Chapitre 1 - Repérage et configurations du plan

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1 nde hapitre 1 - Repérage et configurations du plan hapitre 1 - Repérage et configurations du plan ctivités d approche 1. (a) Deux points et ont pour abscisses 7 3 et. alculer la distance. et sur une droite graduée d origine. Placer (b) Lire graphiquement : les coordonnées de, l ordonnée de D, l abscisse de E. E y D x. alculer (sans calculatrice) : (a) (6 3) (b) 6 3 (c) (d) 3 (e) 5 4 (f) (3 ) 3. (a) Reconnaître ces configurations particulières. Donner les hypothèses et la (ou les) conclusion(s) que l on peut en tirer. (b) Quelle est la nature du triangle : i. si appartient à la médiatrice de []? ii. si = 1 cm, = 9 cm, = 15 cm? -1-

2 nde hapitre 1 - Repérage et configurations du plan I Rappels I.1 Les triangles I.1.1 Droites remarquables dans un triangle Définition 1 La médiatrice d un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui perpendiculaire à ce segment. La médiatrice d un segment est l axe de symétrie de ce segment. La médiatrice du segment [] est l ensemble des points M équidistants de et de (c est à dire tels que M = M). Les médiatrices des côtés d un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit à ce triangle. --

3 nde hapitre 1 - Repérage et configurations du plan Définition La bissectrice d un angle est la demi-droite qui partage l angle en deux angles adjacents de même mesure. Tout point de la bissectrice de l angle est équidistant des côtés () et (). Les bissectrices des trois angles d un triangle sont concourantes en un point I qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle. I Définition 3 Dans un triangle la médiane issue du sommet est la droite passant par et par le milieu I du côté opposé []. // // I -3-

4 nde hapitre 1 - Repérage et configurations du plan Définition 4 La hauteur issue du sommet du triangle est la perpendiculaire à () passant par. I.1. Proportionnalité dans le triangle. Théorème de Thalès Théorème (de Thalès : 67 et 547),, sont trois points du plan non alignés, M et N appartiennent respectivement aux droites () et (). Si les droites () et (MN) sont parallèles alors M = N = MN. Si M = et si les points,, M et,, N sont alignés dans le même ordre alors les N droites () et (MN) sont parallèles. N M M N Théorème (des milieux) n se place dans un triangle quelconque. La droite passant par les milieux de deux des côtés est parallèle au troisième côté Si une droite passe par le milieu d un premier côté et est parallèle au second côté alors elle passe par le milieu du troisième côté. -4-

5 nde hapitre 1 - Repérage et configurations du plan E on a : D milieu de [] E milieu de [] D alors : (DE) () et DE = 1 I.1.3 Triangle rectangle Définition 5 Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit. Théorème (de Pythagore : 580, 500) Si le triangle est rectangle en alors = +. K Le centre du cercle circonscrit au triangle est le milieu de [] on a : K = K = K cos côté adjacent = hypoténuse = sin côté opposé = hypoténuse = tan côté opposé = côté adjacent = -5-

6 nde hapitre 1 - Repérage et configurations du plan I.1.4 Triangle isocèle Définition 6 Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de la même longueur. K Si est un triangle isocèle en alors : La médiane issue de est aussi médiatrice de [], hauteur issue de, bissectrice de Â. ette droite est un axe de symétrie du triangle donc = Ĉ. I.1.5 Triangle équilatéral Définition 7 Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de la même longueur. Si est équilatéral alors : Les médianes sont aussi hauteurs, médiatrices, bissectrices des angles et axes de symétrie du triangle. Â = = Ĉ =

7 nde hapitre 1 - Repérage et configurations du plan I. Le cercle Définition 8 Le cercle de centre et de rayon r (r > 0) est l ensemble des points M du plan tels que M = r. I.3 Le parallélogramme Définition 9 Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés sont parallèles deux à deux. D Si D est un parallélogramme alors : Les diagonales ont le même milieu. e milieu est le centre de symétrie du parallélogramme. D a ses côtés opposés de même longueur et ses angles opposé de même longueur. I.4 Rectangle, losange, carré I.4.1 Rectangle Définition 10 Un rectangle est quadrilatère qui a quatre angles droits. D -7-

8 nde hapitre 1 - Repérage et configurations du plan Si D est un rectangle alors : D est un parallélogramme (donc il en a toutes les propriétés). Ses diagonales ont la même longueur. I.4. Losange Définition 11 Un losange est un quadrilatère qui a ses côtés de la même longueur. D Si D est un losange alors : D est un parallélogramme. Ses diagonales sont perpendiculaires. I.4.3 arré Définition 1 Un carré est un quadrilatère qui a ses côtés de la même longueur et quatre angles droits. Un carré est à la fois un rectangle et un losange (donc il a les mêmes propriétés). -8-

9 nde hapitre 1 - Repérage et configurations du plan II oordonnées dans le plan Définition 13 Définir un repère du plan, c est choisir 3 points non alignés dans un ordre précis :, I, J. n note ce repère (, I, J), et : le point est l origine du repère ; la droite (I) est l axe des abscisses et le point I donne l unité sur cet axe ; la droite (J) est l axe des ordonnées et le point J donne l unité sur cet axe. Remarque L axe des abscisses est souvent horizontal mais ce n est pas une obligation. Si le triangle IJ est rectangle en alors le repère (, I, J) est dit orthogonal. Les axes du repère sont perpendiculaires. Si le triangle IJ est rectangle et isocèle en alors le repère (, I, J) est dit orthonormé. Les axes du repère sont perpendiculaires et l unité est la même sur les deux axes. Définition 14 n considère un repère (, I, J) du plan et un point quelconque M. En traçant la parallèle à la droite (J) passant par M, on obtient sur l axe (I) l abscisse x M du point M. En traçant la parallèle à la droite (I) passant par M, on obtient sur l axe (J) l ordonnée y M du point M. Le couple de réels (x M ; y M ) est le couple des coordonnées du point M dans le repère (, I, J). y M M J I x M -9-

10 nde hapitre 1 - Repérage et configurations du plan III alcul de distances dans un repère orthonormé TD : n considère le plan muni d un repère orthonormé (, I, J). 1. Placer les points (; 5) et (6; ).. Tracer la droite parallèle à (J) passant par le point et la droite parallèle à (I) passant par le point. Elles se coupent en. 3. Déterminer la longueur et la longueur. 4. Déterminer la nature du triangle. En déduire la longueur. n considère dans le plan muni d un repère orthonormé (, I, J) les points (x ; y ) et (x ; y ). La distance entre les points et est : = (x x ) + (y y ) l unité de longueur étant l unité commune aux deux axes. Remarque Dans la formule ci-dessus (x x ) peut être remplacé par (x x ), car les nombres x x et x x sont opposés et ont par conséquent le même carré. De même pour le terme en y. Démonstration : n raisonne dans le cas x < x et y > y. n place le point ayant même abscisse que et même ordonnée que. Les axes du repère étant perpendiculaires, le triangle est rectangle en. y J x I x y D après le théorème de Pythagore, = +. r = x x et = y y. D où : = (x x ) + (y y ). Une distance étant positive, on obtient : = (x x ) + (y y ). -10-

11 nde hapitre 1 - Repérage et configurations du plan lgorithme : calcul de distance entre deux points Variables : x, y, x, y, d sont cinq nombres réels Initialisation, entrées : Saisir x Saisir y Saisir x Saisir y Traitement : d prend la valeur (x x ) + (y y ) Sortie : fficher la valeur de d IV oordonnées du milieu d un segment TD : Le plan est muni d un repère. n donne les coordonnées des points et dans le tableau ci-dessous. K est le milieu du segment []. cas n 1 cas n cas n 3 cas n 4 ( ; 0) (- ; 1) (-6 ; -4) (1,5 ; 4) (4 ; 6) ( ; -3) (10 ; -3) ( ; 3) K 1. Placer et puis K et compléter le tableau.. Proposer une formule qui permet de calculer l abscisse de K à partir de celles de et. Et pour l ordonnée de K? (dmise) n considère dans le plan muni d un repère (, I, J) les points (x ; y ) et (x ; y ). lors le milieu du segment [] a pour coordonnées ( x + x ; y + y ). lgorithme : calcul des coordonnées du milieu d un segment Variables : x, y, x, y, x, y sont six nombres réels Initialisation, entrées : Saisir x Saisir y Saisir x Saisir y Traitement : x prend la valeur x + x y prend la valeur y + y Sortie : fficher la valeur de x fficher la valeur de y -11-