1 majorant de la valeur absolue de la dérivée en t du second membre). Notons t + ψθ)/ω cette solution. Avec 1 a ω )γ = 1 qui simplifie le cœfficient de v t)), on remarque que Mt + ψθ)/ω) est sur l ellipse EAt)) de représentation paramétrique EAt)) : O t Mt + ψθ)/ω) = a cosθ + ψθ)) ut) + a sinθ + ψθ)) v t) γ Tout point du cylindre étant la situation d un point de C o à un instant modulo π/ω) de son histoire, l ellipse est le lieu des traces des lignes d univers des points de C t dans l espace physique de At). C t Mt ) Bt ) O t a v t)/γ τ j a vt) Mt) At ) O t C t O 0 i a ut) At) τ a i E At) A0) Dessin dans le sous espace affine O 0τ, i, j) 3

4 Remarques La section plane d un cylindre de révolution dans E 3 euclidien est une ellipse dont le petit axe est parallèle au plan du cercle directeur. Ici c est le grand axe a > a/γ, effet de la métrique de Minkovski, ou encore illustration de la "contraction des longueurs" pour les directions non Φ-orthogonales communes aux quadrivitesses Φτ, O t Bt )) = Φτ, a v t)/γ) = a ω 0). Variations de la fonction ψ. ψθ) étant la racine de l équation ) en t t : t t = a ω sin θ + ωt t), on note d abord que ψ est impaire, puis en se restreignant à [0, π] et en appliquant aux deux membres Arc sin ou π Arc sin, on voit que ψ croît de 0 à a ω sur [0, π/ a ω ] et décroit de a ω à 0 sur [π/ a ω, π]. a ω est le maximum de ψ atteint en π/ a ω. Cas des points intérieurs au disque Soit Nt) un point du rayon O t Mt) et cherchons t tel que, avec Nt ) = O 0 + t τ + b cosθ + ωt ωt) ut) + b sinθ + ωt ωt) vt) b < a), Nt ) appartienne à EAt)) : comme précédemment on vérifie) que t est solution de t t = abω sin θ + ωt t) solution qui existe et est unique car abω < 1). En la notant t = t + χθ)/ω, on précise Nt ) à l intérieur de EAt)) selon χθ) étant indépendant de t) : O t Nt + χθ)/ω) = b cosθ + χθ)) ut) + b sinθ + χθ)) v t). γ Cas particulier. Où choisir Bt) pour que que Bt ) soit sur le petit axe de l ellipse EAt))? C est pour θ + χθ) = ±π/ ; alors χθ) = abω et θ = ±π/ abω ). Bt) est sur la courbe donnée paramétriquement dans le repère O t, ut), vt)) par en convenant pour s affranchir de ± de prendre a < b < a xb) = b sinabω ), yb) = b cosabω ) c est à dire d un arc de spirale d Archimède d équation polaire traditionnelle ρ = θ/aω ). Bt) C t E At) Bt + a ω) O t At) O t At) Ct a ω) Ct) Arc de spirale d Archimède dans le disque correspondant au petit axe de E At) 4

5 3. Observation de C par l un de ses points Observation d un point de C par A A étant toujours un point fixé de C, soit P un autre point de C tel que i, O 0 P 0 ) = θ [0, π[. À l instant t du temps propre de O) A envoie un faisceau lumineux atteignant la ligne d univers de P à l instant t du temps propre de O), le faisceau étant vers l avenir : t t. Puisque, en posant t = t t 0), selon un calcul semblable à celui du [ ] [ ] [ ] Pt ) = At)+γ t a ω sinθ+ω t) τ t)+a cosθ+ω t) 1 ut)+aγ sinθ+ω t) ω t v t) et en précisant que la droite At)Pt )) est isotrope : [ ] [ ] γ [ t a ω sinθ + ω t)] = a cosθ + ω t) 1 + a γ sinθ + ω t) ω t soit avec 1 = γ 1 a ω ) t) = 4a sin θ + ω t c est à dire t 0 ) : t = a sin θ + ω t ou t = a sin θ + ω t. Puisque 0 < aω < 1 la première équation en t a une solution unique positive, mais la solution de la seconde est négative. Notons celle de la première t = ϕθ)/ω. Comme plus haut, ϕ croît de 0 à aω sur [0, π aω] et décroît sur l intervalle restant. θ = θ + ψθ) croît de 0 à π sur [0, π] et t s écrit a sinθ/) sans valeur absolue. Notons qu alors le cœfficient de τ t) dans l expression de Pt ) est γ t1 aω cosθ /) positif. Imaginons un catadioptre en P : la lumière issue de A se réfléchit et atteint A au bout du même laps de temps t, le mouvement de rotation du disque pour O) étant uniforme autour de son axe et θ restant le même. Ainsi : A voit P à une distance de t/γ sec-lumière t/γ étant le temps propre de A), dans la direction du vecteur wt) de E τ t) tel que sinθ/) étant positif) Pt ) = At) + γ t1 aω cosθ /)τ t) + a sinθ/) wt) où wt) = sinθ/) [ ] ut) + γ cosθ/) aω v t). A t) voit donc P en P 1 t) de l espace physique de At) tel que At)P 1 t) = t wt) γ wt) τ O 0 τ 0) A0) A t) P0) P t) t = 0 a=1, ω=1/ : γ = 3/ θ = π/ π/3 = π/6 π t = sin 1 + t ) 4 t t/γ Observation de P par A 5

6 Aspect de C pour A Explicitons la relation précédente. Puisque wt) = γ a ω aω cosθ/) + 1) = γ [1 aω cosθ/)] > 0 : At)P 1 t) = a sinθ/) γ 1 aω cosθ/) [ ) sinθ/) ut) + γ cosθ/) aω ) ] v t) Lorsque γ 1, ω 0 a rayon du disque étant donné), la relation précédente devient At)P 1 t) = acos θ 1) ut) + a sin θ v t) et lorsque θ varie on retrouve le bord du disque. Le cercle C est vu par A sous la forme de la courbe C lieu de P 1. Notons que t est indépendant de t : C est une "vision" de C pour A dans son espace physique variant au cours du temps mais fixe pour A : u et v y sont constants). Car si C est muni de catadioptres, tel le bord d une route dans un virage, A voit les éclairs lumineux se déplacer à partir de lui à droite et à gauche comme deux traits lumineux qui se rejoignent en A 1 pour t = aω maximum de t), AA 1 = a/γ étant le diamètre de C au sens métrique, et continuent en s y croisant... C a=1 u A γ = 1.1, ω A 1 v Aspect de C pour A