Chapitre 5. Les développements limités

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1 Chapitre 5 Les développements ités Soit f une fonction numérique réelle définie sur un voisinage de x 0, dérivable en x 0 ; localement, son graphe diffère peu de sa tangente au point (x 0 f(x 0 )) et l on peut écrire, pour u petit : f(x 0 + u) f(x 0 ) + uf (x 0 ). Le second membre est donc un polynôme du er degré en u appelé linéarisation de la fonction f en x 0 : par exemple, la linéarisation de sin x en x 0 = 0 est L(x) = x ; toujours en 0 celle de est L(x) = + x. x Plus généralement, une fonction numérique f définie sur un voisinage de x 0 étant donnée, on se propose de déterminer, avec une précision fixée, le polynôme qui approche le mieux cette fonction dans ce voisinage ; en effet les polynômes sont les fonctions les plus simples et on peut calculer leurs valeurs exactes. Le point de départ de ce développement est le Théorème des accroissements finis : Soit f une fonction réelle continue sur [a b] et dérivable sur ]a b[. Alors il existe au moins une valeur ξ ]a b[ telle que f(b) f(a) = (b a)f (ξ). Autrement dit au point (ξ f(ξ)) la tangente au graphe de f est parallèle à la corde. A. Considérons d abord le cas où f est elle même une fonction polynôme P de degré n : P (x) = a 0 + a x + + a n x n On a : P (0) = a 0 P (0) = a P (0) = a P (n) (0) = n a n soit en remplacer a 0 a... a n par leur valeur dans P (x) : ) P (x) = P (0) + P (0)x + P (0) x + + P (n) (0) xn n 3

2 Cette égalité est appelée formule de Taylor Brook Taylor ), à l ordre n, en zéro, pour la fonction polynôme P de degré n. B. Considérons maintenant le cas où f est une fonction n fois dérivable sur un intervalle ouvert I contenant 0. Pour x I soit P n la fonction polynôme construite à partir de f : Nous observons que : P n (x) = f(0) + f (0)x + f (0) x + + f (n) (0) xn n P n (0) = f(0) P n (0) = f (0)... P (n) n (0) = f (n) (0). Les fonctions P n et f, ainsi que leurs dérivées, sont égales jusqu à l ordre n en x = 0. Appliquons alors le théorème des accroissements finis n fois successivement à la différence f(x) P n (x) ; on obtient : x n f(x) = f(0) + f (0)x + f (0) x + + f (n ) (0) (n ) + f (n) (ξ) xn n Cette formule de Taylor obtenue en x o = 0 est aussi appelée formule de Maclaurin pour f à l ordre n. Colin Maclaurin ) En d autres termes, au voisinage de 0 le comportement de f est très proche de celui de la fonction polynôme P n qui lui est associée. De façon plus précise : Théorème. Soit f une fonction réelle définie et dérivable n fois sur [0 x] et telle que f (n) (ξ) < M pour tout ξ [0 x]. Alors, f(x) f(0) xn (n ) f (n ) (0) xn n M L erreur absolue commise en prenant la partie polynomiale pour valeur approchée de f(x) est inférieure à xn n M. Exemple. f(x) = x = + x + x + x3 3 f (3) (ξ) avec ξ I = [0 0.] Majorons f (3) (ξ) sup x I 6 (x ) = qui donne f(x) P (x) < donc 0. = à.0 3 près ou encore = 0.0 ±

3 C. Si de plus f (n) est continue en 0, il existe une fonction ε telle que f(x) P n (x) = x n ε(x) avec x 0 ε(x) = 0. On obtient le développement ité à l ordre n au voisinage de 0 de f : f(x) = f(0)+f (0)x+f (0) x + +f (n) (0) xn n +xn ε(x) avec x 0 ε(x) = 0 On note DLn v(0) ce développement ité de f à l ordre n au voisinage de 0. Exemples. o e x = + x + x + + xn n + xn ε(x) est le DLn v(0) de e x puisque (e x ) (n) (0) =. On a représenté fig.5. le graphe de e x et de ses différents développements d ordres,,3 et en 0. o Nous allons étudier en 0 la fonction x sin x x à l aide du DL3 v(0) de sin x. Posons f(x) = sin x et dérivons : d où On obtient finalement sin x x x 0 x 3 f (x) = cos x f (0) = f (x) = sin x f (0) = 0 f (3) (x) = cos x f (3) (0) = sin x = f(0) + f (0)x + f (0) x + f (3) (0) x3 3 + x3 ε(x) x 3 = x x3 6 + x3 ε(x) avec x 0 ε(x) = 0. x x3 = + 6 x3 ε(x) x = = x 0 x 3 6 Pour x = 0.00, la valeur trouvée par la calculatrice est Plus généralement, une fonction f définie sur un intervalle I contenant 0 admet un développement ité à l ordre n en 0 s il existe une fonction polynôme P n de degré n rangée suivant les puissances croissantes de x et une fonction ε telles que f(x) = P n (x) + x n ε(x) avec x 0 ε(x) = 0. On démontre que s il existe, ce développement est unique. P n (x) = a 0 + a x + + a n x n s appelle la partie régulière et x n ε(x), le reste d ordre n du DLn v(0) de f. On note aussi o(x n ). 36

4 y 5 P (x) 3 P (x) P (x) P 0 (x) y = e x x 3 0 P 3 (x) FIG. 5.: Développements d ordres 3 et de y = e x en 0 3 y P (x) P 5 (x) P 9 (x) y = sin(x) 6 0 x P 3 (x) P 7 (x) FIG. 5.: Développements d ordres 3 et y = sin x en 0 37

5 Parité. Remarquons que si la fonction f est paire la partie régulière P n de son DL nv(0) est paire ; de même si f est impaire sa partie régulière P n est impaire. 5. Opérations sur les développements ités Pour obtenir le DLn v(0) d une fonction, l application de la formule de Maclaurin nécessite non seulement l existence mais parfois un long calcul de ses n dérivées successives ; or les fonctions que l on étudie ici sont sommes, produits, quotients, ou composées de fonctions élémentaires dont on connaît le DL n v(0) ; si l on suppose l existence du DL, voici comment procéder plus simplement : Soient f = P n + o(x n ) et g = Q n + o(x n ) les DLn v(0) de f et g. Alors : λ, µ R λf + µg = λp n + µq n + o(x n ) est le DLn v(0) de λf + µg. Exemple. Déterminer le DL3 v(0) de sin x + 3 cos x. Solution. On a sin x + 3 cos x = x 3 x3 + o(x 3 ) + 3 x + o(x 3 ) = 3 + x 3 x 3 x3 + o(x 3 ). PRODUIT. La partie régulière du DLn v(0) de f g s obtient en tronquant à l ordre n le produit des parties régulières P n Q n. Exemple. Déterminer le DL v(0) de sin x cos x. Solution. Effectuons le produit tronqué des parties régulières à quatre termes, y compris ceux qui sont nuls : d où le DL v(0) cherché : x 3 x3 x + x = x 7 3 x3 sin x cos x = x 7 3 x3 + o(x ) QUOTIENT. Si g(0) = 0, alors le quotient H n de la division suivant les puissances croissantes de P n par Q n à l ordre n est la partie régulière du DLn v(0) de f/g. En pratique, effectuera plus simplement le produit f(x). g(x) 38 Exemple. Calcul du DL v(0) de tan x. C est le produit de sin x et de tan x = sin x cos x = x x3 6 + o(x ) ( x + o(x3 )) = x x3 6 + o(x ) + x + o(x3 ) = x + x3 3 + o(x ). cos x :

6 Remarque utile : Comme pour le produit, il suffit de connaître les k premiers termes, y compris ceux qui sont nuls à partir du premier non nul, de chacun des opérandes pour obtenir le D.L. à k termes du quotient de deux D.L. INTÉGRATION. On intégre terme à terme la partie régulière du DLn v(0) de f et on obtient la partie régulière du DL(n + ) v(0) des primitives de f. Exemple. A partir du développement à l ordre 3 au voisinage de 0 + t = t + t t 3 + o(t 3 ) on obtient après intégration le DL v(0) ln( + x) = x x + x3 3 x + o(x ). DÉRIVATION. On dérive terme à terme la partie régulière du DLn v(0) de f et l on obtient la partie régulière du DL(n ) v(0) de la dérivée de f. Exemple. Le développement à l ordre 3 au voisinage de 0 ( x) = + x + x + x 3 + o(x 3 ) donne après dérivation : ( x) = + x + 3x + o(x ) COMPOSITION. La composée h = g f admet un DLn v(0) dont la partie régulière s obtient en ne conservant dans Q n P n que les monômes de degrés inférieurs à n. Exemple. Soit à calculer le DL v(0) de la fonction h(x) = e cos x Remarquons que si x 0 alors cos x. On écrit d abord e cos x = e x + x + o(x ) = ee x + x + o(x ) et l on pose u = x + x + o(x ) qui tend vers 0 comme x puis on développe à l ordre en v(0) : e u = + u + u + o(u ) ; l ordre suffit car u 3 est de l ordre de (x ) 3 = x 6 supérieur à l ordre demandé. On remplace u : e u = + ( x + x ) + ( x + x ) + o(x ) on réduit et finalement : e cos x = e e x + e 6 x + o(x ) 5. Développements ités des fonctions usuelles au voisinage de 0 e x = + x + x + + xn + o(x n ) n + x = x + x + + ( ) n x n + o(x n ) 39

7 ( + x) α α(α ) = + αx + x α(α )(α ) + x α(α ) (α n + ) xn n + o(xn ) ln( + x) = x x + x3 xn + + ( )n 3 n + o(xn ) sin x = x x x n+ ( )n (n + ) + o(xn+ ) cos x = x + + ( )n tan x = x + x3 3 + x5 5 + o(x6 ) Arc tan x = n ( ) k xk+ k + + o(xk+ ) 0 xn (n) + o(xn+ ) 5.3 Développement ité à l ordre n au voisinage d un réel non nul x Définition. On dit qu une fonction f, définie et continue au voisinage d un réel x 0, admet un développement ité au voisinage de ce point si la fonction F : u F (u) = f(x 0 + u) obtenue par le changement de variable u = x x 0 admet un développement ité au voisinage de 0. Ce développement s écrit : ou encore : f(x 0 + u) = a 0 + a u + a u + + a n u n + o(u n ) f(x) = a 0 + a (x x 0 ) + a (x x 0 ) + + a n (x x 0 ) n + o((x x 0 ) n ) Exemple. Calcul du développement à l ordre 3 de e x au voisinage de. On pose u = x donc x = + u et e x = ee u avec D où : ce qui donne, en revenant à x e u = + u + u + u3 3 + o(u3 ). e +u = e + u + u + u3 3 + o(u3 ) 0 e x (x ) = e + e(x ) + e (x )3 + e 3 + o((x ) 3 )

8 Interprétation géométrique. Les deux premiers termes du développement fournissent l équation y = e + e(x ) ou encore y = ex de la tangente au graphe de x e x en x = et le suivant non nul la position du graphe par rapport à cette tangente ; ici e (x ) 0 x v() : la courbe est au dessus de sa tangente en x =. y 3 e 0 y = e x y = ex x 5. Développement asymptotique I est un intervalle contenant x 0 et f une fonction définie sur I {x 0 }. Supposons que f(x) ± quand x x 0. La fonction f n admet donc pas de DLv(x 0 ). Supposons aussi qu il existe r N et a R tel que si x x 0, (x x o ) r f(x) a et admette un DLv(x 0 ) : on dit alors que f admet un développement ité généralisé au voisinage de x 0. Exemple. Lorsque x tend vers 0 : f(x) = tan x = cos x sin x = x / + x / + o(x ) x x 3 /6 + o(x ) puis xf(x) = x tan x = x / + +o(x ) x /6 + o(x ) = x 3 + o(x ) et finalement tan x = x x 3 + o(x). Calcul des asymptotes. Etudions maintenant le cas où f (x) ± lorsque x ± : La méthode consiste à effectuer le changement de variable X = x puis à poser F (X) = f( X ) et l on est ramené au cas précédent avec x 0 = 0 : Supposons que F admette un développement ité généralisé ; on obtient alors l équation de l asymptote ou d une courbe asymptote au graphe de f suivant le degré de X dans la factorisation de X r F (X). Exemple. Recherche de l asymptote quand x + pour f définie par l équation f(x) = (x 3 + x ) /3. On pose X = x qui tend vers 0 quand x tend vers + et

9 F (X) = f( X ) = X + /3 = ( + 3 X X)/3 X D où XF (X) = ( + X) /3 0 quand X 0 et r = On trouve dans le formulaire le DLv(0) à l ordre : ( + u) /3 = + 3 u 9 u + o(u ) qui donne avec u = X XF (X) = + 3 X 9 X + o(x ) puis F (X) = X X + o(x) Enfin, lorsque X tend vers 0 +, donc quand x tend vers + Interprétation géométrique. f(x) = F ( x ) = x + 3 9x + o( x ). Les deux premiers termes du développement donnent l équation y = x + 3 de l asymptote au graphe de f quand x + et le signe du terme suivant la position du graphe par rapport à cette asymptote : ici < 0 et la courbe est en dessous de son asymptote. 9x y y = (x 3 + x ) _ 3 O x y = x + _ 3

10 Exercices 5.. Utiliser la formule de Maclaurin pour montrer que le DLn v(0) de la fonction x ( + x) α s écrit : ( + x) α = + αx + α(α ) x + α(α )(α ) x α(α ) (α n+) x n + o(x n ) 3 n 5.. Majorer l erreur commise par la linéarisation de la fonction x f(x) = sin x sur [0 0.]. Quel intervalle faut-il choisir pour obtenir la précision 0 à l ordre? 5.3. Déterminer l ordre de la partie régulière de la fonction x f(x) = e x permettant d obtenir le nombre e à 0 6 près. 5.. Déterminer dans chacun des cas suivants le DL3 v(0) de f : f(x) = ( + x) / f(x) = Arc sin x f(x) = f(x) = x ( x) / + x f(x) = ln( + x ) f(x) = ln( + cos x) x 5.5. A. Calculer le DL v( π ) de sin x. B. Effectuer le développement asymptotique à l ordre pour x + on note DA v(+ )) de : f (x) = ( + x ) / f (x) = ( x3 x )/ f 3 (x) = ( x 3 + x ) / Calculer les ites suivantes : e x xe x x x x 0 x x 0 x sin x x 0x ln ex x ( x + x )x π sin t cos( x) π t cos t x x x + [(x3 + 3x ) /3 (x + x) / ] 5.7. Déterminer une équation de la tangente au graphe et préciser les positions relatives au point (0 f(0) des fonctions suivantes : f(x) = e x cos 3x f(x) = + ln(x + ) (x + ) 5.8. Etudier le comportement asymptotique de la fonction f : x f(x) = (x ) / Arc sin x pour x + 3

11 5.9. Extrait SVL) Calculer le DL v(0) de la fonction : ϕ(x) = ex X produit de ex par X. Soit la fonction réelle de la variable réelle f, définie par l équation : f(x) = x e /x x a. Quel est le domaine de définition D f de f? b. Pour x + calculer les trois premiers termes du D.A. de f et déterminer l équation de l asymptote ainsi que la position relative du graphe de f par rapport à son asymptote. Faire un dessin explicatif Extrait SVL P ) Calculer le D.L.3v0) de ln ( x) et de sin x. En déduire la ite : ln( x) + x + x x 0 sin x x 5.. Extrait SVL P 006 ) a. Calculer le D.L.v0) de : ( + x) /3. b. Calculer le D.L.v0) de : ( + x) /3 cos x ( + x) /3 cos x c. En déduire la ite suivante : x 0 x 3x 5.. Extrait SVL P 007 ) a. Calculer le D.L.3v0) des fonctions suivantes : x (x + )e x x ln( x) et x ln( x) (x + )e x. Soit la fonction de la variable réelle f : x f(x) = ln( x) (x + )e x b. Quel est son domaine de définition? Soit le graphe de f. b. Quelle est l équation de la tangente à point d abscisse x = 0? b3. Quelle est la position de par rapport à la tangente en (0 f(0))? b. Faire un dessin explicatif ; quelle est la nature du point (0 f(0))? 5.3. Extrait SVL T 007 ) a. Calculer pour chacune des fonctions suivantes le D.L.v0) de : ( + u) / et ( + x) / puis cos x enfin (cos x) + x. b. Soit la fonction réelle f : x f(x) = (cos x) + x. Déduire du développement précédent l équation de la tangente au graphe f de f en x = 0, ainsi que la position du graphe par rapport à cette tangente. Illustrer par un dessin explicatif. 5.. Limite de visibilité depuis le phare de Ouistreham : soit h = 38m la hauteur du phare au dessus du niveau de la mer, R = 6368km le rayon de la Terre. Remarquer que h/r << et montrer que la ite de visibilité est l = hr.