Mathématiques ECE 2 Lycée Hoche ( ) o (g(x)) Équivalents usuels et équivalent des fonctions polynomiales en ±

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1 Programme de colle - Semaine n 1: du 18/09/2017 au 23/09/2017 Connaissances minimales attendues Chapitre 1 - Comportement asymptotique des fonctions de la variable réelle à valeurs réelles Fonction dénie au voisinage de x 0 R {± }, voisinage de x 0 ; Limite nie en x 0 R, en + et en : dénition informelle (phrase en français), dénition formelle avec les quanticateurs) ; Unicité de la limite nie en x 0 ; Limite à droite, à gauche en x 0 R : dénition informelle (phrase en français), dénition formelle avec les quanticateurs) ; Continuité d'une fonction f en x 0 D f. Continuité de f à droite, à gauche en x 0 D f. Prolongement par continuité d'une fonction en x 0 / D f Dérivabilité d'une fonction f en x 0 D f. Tangente. Dérivabilité de f à droite, à gauche en x 0 D f. Limite innie en x 0 R, en + et en : dénition informelle (phrase en français), dénition formelle avec les quanticateurs ; Opérations usuelles sur les limites : somme, produit, inverse et composition ; Asymptote horizontale, verticale et oblique ; Négligeabilité en x 0 R {± } : dénition et notation f(x) = x x0 o (g(x)) Si g ne s'annule pas au voisinage de x 0 : f(x) = x x0 o (g(x)) f(x) lim x x0 g(x) = 0 Réécriture des croissances comparées à l'aide de la notation petit o Propriétés de la relation de négligeabilité : transitivité, linéarité, produit, élévation à une puissance entière, passage à la valeur absolue, passage à l'inverse Équivalence en x 0 R {± } : dénition et notation f(x) f(x) g(x) f(x) = g(x) + o(g(x)) x x 0 x x0 Si g ne s'annule pas au voisinage de x 0 : f(x) g(x) x x 0 x x 0 g(x) f(x) lim x x0 g(x) = 1 Propriétés de l'équivalence en x 0 : réexivité, symétrie et transitivité ; Équivalence en x 0, et signe/non annulation au voisinage de x 0 Si l un réel non nul, alors : lim f(x) = l f(x) l x x0 x x 0 Équivalents usuels et équivalent des fonctions polynomiales en ± Opérations compatibles avec la relation d'équivalence en x 0 : produit, passage à l'inverse et élévation à une puissance entière ; 1 sur 8

2 Opération non compatibles en toute généralité avec la relation d'équivalence en x 0 : somme, composition. Exemples ; Changement de variable dans un équivalent en x 0 Deux fonctions équivalentes en x 0 ont même limite en x 0 (sous réserve d'existence de la limite en x 0 pour l'une des deux fonctions) ; Développement limité à l'ordre 1 en x 0 : dénition, unicité, lien avec la dérivabilité en x 0, interprétation géométrique faisant intervenir la tangente en x 0 ; Développement limité à l'ordre 2 en x 0 : dénition, unicité ; Une fonction admettant un développement limité à l'ordre 2 en x 0 admet un développement limité à l'ordre 1 en x 0 ; Formule de Taylor-Young à l'ordre 1 en x 0 D f ; Formule de Taylor-Young à l'ordre 2 en x 0 D f Chapitre 2 - Suites réelles : révisions du programme de ECE1 Dénition d'une suite réelle, notations (u n ) n et u n ; Trois manières standard de dénir une suite en pratique dans les exercices ; Suites (strictement) croissantes / décroissantes, monotones, constantes, stationnaires ; Suites majorées, minorées, bornées. Caractérisation des suites bornées à l'aide de la valeur absolue ; Suites arithmétiques : dénition et expression du terme général ; Suites géométriques : dénition et expression du terme général ; Suites arithmético-géométriques : dénition et expression du terme général ; Suites vériant une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 à coecients réels constants : dénition et expression du terme général ; Suites convergentes : dénition informelle (phrase en français), dénition formelle avec les quanticateurs ; Unicité de la limite d'une suite convergente ; Suites divergeant vers +, suites divergeant vers, suites divergeant sévèrement ; Opérations élémentaires sur les limites ; Limite d'une suite de la forme (f(u n )) n ; Caractérisation de la convergence d'une suite à l'aide des suites extraites des termes de rang pair et des termes de rang impair ; (u n ) n est convergente vers l si et seulement si (u 2n ) n et (u 2n+1 ) n sont convergentes, de même limite l ; Comportement asymptotique de (q n ) n suivant les valeurs du paramètre q R ; Théorème de prolongement des inégalités à la limite ; Théorème de comparaison ; 2 sur 8

3 Théorème d'encadrement ; Théorème de la limite monotone dans le contexte des suites réelles ; Suites adjacentes : dénition et théorème de convergence ; Résultats de croissances comparées dans le contexte des suites réelles. 3 sur 8

4 Savoir-faire et Méthodes à savoir appliquer Les incontournables Savoir calculer et rédiger un calcul de limite ne présentant pas d'indétermination ; Savoir montrer qu'une fonction est (non) continue en un point, (non) dérivable en un point ; Montrer que la courbe représentative d'une fonction donnée admet une asymptote verticale en x 0 R ; Montrer que la courbe représentative d'une fonction donnée admet une asymptote horizontale au voisinage de ou en + ; Montrer que la courbe représentative d'une fonction donnée admet une asymptote oblique en ou en + dont l'équation est donnée ; Mettre en uvre les techniques standard permettant de lever une indétermination dans un calcul de limite : Factoriser par le terme prédominant ; Reconnaître une limite usuelle, reconnaître un taux d'accroissement ; Reconnaître un résultat de croissances comparées ; Multiplier par la partie conjuguée ; Exploiter les propriétés calculatoires des fonctions de référence ; Calculer et exploiter un équivalent ; Calculer et exploiter un développement limité d'ordre 2 Déterminer un équivalent simple d'une fonction donnée en utilisant les équivalents usuels, un éventuel changement de variable, un produit, un passage à l'inverse, une élévation à une puissance entière ; Comprendre l'intérêt d'un équivalent et d'un développement limité dans un calcul de limite ; Calculer un développement limité d'ordre 2 en x 0 R à l'aide de la formule de Taylor-Young ; Calculer, sous réserve d'existence, la limite d'une suite réelle dénie explicitement ; Déterminer le terme général d'une suite usuelle (arithmétique, géométrique, arithmético-géométrique, récurrente linéaire d'ordre 2) ; Étudier une suite réelle dénie par une relation de récurrence d'ordre 1 : caractère bien déni, encadrement, monotonie, convergence/divergence ; Étudier une suite réelle dénie implicitement : caractère bien déni, encadrement, monotonie, convergence/divergence ; Et plus si anités... Savoir utiliser la dénition formelle de la limite en x 0 ; Savoir utiliser la dénition formelle de la convergence d'une suite (u n ) n vers l, de la divergence d'une suite vers +, vers ; Savoir utiliser la dénition formelle de la négligeabilité au voisinage de x 0 ; 4 sur 8

5 Savoir utiliser la dénition formelle de l'équivalence au voisinage de x 0 ; Savoir utiliser les propriétés de la relation de négligeabilité an de simplier une expression impliquant des petits o ; Calculer des développements limités à l'ordre 2 sans utiliser la formule de Taylor-Young, en justiant chaque étape ; Savoir utiliser un développement limité à l'ordre 2 en x 0 pour produire des équivalents plus ns que les équivalents usuels en x 0 ; Exemple : e x..., puis e x 1..., puis e x 1 x... ; x 0 x 0 x 0 Savoir calculer un développement limité en x 0 pour mettre en évidence une tangente en x 0 et étudier sa position relativement à la courbe au voisinage de x 0 ; Savoir mettre en évidence un développement asymptotique en + (ou en ) pour mettre en évidence une asymptote oblique et étudier sa position relativement à la courbe au voisinage de + (ou de ) 5 sur 8

6 Preuves exigibles Si f admet une limite nie en x 0, alors cette limite est unique ; Si une fonction f dénie en x 0 R et au voisinage de x 0 admet une limite nie en x 0, cette limite vaut nécessairement f(x 0 ) Soient f et g deux fonctions de la variable réelle à valeurs réelles dénies au voisinage de x 0, telles que g ne s'annule pas au voisinage de x 0. f(x) Alors, f est négligeable devant g au voisinage de x 0 si et seulement si lim x x0 g(x) = 0 Propriété de transitivité de la relation de négligeabilité en x 0 Propriété de linéarité de la relation de négligeabilité en x 0 Soient f et g deux fonctions de la variable réelle à valeurs réelles dénies au voisinage de x 0, telles que g ne s'annule pas au voisinage de x 0. f(x) Alors, f est équivalente à g au voisinage de x 0 si et seulement si lim x x0 g(x) = 1 ; f x0 g f = x0 g + o(g) Une fonction polynomiale non identiquement nulle sur R est équivalente en ± à son monôme dominant ; Les équivalents en x 0 R {± } sont compatibles avec le produit ; Les équivalents en x 0 R {± } sont compatibles avec l'élévation à une puissance entière ; Si f admet un développement limité à l'ordre 2 en x 0, alors f admet un développement limité à l'ordre 1 en x 0 ; Si (u n ) n N est une suite convergente de limite l, alors cette limite est unique ; Si lim u n = a et si lim f(x) = b, alors lim f(u n + x a n) = b n + 6 sur 8

7 Quelques remarques destinées aux colleurs Cette semaine, on ne posera pas de questions concernant les notions d'équivalence, de négligeabilité, de développement asymptotique dans le contexte des suites réelles ; La colle commencera par quelques questions de cours (restitution d'une dénition, d'une proposition/théorème, d'une ou des méthodes de base) ; On pourra demander aux élèves de prouver un des théorèmes (de manière complète ou incomplète) répertoriés dans la rubrique Preuves exigibles et tester la compréhension des élèves à propos de ce qu'ils écrivent. Cette éventuelle partie de l'interrogation pourra jouer le rôle d'amplicateur des notes ; Le premier exercice sera de diculté modérée, non théorique et sera essentiellement calculatoire ; Les exercices proposés devront être de niveau progressif ; On accordera un soin tout particulier à la rédaction et à la rigueur ; Toute erreur répertoriée dans le document Erreurs graves sera lourdement sanctionnée ; Si l'élève interrogé ne répond pas correctement aux questions de cours, on attribuera une note strictement inférieure à la moyenne, et ce indépendamment de la suite de l'interrogation. 7 sur 8

8 Scilab Les colles ne présenteront pas de contenu informatique lors de cette présente semaine (Semaine 1) 8 sur 8