Eléments de calcul matriciel

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1 Eléments de calcul matriciel Définition et propriétés des matrices Définition Une matrice (l x c) (lire l croix c) est un ensemble de l fois c nombres, réels ou complexes, regroupés sous la forme d un tableau de l lignes et c colonnes t t t c t T t t c t l t l t lc Addition de deux matrices de même dimension t t c s s c t + s t c + s c t T + S t c + s s c t + s t c + s c t l t lc s l s lc t l + s l t lc + s lc 3 Multiplication par un scalaire t t t c at at at c a T a t l t l t lc at l at l at lc 4 Produit matriciel Le produit de deux matrices n existe que si le nombre de colonnes de la matrice de gauche coïncide avec le nombre de lignes de la matrice de droite Soient T de dimension (l x n) et S de dimension (n x c) Leur produit T S R donne une matrice (l x c) t t n s s c T S t l t ln s n s nc n n t i s i t i s ic i n n t li s i t li s ic Chaque terme r i,j n est autre que le produit scalaire de la ligne i de T par la colonne j de S Par ailleurs, si l c, le produit S T existe mais, dans le cas général, il diffère du produit T S (c est déjà le cas si l c n) i i i

2 5 Transposition Transformation des lignes en colonnes et réciproquement t t t c T t t t t c t l t l t lc t t t t l t t t l t c t c t lc Attention (T S) t S t T t Matrices carrées (l c n) Il existe un élément neutre pour la multiplication, généralement noté I (ou Id) I Matrice symétrique T t T Matrice antisymétrique T t T (coefficients diagonaux nuls) Matrice hermitienne (T t ) (T ) t T T (coefficients complexes) Matrice orthogonale T t T T T t I (coefficients réels) Matrice unitaire T T T T I (coefficients complexes) Déterminants Définitions Un déterminant est un nombre qui traduit une propriété des lignes (et des colonnes) d une matrice carrée On le calcule de manière récursive, en le développant selon une ligne ou une colonne quelconque du tableau Par exemple, si on développe selon la j ème colonne det T T t t t n t t t n t n t n t nn n ( ) i j t ij mineur ij i où mineur ij désigne le déterminant d ordre n formé par le déterminant initial dont on a extrait la ligne i et la colonne j t t j t j+ t n mineur ij t i t i j t i j+ t i n t i+ t i+ j t i+ j+ t i+ n t n t n j t n j+ t nn

3 Ce calcul récursif ne nécessite plus que la définition d un déterminant d ordre, laquelle est particulièrement simple: det ( t ) t On en déduit l expression d un déterminant d ordre t t t t t t t t Par symétrie, il est clair qu une matrice carrée et sa transposée possèdent des déterminants identiques Propriétés Illustrés à l ordre, les résultats suivants se généralisent sans peine à l ordre n Multilinéarité Produit d une ligne ou d une colonne par un scalaire αt t αt t αt t αt t α t t t t α T Addition de lignes (ou de colonnes) t t + α t t + α t (t + α ) t (t + α ) t t t t + t α t α En particulier, si on ajoute la première ligne multipliée par un coefficient α à la seconde, la valeur du déterminant reste inchangée t t t + αt t + αt t t t t + α t t t t t t t t + Un déterminant dont une colonne (ou ligne) dépend linéairement des autres est nul (α, β) t β t t β t t β t + α t t β t + α t il suffit de choisir α β t β t t β t t t Produit et conséquences T S S T Introduisons la matrice α constituée du scalaire α sur sa diagonale et de partout ailleurs α α α α 3

4 α T α T α T α n T On en déduit également un résultat relatif à une permutation de lignes ou de colonnes du déterminant En effet, la permutation des lignes (resp colonnes) i et j de T peut s écrire comme le produit à gauche (resp à droite) par la matrice de permutation I i Q ij I j i I n j où I n désigne la matrice identité de dimension (n x n) Quelles que soient les lignes i et j, le déterminant de cette matrice vaut ( ), si bien que Q ij T Q ij T T Inversion d une matrice carrée Définition Lorsqu elle existe, l inverse de la matrice T, que l on note T, satisfait T T T T I Son déterminant diffère nécessairement de puisque T T T T I T T C est à dire que les matrices singulières (de déterminant nul) ne sont pas inversibles, contrairement aux matrices régulières, dont le déterminant est différent de Calcul La matrice inverse de T est une nouvelle matrice (n x n), dont les termes de ligne i et de colonne j sont les mineurs ij de la matrice transposée T t, affectés du coefficient ( )i j det T Le calcul d une matrice inverse se fait donc en trois étapes calcul du déterminant T transposition de la matrice initiale calcul des cofacteurs relatifs à T t T dett mineur mineur ( ) n mineur n mineur mineur ( ) n mineur n ( ) n mineur n ( ) n mineur n mineur nn 4

5 3 Changement de base orthonormée Soient ( u, u,, u n ) et ( v, v,, v n ) deux bases d un espace de dimension n Soit P la matrice qui traduit le passage de la base des u i à celle des v i Les vecteurs v i étant linéairement indépendants, cette matrice est nécessairement inversible v u v P u v n u n u u P u n Tout vecteur x de l espace se décompose de façon unique sur chaque base v v v n x x u + x u + + x n u n y v + y v + + y n v n Soit, en remplaçant les nouveaux vecteurs en fonction des anciens x p y + p y + +p n y n x p y + p y + +p n y n x n p n y + p n y + +p nn y n Ce qui s écrit à son tour sous forme matricielle x x x n P t y y y n y y y n (P t ) x x x n La matrice P t est parfois appelée matrice de passage 4 Matrices orthogonales Si les deux bases { u i } et { v i } sont orthonormées, la matrice de passage P t est orthogonale P P t I P P t P Les matrices A et B (P ) t A P t P t A P t sont qualifiées de semblables 5 Diagonalisation La diagonalisation d une matrice carrée A consiste en la recherche d une matrice de passage P t telle que la matrice semblable D (P ) t A P t prenne une forme diagonale Il faut déterminer les couples (λ k, v k ) satisfaisant l équation A v k λ k v k (A λ k I) v k () Cette équation n admet de solution autre que le vecteur nul, qu à la condition que la matrice figurant dans le premier membre ne soit pas inversible, donc de déterminant nul A λi La matrice carrée étant d ordre n, le déterminant précédent n est autre qu un polynôme de degré n en λ C est le polynôme caractéristique de A 5

6 Ses racines λ q sont les valeurs propres de A Il en existe r distinctes (avec r n), selon l ordre k q de ces racines ainsi que le corps dans lequel sont effectués les calculs (R ou C) Les racines de degré du polynôme caractéristique constituent les valeurs propres simples, tandis que les autres sont qualifiées de multiples Lorsque le polynôme caractéristique de la matrice A admet n valeurs propres simples, la matrice est diagonalisable Sinon, on peut toujours trouver un changement de base tel que la matrice semblable prenne une forme quasi-diagonale J k (λ ) J k (λ ) B J kr (λ r ) où les matrices J kq (λ q ) sont carrées, de dimension (k q x k q ), constituées du scalaire λ q sur la diagonale, de ou de sous la diagonale et de partout ailleurs λ q λ q J kq (λ q ) λ q λ q avec q [, r] k q n et r q k q n Dans le cas particulier où la dimension k q vaut, la matrice correspondante J kq se restreint au scalaire λ q Cette représentation englobe donc le cas idéal où il existe n valeurs propres simples 5 Valeur propre simple Si λ q est une racine simple du polynôme caractéristique, le système linéaire () est de rang n, si bien qu il possède une infinité de solutions dépendant d un seul paramètre Soit v q une solution particulière Elle définit le vecteur propre associé à la valeur propre λ q Les autres solutions s en déduisent par un simple coefficient En effet α R A (α v q ) α (A v q ) α (λ q v q ) λ q (α v q ) L ensemble des vecteurs propres associés à une valeur propre d ordre constitue donc une droite, c est à dire un sous-espace vectoriel de dimension Par ailleurs, on montre que les vecteurs propres associés à deux valeurs propres simples distinctes sont libres (linéairement indépendants) 5 Valeur propre multiple Soit λ q une racine multiple d ordre k q du polynôme caractéristique ( < k q n) Il peut y avoir k q vecteurs propres linéairement indépendants qui lui sont associés, mais ce n est pas une règle générale Par contre, il existe un sous-espace vectoriel de dimension k q stable par f, au sein duquel les vecteurs subissent une homothétie et une rotation 6

7 6 Matrices hermitiennes Considérons une matrice hermitienne A A d ordre n, que l on peut toujours particulariser au cas réel (matrice symétrique) Le polynôme caractéristique d une telle matrice n admet que des racines réelles, si bien que cette matrice est toujours diagonalisable 6 Valeurs propres et vecteurs propres Considérons un vecteur w quelconque à coefficients complexes w w w n w ( w w n ) Quelle que soit la matrice hermitienne A, le nombre w A w est réel En particulier pour le vecteur propre v k de A, associé à la valeur propre λ k v k A v k v k λ k v k λ k v k R Toutes les valeurs propres λ k d une matrice hermitienne sont réelles, qu elles soient simples ou multiples La matrice est donc diagonalisable et possède n vecteurs propres 6 Base orthonormée des vecteurs propres Les vecteurs propres v k et v j respectivement associés à deux valeurs propres distinctes λ k et λ j d une matrice hermitienne A sont orthogonaux Normés, ces vecteurs propres forment la matrice de changement de base P t pour laquelle la matrice semblable est diagonale Toute matrice hermitienne A possédant n vecteurs propres orthonormés v k, respectivement associés aux valeurs propres réelles λ k, peut se décomposer en la somme de matrices élémentaires, construites chacune à partir de ces vecteurs A n k λ k v k v k 63 Positivité Une matrice A dont les valeurs propres sont toutes positives (respectivement négatives) est dite positive ou non négative (resp négative ou non positive) Une matrice A dont les valeurs propres sont toutes strictement positives (resp négatives) est dite définie positive (resp définie négative) 3 Décomposition en valeurs singulières d une matrice quelconque Toute matrice A de dimension (l x c) peut se factoriser sous la forme où A U S V t U désigne une matrice (l x l) orthogonale (c est à dire que ses colonnes forment une base orthonormée de R l : U U t U t U I l, matrice identité (l x l)), 7

8 V représente une matrice (c x c) orthogonale (V V t I c V t V ), S constitue une matrice (l x c) quasi-diagonale (tous ses éléments sont nuls, à l exception de s, s,, s pp, où p est égal au plus petit des deux entiers l et c) La tradition veut que ces p nombres, positifs ou nuls, soient rangés par valeurs décroissantes s s s pp Par exemple, pour l < c s s S s ll La décomposition en valeurs singulières d une matrice quelconque A n est pas unique, mais les diverses solutions se déduisent facilement les unes des autres 8

9 4 Exemples 4 Inversion d une matrice carrée T calcul du déterminant en développant selon la dernière ligne + transposition de la matrice à inverser T t calcul des 3 cofacteurs, c est à dire les 9 déterminants mineurs de T t mineur mineur 3 mineur mineur 3 mineur 33 mineur mineur mineur 3 mineur 3 d où la matrice inverse, en tenant compte des termes ( ) i j T / / / / vérifications T T T T I et det T det T 4 Diagonalisation d une matrice symétrique A Calculons son polynôme caractéristique en développant par rapport à la première colonne λ λ ( λ) λ λ λ λ + λ ( λ)[( λ) ] ( λ + ) + ( + λ) ( λ) 3 ( λ) ( λ) + (λ ) 9

10 3λ + 3λ λ λ 4 + 3λ λ 3 dont une racine évidente est (λ + ) (λ 4λ + 4) par division euclidienne (λ + ) (λ ) Cette matrice possède donc deux valeurs propres réelles: une simple (λ ) et une double (λ ) Recherchons un vecteur propre v associé à la valeur propre simple (λ ) Celui-ci est solution du système linéaire A v λ v x + x + x 3 x x + x x 3 x x x + x 3 x 3 x 3 x + x x 3 x x + x 3 x 3 x + x + x + x x x 4x x x 3 x x x x x x x x x x Comme prévu, ce système est de rang et admet donc pour solution une droite vectorielle engendrée par exemple par le vecteur normé v 3 () La valeur propre double (λ ) se traite de manière analogue On cherche v solution de A v λ v x + x + x 3 x x + x x 3 x x x + x 3 x 3 x x x 3 x x x 3 x x x 3 x + x 3 x x 3 x x x + x 3 x + x 3 x 3 x + x 3 x x + x 3 x x 3 (3)

11 Ce système est de rang et admet donc un plan comme solution Le vecteur v précédemment identifié n appartient évidemment pas à ce plan On peut choisir deux vecteurs orthonormés dans ce plan, qui satisfont tous deux l équation A v λ v Par exemple v et v 3 6 La matrice A correspond à une certaine application linéaire f exprimée dans le repère (O, i, j, k) Dans le repère (O, v, v, v 3 ) cette même application se traduit par la matrice diagonale D On vérifie sans difficulté que le déterminant de A est égal à celui de D, donné par le produit des valeurs propres élevées à la puissance de leur ordre A D λ λ 4 43 Diagonalisation d une matrice quelconque cos a cos a sin a A sin a sin a cos a où le paramètre réel a ], π [ (cos a > et sin a > ) Calculons son polynôme caractéristique, en développant par rapport à la deuxième ligne cos a λ cos a sin a λ λ sin a sin a cos a λ cos a λ cos a sin a ( λ) λ sin a sin a cos a λ ( λ) ( λ) cos a λ sin a sin a cos a λ λ ( λ) [(cos a λ) + (sin a) ] λ ( λ) (λ cos a i sin a) (λ cos a + i sin a) Si on se restreint au corps des réels, cette matrice ne possède que deux valeurs propres simples λ et λ, auxquelles sont associés deux sous-espaces vectoriels de dimension, engendrés par les vecteurs solutions de A v v (4) et A w (5)

12 Résolvons le premier système linéaire (4) cos a v + v cos a v 3 sin a v 4 v v sin a v sin a v 3 + cos a v 4 v (cos a ) + v ( cos a) v 4 sin a v v sin a v sin a + v 4 (cos a ) v v v v v v v v 3 v 4 v 3 sin a cos a v 4 v 3 cos a sin a v 4 Les première et troisième équations de ce système ne sont satisfaites conjointement que si ou bien sin a cos a cos a sin a v v v 4 La première condition étant impossible à réaliser, il ne reste que la seconde Le vecteur propre associé à la valeur propre simple λ peut donc s écrire v Résolvons maintenant le second système linéaire (5) cos a w + w cos a w 3 sin a w 4 w w sin a w sin a w 3 + cos a w 4 w cos a w 3 cos a w 4 sin a w w sin a w 3 sin a + w 4 cos a w w 3 w w w 3 sin a cos a w 4 cos a sin a w 4 De nouveau, les première et troisième équations de ce système ne sont satisfaites conjointement que si w w 3 w 4 Le vecteur propre associé à la valeur propre simple λ peut donc s écrire w (6) (7)

13 Ensuite, faute de valeurs propres réelles, il est impossible d achever la diagonalisation Poursuivons cependant les calculs dans le corps des complexes Nous sommes amenés à rechercher deux vecteurs propres associés aux deux valeurs propres λ cos a + i sin a et λ cos a i sin a Identifions donc le vecteur solution de A u (cos a + i sin a) u On en déduit, par exemple, cos a u + u cos a u 3 sin a u 4 u u sin a u sin a u 3 + cos a u 4 u cos a u 3 sin a u 4 u u sin a (u u 3 ) u 4 u u 3 u u i (cos a + i sin a) u (cos a + i sin a) u (cos a + i sin a) u 3 (cos a + i sin a) u 4 i sin a u u 3 i sin a u 4 iu i u 4 Enfin, soit s un vecteur propre associé à la valeur propre λ cos a i sin a (8) A s (cos a i sin a) s cos a s + s cos a s 3 sin a s 4 s s sin a s sin a s 3 + cos a s 4 (cos a i sin a) s (cos a i sin a) s (cos a i sin a) s 3 (cos a i sin a) s 4 s cos a s 3 sin a s 4 s s sin a (s s 3 ) i sin a s s 3 i sin a s 4 (9) On en déduit, par exemple, s 4 s s 3 s s i is i s 4 3

14 On voit alors que le sous-espace vectoriel engendré par ces deux vecteurs u et s est également engendré par les vecteurs réels u et s Ce sous-espace est bien stable par la matrice A puisque celle-ci traduit simplement une rotation de a dans ce plan En effet, tout élément de ce sous-espace s écrit r α u + α s On vérifie aisément que le produit A r appartient toujours à ce sous-espace A r cos a cos a sin a sin a sin a cos a (α + α ) cos a (α α ) sin a (α + α ) sin a + (α α ) cos a α + α α α (α cos a + α sin a) u + ( α sin a + α cos a ) s () Ensuite, si on note P t la matrice de passage formée par la concaténation des vecteurs colonnes v w u s, on vérifie que la matrice semblable P t A P t est presque diagonale P t A P t cos a sin a sin a cos a Signalons enfin que, puisque l une des valeurs propres de A est nulle, son déterminant lui-même est nul Cette matrice est donc singulière Cela signifie qu elle possède un noyau, à savoir un sous-espace vectoriel dont l image par A donne le vecteur nul Ce noyau n est autre que le sous-espace vectoriel engendré par le(s) vecteur(s) propre(s) associé(s) à la valeur propre nulle Dans le cas présent, la valeur propre nulle λ est d ordre, si bien que le noyau de A est la droite engendrée par w 4