Dimension des espaces vectoriels

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1 Dimension des espaces vectoriels (2) (2) () Dimension des espaces vectoriels 1 / 22

2 Plan 1 Matrices (2) () Dimension des espaces vectoriels 2 / 22

3 Propriétés de l ensemble des matrices Proposition Pour tous entiers naturels non nuls n et m, l ensemble M n,m des matrices n m, muni de l addition et de la multiplication par un scalaire définies ci-dessus, est un R espace vectoriel. (2) () Dimension des espaces vectoriels 3 / 22

4 Toute matrice de M n,m s écrit de manière unique comme une combinaison linéaire des matrices (E i,j ) 1 i n 1 j p définies par 0 O O 0 E i,j = i-ème ligne 0 O O 0 j-ème colonne En effet, toute matrice A = (a i,j ) 1 i n 1 j m forme A = a i,j E i,j. 1 i n 1 j m s écrit de manière unique sous la (2) () Dimension des espaces vectoriels 4 / 22

5 Proposition Soit m et n deux nombres entiers non nuls. La famille de matrices (E i,j ) 1 i n définie ci-dessus, est la base canonique de l espace vectoriel 1 j m M n,m (K). Cette famille contient nm vecteur. En conséquence, l espace vectoriel M n,m (K) est de dimension finie et dim ( M n,m (K) ) = nm. (2) () Dimension des espaces vectoriels 5 / 22

6 Matrices de passage Dans toute cette section, on considère E un R-espace vectoriel de dimension finie n. Définition Soit F = (v 1,..., v p ) une famille de vecteurs de E. Soit B une base de E. La matrice de la famille F dans la base B est notée M B (F) et elle est formée en mettant côte à côte en colonne les coordonnées de v 1,..., v p dans la base B (2) () Dimension des espaces vectoriels 6 / 22

7 Si au lieu d une famille quelconque F, on prend une deuxième base, on a la matrice de passage : Définition Soient B et B deux bases de E. La matrice de passage de B vers B est notée P(B, B ) et elle est formée en mettant en colonne et côte à côte les coordonnées (exprimés dans la base B) des vecteurs de B. (2) () Dimension des espaces vectoriels 7 / 22

8 Si B = (e 1, e 2,..., e n ) et B = (e 1, e 2,..., e n) sont les deux bases de E, chaque vecteur de la famille B peut se décomposer sur la base B : e 1 = a 1,1 a 2,1., e 2 = a 1,2 a 2,2.,..., e n = a 1,n a 2,n. a n,1 a B n,2 a B n,n B On a alors a 1,1 a 1,2... a 1,n P(B, B a 2,1 a 2,2... a 2,n ) =... a n,1 a n,2... a n,n. (2) () Dimension des espaces vectoriels 8 / 22

9 On retrouve les propriétés habituelles des matrices de passage (mais une piqure de rappel ne fait jamais de mal...) Proposition Soit un vecteur x de E, avec X B le vecteurs des coordonnées de x dans la base B et X B le vecteurs des coordonnées de X dans la base B. On a alors (2)X B = P(B, B )X B, }{{} et X B = (P(B, B )) 1 X B (2) () Dimension des espaces vectoriels 9 / 22

10 Proposition 1 Soient B 1, B 2, B 3 trois bases de E. On a P(B 1, B 2 ) P(B 2, B 3 ) = P(B 1, B 3 ) 2 Toute matrice de changement de base est inversible. De plus, si B et B sont deux bases de E, l inverse de la matrice P(B, B ) est la matrice P(B, B), autrement dit P(B, B ) 1 = P(B, B). Remarque: En dimension finie, grâce aux coordonnées, on retrouve toutes les propriétés de R n! Quelque soit le type de vecteur qu on considère. (2) () Dimension des espaces vectoriels 10 / 22

11 Matrice d une application linéaire Soit E et F deux K espaces vectoriels de dimensions respectives p et n. On note B E = (e 1, e 2,..., e p ) une base de E et B F = (f 1, f 2,..., f n ) une base de F. (2) () Dimension des espaces vectoriels 11 / 22

12 Soit u une application linéaire de E dans F. On détermine u(e 1 ), u(e 2 ),...,u(e p ) les images par u des vecteurs de la base B E. Chacune de ces images étant un vecteur de F, elles ont des coordonnées dans la base B F, qu on met en colonne : a 1,j a 2,j u(e j ) =. L application linéaire u, est alors représentée à l aide de la matrice u(e 1 ) u(e 2 ) u(e p) {}}{{}}{{}}{ a 1,1 a 1,2... a 1,p M BE,B F (u) = a 2,1 a 2,2... a 2,p... a n,1 a n,2... a n,p Les colonne de cette matrice sont les vecteurs u(e 1 ),..., u(e p ) dans la base B F. a n,j (2) () Dimension des espaces vectoriels 12 / 22

13 Définition La matrice M BE,B F (u) définie précédemment est la matrice de l application linéaire u par rapport aux bases B E et B F. Dans le cas où u est un endomorphisme de E, on choisit souvent la même base B pour repérer un vecteur et son image. La matrice correspondante s appelle alors la matrice de u par rapport à B et se note M B (u). Réciproquement, la donnée d une matrice A de M n,p (R) définit une unique application linéaire u de E dans F telle que M BE,B F (u) = A. En effet, u est alors entièrement définie grâce à l image des vecteurs de la base B E : les coordonnées de u(e 1 ) dans la base F sont la première colonne, celles de u(e 2 ) la deuxième colonne,... (2) () Dimension des espaces vectoriels 13 / 22

14 Définition Soit A une matrice n p à coefficients dans R. L application linéaire de R p dans R n dont la matrice par rapport aux bases canoniques de R p et R n est A est appelée l application linéaire canoniquement associée à A. (2) () Dimension des espaces vectoriels 14 / 22

15 Proposition Soit u une application linéaire de E dans F, représentée par la matrice M BE,B F (u). Soit X un vecteur de E de coordonnées (x 1, x 2,..., x p ) dans la base B E. Les coordonnées du vecteur u(x ) dans la base B F s obtiennent en effectuant le produit M BE,B F (u)x (2) () Dimension des espaces vectoriels 15 / 22

16 Proposition Soit u et v deux applications linéaires de E dans F et λ R. Notons M BE,B F (u), M BE,B F (v), M BE,B F (u + v), M BE,B F (λu) les matrices associées respectivement à u, v, u + v et λu. Alors on a : M BE,B F (u + v) = M BE,B F (u) + M BE,B F (v), M BE,B F (λu) = λm BE,B F (u) Remarque: Cette proposition permet de dire qu il y a une correspondance entre L(E, F ) et M n,p (R) (un isomorphisme). Les deux espaces ont donc même dimension. (2) () Dimension des espaces vectoriels 16 / 22

17 Corollaire Soit E et F deux espaces vectoriels de dimensions respectives p et n. L espace vectoriel L(E, F ) est un espace vectoriel de dimension finie et dim(l(e, F )) = dim(e) dim(f ) = np. (2) () Dimension des espaces vectoriels 17 / 22

18 Composition d applications linéaires et matrices Proposition Soit E, F et G trois R-espaces vectoriels de dimension finie respectivement munis des bases B E, B F et B G. Soit u L(E, F ) et v L(F, G), la composée v u a pour matrice : M BE,B G (v u) = M BF,B G (v)m BE,B F (u). La composition des applications linéaires se traduit sous forme de produit des matrices associées. (2) () Dimension des espaces vectoriels 18 / 22

19 Proposition Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension n rapportés à des bases B E et B F. Une application linéaire u L(E, F ) est un isomorphisme de E sur F si, et seulement si, la matrice M BE,B F (u) est inversible. On a alors M BF,B E (u 1 ) = (M BE,B F (u)) 1 (2) () Dimension des espaces vectoriels 19 / 22

20 Matrice d un endomorphisme dans des bases différentes Proposition Soit E un espace vectoriel de dimension finie, B et B deux bases de E, et u un endomorphisme de E. En notant : on a A = M B (u) la matrice de u dans la base B A = M B (u) la matrice de u dans la base B, P = P(B, B ) la matrice de passage de B à B, A = P 1 A P Remarque: Si, au contraire, on connaît la matrice de u dans la base B, on retrouve aisément la matrice de u dans la base B. En effet, la relation précédente A = P 1 A P donne A = PA P 1. (2) () Dimension des espaces vectoriels 20 / 22

21 Définition Soit n un nombre entier naturel non nul. Deux matrices carrées A et A de M n (K) sont dites semblables si il existe P matrice inversible vérifiant A = P 1 A P Autrement dit, en interprétant P comme une matrice de passage, deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent la même application linéaire dans deux bases différentes. (2) () Dimension des espaces vectoriels 21 / 22

22 Exercice 1 On se place dans l espace vectoriel R 3 muni de sa base canonique B = (e 1, e 2, e 3 ) et on note B = (v 1, v 2, v 3 ) avec v 1 = (0, 1, 1), v 2 = (1, 0, 1) et v 3 = (1, 1, 0) une autre base de R 3. On considère le plan vectoriel F = Vect(v 1, v 2 ) et la droite vectorielle D = Vect(v 3 ). (Remarque : (v 1, v 2, v 3 ) étant une base de R 3, F et D sont supplémentaires dans R 3 ) Soit p la projection sur F parallèlement à D. Ecrire la matrice de p dans la base B puis en déduire la matrice de p dans la base canonique B. (2) () Dimension des espaces vectoriels 22 / 22