x x ; Chapitre 2 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS

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1 Chapitre GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS I. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS DE VARIABLE RÉELLE Sau indication particulière, pour simpliier, les onctions sont déinies sur un intervalle I de non réduit à un point, à valeurs dans (ce sont donc des éléments de (I, ) ou encore Concept ondamental de onction a) Ensemble de déinition d une onction, image, antécédent I ), ou sur une réunion d intervalles. Une onction étant donnée par une ormule (ou, ( ) parois, par plusieurs ormules sur des intervalles disjoints), valable lorsque est donné dans D, on appelle ensemble de déinition (ou domaine de déinition) de, l ensemble des valeurs de dans D pour lesquelles ( ) eiste (c est-à-dire : est calculable). La onction ainsi déinie sur D s appelle une application, ce qui signiie simplement que tout élément de D possède une image unique par. Vocabulaire associé Pour tout de D, l unique élément () de qui lui est associé, est appelé image de par. Pour tout t de, on appelle antécédent de t par, tout élément a de D, s il eiste, tel que : t = (a). Eemple : Soit D = [0,] et ( ). ( ) eiste si ln() eiste et si ce réel est non nul : D ]0,[ ],]. ln( ) b) Représentation graphique d une onction On appelle représentation graphique de (ou graphe de ) l ensemble des points (, ( )), lorsque D, dans un repère orthogonal ou orthonormal (ou orthonormé) du plan ( O, i, j ). Il est généralement noté c) Image par une onction d un intervalle ou d une partie de quelconque Soit une onction déinie sur un sous-ensemble E de. On note E ( ) l ensemble de toutes les images par des éléments de E : ( E) { t / E, ( ) t }. On l appelle aussi l ensemble des valeurs prises par sur E. On le visualise, en projetant sur l ae des ordonnées, les points de la représentation graphique de. Eemples : () ; ( ), ([, 3]) [0, 9], (],[) [0,[ C. d) Déinitions (Propriétés de symétrie ondamentales) est dite paire ssi : D, D et ( ) ( ) ; C est symétrique par rapport à (Oy). est dite impaire ssi : D, D et ( ) ( ) ; C est symétrique par rapport à O. Remarque : Si est impaire et déinie en 0, (0) = 0. est dite périodique, de période T, ssi : D, T, T D et ( T) ( T) ( ) ; si la représentation de pour D [0, T ] ou D [ T, T] est connue, la représentation complète de C s obtient par translations successives de, le vecteur de translation étant Ti (et Ti ). 7

2 Opérations sur les onctions a) Déinitions et notations : Soient et g des éléments de I et un réel quelconque. La somme de et de g est notée +g et elle est déinie par : I, ( +g)() = () + g() Le produit de et de g est noté g (ou g) et il est déinie par : I, ( g)() = ()g() Le produit de par, est noté (ou.) et il est déinie par : I, ( )() = () Une onction de la orme g, et µ réels, est appelée combinaison linéaire des onctions et g. La valeur absolue de est notée et elle est déinie par : I, ( ) ( ) b) Déinition 3 : Soit un élément de (I, ) et g un élément de (J, ), tels que : I, () J (en abrégé : () I J ). L application, qui, à tout réel de I, associe g( ( )) s appelle la composée de et de g : Elle est notée g et cela signiie : I, ( g )( ) g( ( )) Schéma : ( ) g( ( )) ( g )( ) c) Transormations géométriques associées à certaines opérations sur une onction Soit une onction, déinie sur D et soit a un réel non nul. () On déinit, pour D : ( ) ( ) a. Le graphe de est obtenu à partir de celui de, par translation du vecteur aj AB. Pour cela, on trace les points (, ( ) a ), pour E D. (a = 3 pour la igure) () On déinit : ( ) ( a ). Le graphe de est obtenu à partir de celui de, par translation du vecteur ai CD. Pour cela, on trace les points (, ( a )), pour E { / a D } ( a pour la igure) 8

3 (3) On déinit : 3 ( ) ( a ). Le graphe de 3 est obtenu à partir de celui de, par symétrie par rapport à la droite a.pour cela, on trace les points(, ( a )),pour E 3 { / a D } (a = pour la igure) (4) On déinit : 4 ( ) ( a ). Le graphe de 4 est obtenu à partir de celui de, de la açon suivante : Si M C, on note H son projeté orthogonal sur (Oy) et on trace les points(, ( a )),pour E 4 { / a D }. M ' déini par HM ahm C 4. Pour cela, (a = pour la igure) (5) On déinit : 5 ( ) a( ). Le graphe de 5 est obtenu à partir de celui de, de la açon suivante : Si P C, on note H son projeté orthogonal sur (O) et on trace les points(, ( a )),pour E 4 { / a D } P ' déini par HP ahp C 5. Pour cela, (a = pour la igure) 9

4 3 Fonctions monotones a) Déinitions 4 Soit un élément de I. est croissante (resp. décroissante) sur I ssi : (,y) I, y ( ) ( y ) (resp. ( ) ( y ) ) est strictement croissante (resp. strict. décroissante) sur I ssi les inégalités précédentes sont strictes. est monotone (resp. strictement monotone) sur I ssi elle est croissante sur I ou elle est décroissante sur I (resp. elle est strictement croissante sur I ou elle est strictement décroissante sur I). b) Proposition P La somme de onctions croissantes (resp. décroissantes) sur I est croissante (resp. décroissante) sur I. P Le produit de onctions croissantes (resp. déc.) et positives sur I, est croissante (resp. décroissante) sur I. P3 Soient I, g J, avec () I J. # cela autorise le calcul de g( ( )) # Si et g sont (resp. strictement) monotones, alors g si et g ont même monotonie, g est (resp. strictement) monotone sur I ; en ait, est croissante sur I, et décroissante dans le cas contraire. P4 Si est une application strictement monotone sur I, les images de deu éléments distincts de I sont distinctes. Autrement dit, tout élément de (I) possède un unique antécédent. c) Attention à ne parler de monotonie que sur des intervalles : u : est décroissante sur ], [ et décroissante sur ], [, mais elle n est pas décroissante sur { } : < 0 et u( ) u(0)!! 4 Fonctions majorées, minorées, bornées a) Déinitions 5 Une partie X de est dit majorée (resp. minorée) ssi: A, X, A(resp. B, X, B) Une partie X de est dit bornée ssi elle est à la ois majorée et minorée : A, B, X, B A b) Eemples L intervalle ], [ est minoré et non borné ; X = { ; n *} est borné, car X, 0 c) Proposition Soit E une partie non vide de. E est bornée si et seulement si : A, E, A Supposons E majorée et minorée : M, m, E, m M. Alors : E, M et m. En notant A le plus grand des deu nombres M et m, on a : E, ma( M, m) et ma( M, m) A et A. Donc : A. Supposons E bornée : A, E, () A. Alors : E, A et A d) Déinitions 6 Soit un élément de (I, ). est dite majorée sur I ssi l ensemble (I) est majoré dans, c est-à-dire : M, I, () M est dite minorée sur I ssi l ensemble (I) est minoré dans, c est-à-dire : m, I, m () est dite bornée sur I ssi l ensemble (I) est borné dans : A, I, () Autrement dit, est bornée sur I si et seulement si est majorée sur I. e) Interprétations géométriques est majorée sur I par M signiie que les points (, ( )), I, sont situés sous la droite [y = M]. est minorée sur I par m signiie que les points (, ( )), I, sont situés au-dessus de la droite [y = m]. ) Proposition 3 : Toute onction ayant une limite inie en a est bornée sur un intervalle contenant a. n Ce résultat sera prouvé dans le chapitre 5 (limites et continuité des onctions) A 0

5 5 Fonction bijective et onction réciproque associée a) Déinition 7 : Soit : I J, I et J intervalles. On dit que est bijective de I sur J (ou est une bijection de I sur J ) ssi, pour tout y J, l équation [() = y], d inconnue, admet une unique solution dans I. L application, qui à tout élément y de J, associe l unique solution, qui est donc l antécédent de y, est appelée application réciproque de, et est notée, qui est une application de J dans I. a I, b J, b () a a () b b) Écritures ondamentales : I, ( ( )), ce que l on écrit : I, ( )( ) y J, ( ( y)) y, ce que l on écrit : y J, ( )( y) y c) Eemple ondamental :, y > 0, d) Remarques y e ln y R Une onction paire sur I (symétrique par rapport à 0) n est jamais bijective. R A priori, pour justiier que est une bijection de I sur J, on montre que l équation ( ) t, t J, possède une unique solution dans I : Si est donnée par ( ) 3, déinit une bijection de sur : t, ( ) t 3 t ( t 3). est bijective de sur et ( t) ( t 3). e) Théorème Soit une onction déinie sur I, strictement monotone sur I. déinit une bijection de I sur (I). Soit t (I) quelconque. Par déinition de l image : a I, t ( a). Or, est strictement monotone, donc deu éléments distincts de I ont des images distinctes : a est donc l unique antécédent de t. Donc l équation ( ) t possède une unique solution, est une bijection de I sur (I). 6 Propriétés de la onction réciproque a) Proposition 4 (monotonie de la onction réciproque) Soit : I J bijective Si est strictement monotone sur I, est strictement monotone sur J, de même monotonie que. Supposons sur I., y J, ( ) ( y) ( ( )) ( ( y)) y et donc par contraposée, < y ( ) ( y ). Le cas où décroît sur I se démontre de la même manière. b) Proposition 5 Soit : I J bijective, I et J intervalles. est elle-même une bijection de J sur I et les représentations graphiques de et sont symétriques l une de l autre par rapport à la ère bissectrice. M(,y) et M (, y ) sont symétriques par rapport à la première bissectrice ssi : y et y. (,y) I et y = () y J et = () y (y,). c) Proposition 6 Soit une bijection de I, intervalle centré à l origine, sur J, onction impaire. Alors est impaire. Pour prouver que : t J, ( t) ( t), il suit de prouver que les images par de ces nombres sont égales. Or : ( ( t)) t (par déinition de d) Proposition 7 : (Démontrée ultérieurement) ) ; ( ( t)) ( t) ( impaire) t. Soit une bijection de I sur J. Si est continue sur I, alors est continue sur J. ( est dite continue sur I ssi elle est continue pour tout a I, c.à.d. : lim ( ) ( a ) ) a

6 II. DÉRIVATION ET ÉTUDE DE FONCTION Fonction dérivée a) Rappel La dérivée en un point ( a, ( a)) est la limite inie, si elle eiste, du tau d accroissement ( ) ( a ) a, d lorsque tend vers a. Elle est notée : () a, () a, D(a). d Il est rappelé, que si est dérivable en a, elle est continue en a, la réciproque étant ausse. (démontré ch. ) b) Équation de la tangente à C au point ( a, ( a )) : y ( a) ( a)( a ) c) Théorème : (Opérations sur les onctions dérivables) Soient et g dérivables sur I. Toute combinaison linéaire de et g est dérivable sur I et on a : (, ), g g ; Le produit de et g et le quotient de par g, si g ne s annule pas sur I, sont dérivables sur I et on a : g g g ;: g g Soit dérivable sur I, g dérivable sur J, avec () I J. g est dérivable sur I, et: ( g ) ( g ) d) Dérivation de la onction réciproque (prouvée ultérieurement) Soit une bijection de I sur J. Si est dérivable sur I, et que sa dérivée ne s annule pas sur I, alors est dérivable sur J et : t J, e) INTERPRÉTATION ( ) ( t) ( ( t)) soit ( ) Soit une bijection de I sur J. On suppose dérivable en a I, avec ( a ) 0. Les tangentes au points ( a, ( a )) et ) Eemple : ( ( a), ( ( a )) ont des pentes p et q inverses. ( () p a, q ( ) ( ( a )) ) p () réalise une bijection de dans, avec : 0, ( ). En se restreignant à *, est une bijection de * sur * et ne s annule pas sur *. La onction réciproque est : ( ). g Sa dérivée sur * est donnée par : > 0, ( ) ( ) g. ( ( )) La tangente passant par A a pour pente 3, la tangente passant par A a pour pente 3.

7 Étude de onction a) Théorème 3 ondamental (Démontré ultérieurement dans le chapitre 6) est croissante (resp. décroissante) sur I 0 (resp. 0 ) sur I. Si 0 (resp. 0 ) sur I, alors est strictement croissante (resp. décroissante) sur I. constante sur I 0 sur I. b) Notion d asymptote à une courbe Si lim ( ) (ou ), alors la droite d équation [ = a ] est asymptote (verticale) à C. a Si lim ( ) (ou lim ( ) ), alors la droite d équation [ y ] est asymptote (horizontale) à C. c) Plan d étude d une onction d) Eemple. Détermination de l ensemble de déinition de, noté, en général, D.. Étude des symétries de. bis. Étude de la périodicité de (si est une onction trigonométrique essentiellement) Dans le cas de symétrie et/ou périodicité, on détermine un ensemble d étude les variations de. 3. Calcul des limites de au bornes de D (ou de D) e Traduction éventuelle en termes d asymptotes. 4. Calcul de la dérivée en tout point où la ormule de dérivation s applique. 5. Détermination du signe de la dérivée, suivant les valeurs de. D, sur lequel on étudie e 6. Établissement du tableau de variations de, où sont consignés les résultats de 3. et 5.; on calcule les ordonnées des points où la dérivée s annule et change de signe. (Ce sont les etremums de ) 7. Tracé éventuel de la représentation graphique de (à la main ou à la calculatrice) et de ses asymptotes éventuelles. Étude de () 3 9. () eiste ssi 0. Les racines de sont et. D ], [ ],[ ], [. Pas de symétrie, pas de périodicité lim ( ( )) lim ( ) lim ( ) 0. La droite [y = 0] (c.à.d. l ae des abscisses) est asymptote quand tend vers. lim (3 9) ; lim ( ) 0, lim ( ) 0. Donc : lim ( ( )). La droite [ ] est asymptote lorsque tend vers. lim(3 9) 3 ; lim ( ) 0, lim ( ) 0. Donc : lim ( ( )). La droite [ ] est asymptote lorsque tend vers. 4. On écrit : ( ) 3 5. Les racines de 6 5 sont et 5. lim ( ( )) et lim ( ( )) et 3 : 3 3( 6 5) ( ) ( 3)( ) ( ) ( ) D après le signe du trinôme : ( ) 0 ],[ ],5[ et ( ) 0 ], [ ],[ ]5, [ () 3; (5) 3 3

8 6. Tableau de variations : 5 () ( ) Représentation graphique : 3 Dérivées successives a) Déinitions 8 et notations Soit dérivable sur I. On note ( I, ) l ensemble des onctions dérivables sur I. Si est dérivable sur I, on introduit ( ), et ainsi de suite, la dérivée k ième de par ( k ) ( ( k ) ). Par convention : (0), (), (). Notation : ( k ) d ( ) k ( ) D ( )( ) k d On dit que est k ois dérivable sur I, ou est dérivable à l ordre k sur I. (l ordre k est mis entre parenthèses). L ensemble des onctions n ois dérivables sur I est noté n (I, ). b) Propriétés élémentaires P Soit n ( I, ), pour n. k [0,n], k ( I, ) et k ( k) ( n k) ( n) ( ) P Pour tout n, n ( I, ) est stable par combinaison linéaire et on a :, g n ( ) ( ) ( ) ( I, ), (, ), ( g) n n g n P l eistence de ( n) nécessite celle de toutes les dérivées d ordre inérieur ; ( ) ( ) ( ) P ( g) n n g n se démontre par récurrence sur n à partir de ( g) g. 4

9 III. FONCTIONS FONDAMENTALES (rappels et prolongements) Fonction logarithme népérien a) Théorème 4 et déinition 9 La onction logarithme népérien, notée ln, est l unique primitive sur * de, qui s annule en. dt Elle est donc déinie par : > 0, ln() = et on a : ln() = 0 t Propriété ondamentale : (,y) ( b) Formulaire : () t > 0, * ), ln(y) = ln() + ln(y) ln( ) ln( t), (,y) ( * ), ln( ) = ln() ln(y) ; ln(e) = t y () * n, n, ln( ) n ln( ) (3) lim ln( ), lim ln( ) 0 (4) Si u est dérivable sur un intervalle I, avec : I, u( ) 0. I, c) Déinition 0 On appelle logarithme décimal (ou de base 0), l'application, notée log ou log, 0 déinie sur * par : > 0, [ln( u ( ) )] u ( ) u ( ) ln( ) log( ) (Valeur numérique : ln(0), 3) ln(0) d) Propriétés ondamentales du logarithme décimal: log () = 0, log(0) =, (,y) ( * ), log( y) log( ) log( y ), log(0 ), +, e) Application Le logarithme décimal est utilisé en chimie (ph = log([ H ]). log( ) 0 Fonctions eponentielle de base e a) Déinition D après les propriétés du logarithme : Pour tout, l équation [ln(t) = ], d inconnue t, admet une unique solution strictement positive. Elle est notée provisoirement ep(). Cela permet de déinir une onction de dans *, appelée onction eponentielle, qui est la onction réciproque du logarithme népérien : > 0, y, y = ln() = ep(y) Elle est dérivable sur, égale à sa dérivée et on a la propriété ondamentale : (,y) ², ep( y) ep( ). ep( y ) Par déinition, e = ep(), il s ensuit immédiatement, par récurrence sur n : n, ep(n) = e n Pour généraliser cette écriture, on note, pour tout réel : ep() = e y y La propriété ondamentale s écrit alors, de açon déinitive : (,y) ², e e e b) Formulaire avec notation déinitive ln( a) (), ln( e ) = et a > 0, e = a () t, t e, (,y) ², e t y e y n n e (3), n,( e ) e e (4) lim ( e ), lim ( e ) 0 (5), ( e ) u ( ) u u (6) Si u est dérivable sur I, alors e est dérivable sur I et on a : I, ( e ) u ( ) e e ( ) ( ) 5

10 3 Fonctions eponentielle de base a avec a * («bord programme», à connaître cependant) a) Déinition On déinit la onction eponentielle de base a, notée provisoirement ep a, par :, * Elle vériie la propriété ondamentale : (,y) ², ep a ( y) ep a ( ). ep a ( y ) * On a immédiatement : ep a() a et par récurrence sur n : n, ep a ( n ) = a n * Toujours par etension, on note alors, pour tout réel : b) Remarques : R Toute onction e, est une onction de type a R Relation avec le logarithme ( a ) : y a ( e ln( ) ) c) Formulaire avec notation déinitive 0 y y () a ; (,y) ², a a a () y a ln( y) ln( a ) ln( a ) a a e ln( ) ln( a) ep a( ) e. a : e ( e ) a, en posant e a. ln( y) ln( a ) ln( a) (3) t, a t () t at a ; (,y) ², y a y a y (4), y,( a ) a a (5) si a >, lim ( a ), lim ( a ) 0 (les ormules sont échangées pour a ]0,[ ) (6) a est dérivable sur et :, ( a ) ln( a). a d) Fonctions à eposant dépendant de la variable Lorsqu une onction u déinie sur I est strictement positive sur I et la onction v est déinie de I dans, ( ) ( )ln( ( )) on peut déinir une onction, pour tout I : ( ) [ u( )] v e v u Si u et v sont alors continues sur I (respectivement dérivables sur I), alors (respectivement dérivable sur I). v ln( y) ln( a) u est continue sur I y 4 Représentations graphiques a) Fonction logarithme népérien b) Fonction eponentielle ( a, pour a ],+ [ et pour a ]0,[, ici a ) 6