Contrôle commun de Seconde - 26/01/ Sujet A

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1 NOM : Contrôle commun de Seconde - 6/1/16 - Sujet A Calculatrice autorisée. Rédigez clairement et proprement. Bon travail! EXERCICE 1 - ÉTUDE DE BÉNÉFICE (9 points) Une entreprise produit et vend x tonnes de chocolat par jour. La quantité x varie dans [; 5]. Le coût de production (ce que l entreprise dépense) pour x tonnes de chocolat, exprimé en milliers d euros, est noté C (x). L entreprise vend sa production au tarif de 55 milliers d euros la tonne de chocolat. Dans la suite, on note R(x) la recette (exprimée en milliers d euros) obtenue par l entreprise pour la vente de x tonnes de chocolat. On a ainsi R(x)=55x. On notera également B(x) le bénéfice réalisé par l entreprise, après avoir vendu x tonnes de chocolat. On a B(x)=R(x) C (x), pour tout réel x de [;5]. Partie 1 (3 points) La fonction C (coût de production) est représentée sur l intervalle [;5] sur la GRAPHIQUE (a) Déterminer graphiquement le coût de production pour x= 1 tonnes de chocolat. Ecrire la valeur sur la copie et marquer sur le graphique les traits de construction nécessaires. (b) Calculer la recette pour 1 tonnes de chocolat. Dans ce cas, l entreprise gagne-t-elle ou perd-elle de l argent? Estimer combien d argent environ.. Préciser la nature de la fonction recette R. Tracer la courbe de la fonction R sur la FIGURE 1 et justifier sur la copie. 3. Par lecture graphique, et en justifiant sur la copie, déterminer pour quelles quantités de chocolat l entreprise réalise un bénéfice strictement positif (c est-à-dire gagne de l argent) GRAPHIQUE 1 : Coûts de production

2 Contrôle commun de Seconde 16 (Sujet A) Page /4 Partie : Étude du bénéfice par lecture graphique (,5 points) La courbe représentant la fonction bénéfice B est donnée ci-dessous (GRAPHIQUE ). À l aide du FIGURE, répondre aux questions suivantes en complétant directement la feuille d énoncé. On ne demande pas de rédiger d explications écrites, mais on attend des traits de constructions sur le graphique pour les questions 1. et.. 1. Pour réaliser un bénéfice supérieur ou égal à 1 milliers d euros, on doit vendre une quantité de chocolat comprise entre Le bénéfice maximum est d environ... milliers d euros ; il est réalisé pour environ... tonnes de chocolat. 3. Compléter les tableaux de signe et de variation ci-dessous. Tableau de signe x 5 B(x) Tableau de variation x 5 B(x) GRAPHIQUE : Bénéfice Partie 3 : Étude du bénéfice par calcul algébrique (3,5 points) 1. Les coûts de production sont exprimés par la formule C (x)= x + 6, pour x [;5]. Vérifier que le bénéfice s écrit : B(x)= x + 55x 6 pour tout réel x de [;5].. Dans cette question, le but est de résoudre algébriquement l inéquation (1) : B(x) 1. (a) Montrer que l inéquation (1) équivaut à l inéquation () : ( x)(x 35). (b) Résoudre dansrl inéquation (). (c) Ces solutions confirment un résultat trouvé dans la Partie. Lequel?

3 Contrôle commun de Seconde 16 (Sujet A) Page 3/4 EXERCICE : GÉOMÉTRIE (5 points) Dans un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points A(1; ), B( 1; 3) et C ( ; ). 1. Compléter la figure (GRAPHIQUE 3), au fur et à mesure de l exercice.. Calculer les longueurs AC, AB et BC. En déduire la nature du triangle ABC. 3. Calculer les coordonnées du point E milieu du segment [BC ]. 4. Soit A le symétrique du point A par rapport au point E. Calculer les coordonnées de A. 5. Déduire des questions précédentes la nature précise du quadrilatère AB A C. Justifier. 6. Le point A appartient-il au cercle de centre E passant par le point B? Justifier J 5 1 O I GRAPHIQUE 3 : Repère orthonormé

4 Contrôle commun de Seconde 16 (Sujet A) Page 4/4 EXERCICE 3 : QUESTIONS DIVERSES (6 points) Les trois questions de cet exercice sont indépendantes. Question A 1. Résoudre algébriquement l équation (3t ) = 5 d inconnue t.. Factoriser l expression E(x) définie par E(x) = (x)(5 x) (4 6x)(4x+ 1). Aide : commencer par factoriser (4 6x). Question B Étudier surrle signe de l expression F (x) définie par : F (x) = 3 5 x. Question C En période de soldes, un magasin d habillement applique les règles suivantes : (Règle 1) Tout article valant 5e ou plus est soldé avec une réduction de %. (Règle ) Les articles valant strictement moins de 5esont soldés seulement à 1%. (Règle 3) Le magasin propose une réduction supplémentaire de 5% pour un montant total d achat supérieur ou égal à 15e. La caissière Lola a écrit l algorithme suivant, pour calculer le prix total à payer par un client achetant N articles identiques, valant chacun Pe avant solde. Commenter cet algorithme et répondre aux questions ci-dessous directement sur l énoncé. Algorithme 1: Saisir N un entier : Saisir P un entier 3: Si (P < 5) 4: Alors 5: Affecter.9*P à P 6: Sinon 7: Affecter.8*P à P 8: Fin-Si 9: Affecter N*P à T 1: Si (T >= 15) 11: Alors 1: Affecter... à T 13: Fin-Si 14: Afficher T Réponses aux questions ❶ À quelle règle correspond la ligne 5? ❷ Compléter la ligne 1. ❸ On exécute cet algorithme pour Lulu qui veut acheter 3 jeans à 4e chacun (prix initial). Ligne 1, il faut saisir... pour N. Ligne, il faut saisir... pour P. Ligne 9, la valeur de P est égale à Ligne 14, l algorithme affichera la valeur ❹ On exécute cet algorithme pour Leïla qui achète vestes à 1echacune. La valeur affichée en sortie est alors :

5 Contrôle commun de Seconde 16 (Sujet A) Eléments de correction EXERCICE 1 : ÉLÉMENTS DE CORRECTION Partie y = 55x C (1) GRAPHIQUE 1 : Coûts de production Les recettes excèdent les coûts de production, quand on produit entre 15 et 4 tonnes. Partie Bénéfice maximal d environ 16 ke réalisé pour 7.5 tonnes y = GRAPHIQUE : Bénéfice

6 Contrôle commun de Seconde 16 (Sujet A) Eléments de correction Tableau de signe Tableau de variation x B(x) + Partie 3. C (x)= x + 6 x α 5 B max B(x) ր ց 6 5 B max 16 atteint pour α 7,5 B(x)=R(x) C (x)=55x (x + 6)= x + 55x 6. (1) B(x) 1 B(x) 1 Factorisation de B(x) 1 : B(x) 1= x + 55x 7 ( x)(x 35)= x 7 x + 35x = x + 55x 7 Donc l inéquation (1) équivaut à l inéquation () ( x)(x 35). } D où l égalité : B(x) 1=( x)(x 35). On résout l inéquation () en dressant le tableau de signe du produit ( x)(x 35)... Par tableau de signe, on trouve que B(x) 1 sur l intervalle [;35]. EXERCICE : ÉLÉMENTS DE CORRECTION. Calculs des distances et nature de ABC. On utilise la formule : M N = (x N x M ) + (y M y N ) AB = ( 1 1) + (3 ) = ( ) + 1 = 4+1=5 AC = ( 1) + ( ) = () + ( 6) = 9+36= 45 BC = ( ( 1)) + () = ( 1) + ( 7) = 1+49= 5 On a donc : BC = AB + AC, donc, d après le théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en A. 6. Position du point A par rapport au cercle C de centre E passant par B. Comme E est le milieu du segment [BC], le cercle C a pour diamètre [BC]. Comme le triangle ABC est rectangle d hypoténuse [BC], C est son cercle circonscrit et donc le point A appartient à C. Or E est aussi le milieu du segment [AA ], donc les distances AE et A E sont égales et égales au rayon du cercle. Par suite, A appartient au cercle C. 6 Sommets du triangle : A(1; ), B( 1; 3) et C ( ; ). 5 A = (,) B = ( 1,3) 3 1 O E = 1 ( 1.5,.5) C = (,) 1 A= (1,) 1 3

7 Contrôle commun de Seconde 16 (Sujet A) Eléments de correction EXERCICE 3 (QUESTIONS DIVERSES) : ÉLÉMENTS DE CORRECTION Question A 1. 1 ère méthode: On sait que si a>, alors X = a équivaut à X = a ou X = a (1)(3t ) = 5 3t = 5 ou 3t = 5 (1) 3t = 5 ou 3t = 5 (1) 3t = 7 ou 3t = 3 (1) t = 7 3 ou t = 1 ème méthode: On factorise avec la troisième identité remarquable (3t ) = 5 (3t ) 5 = (1) (3t 5)(3t +5) = (1) (3t 7)(3t + 3) = (1) 3t 7 = ou 3t+ 3 = (1) t = 7 3 ou t = 1 { Conclusion: S = 1 ; 7 } 3. E(x) = (x)(5 x) (4 6x)(4x+ 1) = (x)(5 x) (x)(4x+ 1) = (x)[(5 x) (4x+ 1)] E(x) = (x)(3 1x). Question B Signe de F (x)= 3 5 x On transforme F (x) en un quotient : F (x) = 3 (5 x) 3 (5 x) = 5 x 5 x 5 x Calcul des racines : = 7+x 5 x. 7+x = x= 7 ; coefficient a= 5 x = x= 5 ; coefficient a=-1 5 annule le dénominateur, donc c est une valeur interdite On dresse ensuite le tableau de signes du quotient. x 7+x x + + F (x)= 7+x 5 x Question C Algorithmique Algorithme 1: Saisir N un entier : Saisir P un entier 3: Si (P < 5) 4: Alors 5: Affecter.9*P à P 6: Sinon 7: Affecter.8*P à P 8: Fin-Si 9: Affecter N*P à T 1: Si (T >= 15) 11: Alors 1: Affecter.95*T à T 13: Fin-Si 14: Afficher T Réponses aux questions ❶ À quelle règle correspond la ligne 5? Règle ❷ Compléter la ligne 1. ❸ On exécute cet algorithme pour Lulu qui veut acheter 3 jeans à 4e chacun (prix initial). Ligne 1, il faut saisir 3 pour N. Ligne, il faut saisir 4 pour P. Ligne 9, la valeur de P est égale à 36 Ligne 14, l algorithme affichera la valeur 18 ❹ On exécute cet algorithme pour Leïla qui achète vestes à 1echacune. La valeur affichée en sortie est alors : 15