TS Devoir surveillé N 5 lundi 14/03/2016

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1 S Devoir surveillé N 5 lundi 4/3/6 No et Préno :.. Exercice : L oscilloscope (6,5 points) Un oscilloscope peret de esurer la tension électrique U grâce à la déviation d un faisceau d électrons. Quel est le principe de cette esure? Principe de l oscilloscope Le tube électronique est une enceinte où règne un vide poussé. Les électrons, accélérés dans un canon à électrons, pénètrent en O avec une vitesse v de direction horizontale entre les deux plaques horizontales P et P d un condensateur plan. On ipose entre les deux plaques une tension U qui dévie le faisceau d électrons vers le haut. Les électrons sortent du condensateur au point S. Après le point S, les électrons ont un ouveent que l on peut considérer coe rectiligne unifore. Ils frappent l écran au point A en forant un spot luineux. Données : Charge éléentaire : e =,6. -9 C Masse de l électron : e = 9,. -3 kg Vitesse initiale : v =,5. 7.s - Longueur des plaques : l = 5, c Distance entre les plaques : d = 4, c Distance à l écran : L = 7, c Dans cet exercice, on ne tiendra pas copte du poids de l électron. / On suppose que le chap E est unifore entre les plaques P et P. Déteriner les caractéristiques suivantes : a) la direction et le sens du chap E entre les plaques. b) la direction, le sens et l expression littérale de l accélération chap a en fonction de e, E et. c) les coordonnées a x et a y du vecteur accélération. / a) Montrer que l équation de la trajectoire des électrons entre les plaques P et P est : qe y x v b) Quelle est la nature de la trajectoire? c) Déteriner l expression de la déviation y S en fonction de e,, U, d (distance entre les plaques) et l (longueur des plaques). Vérifier que y S = k x U. L 3/ On ontre que y A = y S x a) Etablir l expression de y A en fonction de U. b) Qu observe-t-on sur l écran si U diinue sans changer de signe? Si U change de signe?,75,75,5,5,5,5

2 Exercice : Perforance d une athlète (7,5 points) Originaire d anciennes pratiques celtes, le lancer du arteau est une discipline de l'athlétise qui consiste à lancer le plus loin possible un boulet auquel est fixé un câble en acier uni d une poignée. À cette fin, l athlète fait d'abord prendre de la vitesse à son arteau en tournant sur lui-êe (voir schéa ci-contre) sans sortir d un cercle de lanceent. Le arteau est ensuite lâché avant d atterrir sur le sol. I - Étude du ouveent du boulet avant le lâcher du arteau par l athlète D après le site Pour siplifier l étude, on suppose que l athlète tourne sur elle-êe autour d un axe iobile vertical et que son bras est toujours tendu. Dans le référentiel terrestre, le ouveent du boulet est alors supposé plan et circulaire, accéléré dans un preier teps puis unifore dans un deuxièe teps. / A partir de la définition du vecteur accélération, justifier qualitativeent l existence d une accélération lors d un ouveent circulaire.,75 /En appliquant la seconde loi de Newton, justifier le fait que, dans le cas du ouveent circulaire unifore, le poids du boulet soit négligeable devant la force exercée par le câble sur le boulet. La vitesse v est égale à 6.s -, l intensité de la pesanteur g à 9,8.s - et le candidat proposera une valeur pour le rayon de la trajectoire.,75 II - Étude du ouveent du boulet après le lâcher du arteau par l athlète Données : - le boulet du arteau est assiilé à un point atériel de asse = 4, kg ; - on négligera toute action de l air ; - intensité de la pesanteur : g = 9,8.s - ; - vitesse initiale du boulet : v = 6.s - ; - angle d envol : = 45 ; - hauteur du boulet au oent du lâcher : h = 3,. Pour cette étude, on associe au référentiel terrestre le repère (Ox, Oy), Oy étant dirigé suivant la verticale ascendante. On négligera dans cette partie les actions du câble et de la poignée du arteau. La trajectoire décrite par le boulet dépend de la valeur v de la vitesse du boulet au oent de l envol, de l angle d envol α et de la hauteur h du boulet au oent du lâcher à l instant initial (t = ) (On se référera au schéa ci-contre). Les Jeux Olypiques de Londres Les résultats de la finale féinine pour le lancer de arteau aux jeux Olypiques de Londres en sont regroupés dans le tableau suivant. Préno No Lancer en Classeent atyana Lysenko 78,8 Anita Wlodarczyk 77,6 Betty Heidler 77, 3 Wenxiu Zhang 76,34 4 Kathrin Klaas 76,5 5 Yipsi Moreno 74,6 6 Aksana Miankova 74,4 7 Zalina Marghieva 74,6 8 Stephanie Falzon 73,6 9 Joanna Fiodorow 7,37 Mariya Bespalova 7,3 Sophie Hitchon 69,33

3 / Montrer que les équations horaires du ouveent du boulet s écrivent : x(t) = v cos(α) t et y(t) = - g t² + v sin(α) t + h 3 / Montrer que la trajectoire du boulet s écrit : gx y tan( ). x h v cos ( ) 3/ En utilisant les données nuériques relatives au lancé, déteriner le classeent que l athlète aurait obtenu aux Jeux Olypiques de Londres de. Détailler les étapes du raisonneent. Exercice 3 : Étude du ouveent du satellite IBUKI (6,5 points) Le début de l année 9 a arqué le début d une ère nouvelle dans l étude du changeent cliatique, avec le lanceent par les japonais du preier satellite du onde consacré à l observation des gaz de l atosphère terrestre qui contribuent au réchauffeent cliatique. Le satellite appelé IBUKI, ce qui signifie «souffle» en japonais, est équipé de capteurs de haute précision qui peuvent sonder environ 56 points sur la planète. L agence spatiale japonaise a décidé de diffuser gratuiteent les données du satellite aux scientifiques du onde entier. Elles seront utilisées notaent pour étudier des odèles du cycle du carbone actuelleent utilisés pour tenter non seuleent de reconstituer les flux entre les différents réservoirs (sols, air, eau, biosphère) ais aussi pour tenter de reconstituer les flux d éissions anthropiques. D après Le satellite IBUKI Pour réaliser ces esures, le satellite IBUKI tourne autour de la erre suivant une trajectoire circulaire qui passe au-dessus des pôles à l altitude z = 667 k. Pour régler les appareils de esure, il a fallu déteriner la durée entre deux passages successifs du satellite au-dessus de l un des pôles. Données : rayon de la erre : = 6,38 3 k ; asse de la erre : M = 5,98 4 kg ; asse du satellite IBUKI : S =,75 3 kg ; constante de gravitation universelle : G = 6,67 N.².kg - ; expression de l intensité de la force d interaction gravitationnelle F entre deux corps de ase M A et M B, de centres A et B, distants de d = AB : F =. G M M d. A B le ouveent du satellite est considéré coe circulaire unifore ; la valeur a de l accélération d un satellite, en ouveent circulaire unifore, de vitesse orbitale v autour d un astre, sur une orbite de rayon r, a pour expression : a = ; v r.

4 / En justifiant la réponse, choisir pari les schéas ci-dessous, celui qui correspond à un ouveent circulaire accéléré puis celui qui correspond à un ouveent circulaire unifore. Sur chaque schéa, les vecteurs vitesse v et accélération a sont représentés en un point de la trajectoire du satellite en vue de dessus. / Exprier vectorielleent la force F d interaction gravitationnelle exercée par la erre sur le satellite IBUKI supposé ponctuel.,5 3/ eprésenter sans souci d échelle sur un schéa : la erre, le satellite IBUKI et la force F d interaction gravitationnelle exercée par la erre sur le satellite IBUKI supposé ponctuel. 4/ En appliquant la deuxièe loi de Newton, exprier la période de rotation du satellite autour de la erre en fonction de, z, et M en détaillant les étapes. 5/ Enoncer les 3 lois de Képler.,75,5,5

5 Correction du DS 5 Exercice : L oscilloscope. Le systèe que l on étudie est l électron entre les plaques P et P. a a/ Dans le chap électrique, l électron est souis à une force électrique F - e E - e D après la deuxièe loi de Newton, l accélération de l électron est telle que F, soit : a E Le chap E est orthogonal aux plaques. b/ La particule est déviée vers le haut, cela signifie que F est orientée vers le haut. a est dans le êe sens que F. D après la relation vectorielle a - e E, le vecteur E est de sens opposé à a et va donc de P vers P. c/ Les coordonnées de a sont alors a x = et a y = e E en tenant copte du repère donné.. a/ Pour établir l équation de la trajectoire, on établit dans un preier teps les coordonnées du vecteur vitesse de l électron puis les coordonnées du vecteur position. On en déduit : a(t) a x = a y = v(t) e E v = y v x = v x = v car v horizontale e E.t car v y = y = OG x = v t car x = () (t) e E.t car y = () D après l équation () : t = x/v En reportant dans l équation (), on obtient l équation de la trajectoire de l électron : y ee v x b/ Entre O et S, la trajectoire est une courbe d équation de la fore y = A x² c est donc une portion de parabole. c/ x S = et y S = avec E = U/d donc y S = soit y S = k x U 3.a/ y A = b/ Si U diinue alors y A diinue. c/ Si U change de signe alors la déviation y A est vers le bas.

6 Exercice : Perforance d une athlète I / Par définition dv a, or au cours d un ouveent circulaire le vecteur vitesse v voit sa direction dv changer continuelleent ainsi et il existe un vecteur accélération. / D après la seconde loi de Newton appliquée au boulet dans le référentiel terrestre supposé galiléen, on a F. a. Soit P F =. a où F est la force exercée par le câble sur le boulet. ext F et a sont visibleent dans le êe plan (pas forcéent horizontal), c est donc que P On peut négliger le poids face à la force du câble. F = F ainsi F >> P. La deuxièe loi de Newton donne alors F =. a en supposant le ouveent circulaire et unifore alors a = et on obtient alors F =. v² exercée par le câble, exprions le rapport F P. :. Pour confirer que le poids est négligeable devant la force F P = v ². v ². g g. En observant le dessin du lanceur de arteau, on constate que le rayon a une longueur supérieure à deux bras, F soit entre et 3. Posons =,5. P = 6² = 8 9,8,5 Alors F = 8.P, on confire que le poids est négligeable devant la force exercée par le câble. v² II / On étudie le systèe {boulet}, de asse constante, dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Les actions dues à l air étant négligées, le boulet n est souis qu à son poids, P La deuxièe loi de Newton appliquée au boulet donne : d où : F ext dp Or = cte alors d Soit P.a g a a g. d(.v) d dv.v. En projection dans le repère On a : a dv soit = donc dp.a O, i, j, il vient : dv x ax a dv y ay g donc ax a a y g vx C v v g t C y.g. où C et C sont des constantes d intégration qui dépendent des conditions initiales. g Or v(t ) v avec v v v v.cos x v.sin y donc C v.cos C v.sin vx v.cos v v y g t v.sin

7 Et : v dom soit dx v.cos v dy g t v.sin où C et C sont des constantes d intégration. donc x(t) v.cos.t C' OM y(t) g t v.sin. t C' Or x OM(t ) y h Finaleent : donc x(t) v.cos.t OM C' C' h y(t) gt v.sin.t h / t = x / (V x cos) donc l équation de la trajectoire est : gx y tan( ). x h v cos ( ) 3/ Il faut déteriner l abscisse du boulet lorsqu il touche le sol, soit résoudre gx y tan( ). x h v cos ( ) 9,8x 6² cos (45) tan(45). x 3, Polynôe du second degré du type ax² + bx+ c = Δ = b² 4.a.c = ² (4 (, ) 3,) =,7396 Solutions : x = x =,7 (,4497 ) b et x = a = Avec α = 45, v = 6.s -, h = 3,, g = 9,8.s - b a =,9 et x = =, x² + x +3, =,7 (,4497 ) = 7,86 On ne retient que la solution positive, et avec deux chiffres significatifs x = 7. À l aide du tableau, on en déduit que l athlète serait classée à la èe place juste derrière Joanna Fiodorow qui a lancé le arteau à 7,37. Exercice 3 : Étude du ouveent du satellite IBUKI / Dans le cas d un ouveent circulaire, le vecteur accélération est centripète (qui tend vers le centre), ainsi on éliine le schéa 4. Utilisons la base de Frenet pour définir l accélération dans le cas d un ouveent circulaire : dv v² Si le ouveent est accéléré alors dv ainsi la coordonnée a du vecteur accélération suivant le vecteur unitaire >, est positive et a est orienté dans le sens de rotation. Cette situation correspond au schéa 3. Pour que le ouveent soit circulaire unifore, il faut que le vecteur accélération soit radial (porté par le rayon du cercle car a = dv a n. ) et centripète. Cette situation est visible sur le schéa. n a a

8 / F = G M. S (z ) x 3/ F force d interaction gravitationnelle exercée par la erre sur le satellite IBUKI. S : satellite : erre 4/ Dans le référentiel géocentrique supposé galiléen, on applique la èe loi de Newton au systèe {satellite} : F = S.a La force F et l accélération a ont êe sens (centripète) et êe direction (radiale), M. S donc F = S.a soit G. = S.a (z ) ainsi a = G. M (z ) Le ouveent du satellite est circulaire unifore sur l orbite de rayon +z donc a = En égalant les deux expressions de l accélération, on a : D où v² = G.M (z ) v = G.M (z ) () v² (z ) = G. M (z ) v² (z ) Pendant une période, le satellite parcourt son orbite de longueur π(z+ ) à la vitesse v,.(z ) donc =. () v Dans l expression (), on replace v par son expression (), on obtient : = 3 ² =.(z ).(z ) G.M G.M (z ) finaleent on obtient = = (z ) G.M ((667 6,38 ) ) 4 6,67 5, = 5,89 3 s.(z ) G.M (z ) = 98 in = h 38 in 5/ Lois de Képler : voir cours.