Maths doc élève. FONCTIONS LOGARITHME et EXPONENTIELLE

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Sabine Soucy
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1 FONCTIONS LOGARITHME et EXPONENTIELLE 1- Fonction logarithme décimal 1-1 Sens de variation et tracé de la courbe y = log(x) Remplir à l aide de la touche "log" de la calculatrice le tableau de valeurs suivant, arrondir les valeurs au dixième. x 0,01 0,1 0, log x Puis tracer la courbe y = log x sur l'intervalle [0,01 ; 10] logx x -1-2 On admettra le tableau de variation suivant, 1-2 Propriétés a) Compléter le tableau suivant : a b axb Log(axb) Log (a) + log (b) ,301 0,3 0,6 2,4 3,7 Compléter la propriété suivante : Log(axb) =. b) Compléter le tableau suivant : a b a b a Log ( ) b 3 2 1,5 1,301 0,3 0, Log (a) - log (b)

2 Compléter la propriété suivante : Log(axb) =. c) Compléter le tableau suivant : x x 0,001 log x Compléter la propriété suivante : Log(10 n ) =. d) Calculer log(3 5 ) = et 5 log(3) =. De même : Calculer log(46 7 ) =. Et 7 log(46) =.. Compléter la propriété suivante : Log(10 n ) =. 1-3 Exercices Calculer sans calculatrice, les valeurs de log(10 3 ), log(10-5 ) On pose a = log2 et b = log3 ; Exprimer en fonction de a et b les nombres suivants : log4 ; log6 ; log8 ; log9 ; log12 ; log15 ; log16 ; log18 ; log Résolution d une équation Un capital de (noté C 1 ) est placé à intérêts composés au taux de 3%. a- Exprimer le capital C n de la n ième année en fonction de C 1. b- Calculer la valeur acquise au bout de 7ans, 11 ans et 15 ans. c- Au bout de combien d'années ce capital aura-t-il doublé? 1

3 2- Papier logarithmique et semi-logarithmique Il existe un papier appelé "papier logarithmique", où les deux axes sont des échelles. Le papier "semi-logarithmique" est tel que l un des axes est gradué, l autre axe est une échelle. L échelle logarithmique permet de représenter une grandeur ayant. On peut donc placer directement les nombres sans avoir à les calculer. Par exemple, on peut placer sur l axe ci-dessous gradué avec une échelle logarithmique la distance de Mercure et Neptune au Soleil, soit respectivement km et 4, km Fonction logarithme népérien John Neper, baron de Merchiston ( ) : mathématicien écossais, il publia la première table de logarithme et inventa l ancêtre de la règle à calcul, le bâton de Neper. 3-1 Définition La fonction logarithme népérien : est définie sur l intervalle On démontre que c est une fonction. Les valeurs de s obtiennent à la calculatrice à partir de la touche ln. Les valeurs de et sont proportionnelles, 3-2 Tracé de la courbe y = lnx et sens de variation Au moyen de la touche ln de la calculatrice, remplir le tableau suivant, en arrondissant à 10-1 près. x 0,05 0,1 0,5 0, lnx 2

4 Pour des valeurs de x 0, taper lnx. Que constate-t-on? Tracer la courbe y = lnx sur l intervalle ]0 ;7] suivant, On admettra le tableau de variation lnx 1 0 0, x Propriétés Valeurs particulières : ln(1) = Le nombre "e" vérifie ln(e)=0 Combien vaut e? Les propriétés sur Log restent les mêmes que pour ln, à savoir : 3-4 Applications Calculer sans calculatrice ln(e 2 ) ; ln( 1 e ) ; ln( 1 e 3) ; ln( e) 3

5 3-5 Résolution de l équation a x = b Pour tout a 0 et a 1, et pour tout b 0. Pour résoudre l équation a x = b d inconnue x, on utilise une des propriétés du logarithme népérien : Applications : Résoudre l équation 2 x = 1024 La population d une ville s accroît chaque année de 1%. Dans combien d année la population sera-t-elle passée de à habitants? 4- Fonctions exponentielles 4-1 Définition Soit a 0. La fonction f : x est appelée. 4-2 Exemples Les fonctions f(x) = 2 x ; g(x) = 0,5 x ; h(x) = e x sont des fonctions exponentielles de bases respectives Sur la calculatrice on utilise les touches et pour déterminer leurs valeurs. 4-3 Propriétés Soit a un réel strictement positif ( différent de 1), On admettra que pour tous réels x et y : 4-4 Remarque 4

6 Pour tout x réel, la fonction exponentielle de base a définie par x a x (a 0 et a 1) peut également être définie de la manière suivante : 4-5 Fonction exponentielle de base e : x e x A l aide de la calculatrice, remplir le tableau de valeurs suivant, x e x Tracer la fonction sur cet intervalle. e(x) On admet le tableau de variation de la fonction, La fonction est x 0 5

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