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1 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 1 sur 30 Ch : Fonctions de référence Partir d'un bon pied Exercice n A page 46 : Maîtriser le vocabulaire de base relatif aux fonctions Vrai ou faux? Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses On considère les fonctions f : x 3x 1, g : x x + x + 3 et h : x 1) L'image de 1 par la fonction h est 5 1) h(1) = = 3 = 3 5 Faux 1 ) Le réel 3 a deux antécédents par la fonction g x + 5 3x 4 ) g(x) = 3 équivaut à : x + x = 0, soit à x( x + 1) = 0, ou encore à : x = 0 ou x = 1 Vrai 3) La courbe représentative de la fonction g passe par le point de coordonnées (3 ; 0) 3) g(3) = = 3 0 Faux 4) «1 est un antécédent de par f» est équivalent à «1 est solution de l'équation f (x) =» 4) Les deux affirmations équivalent à : f (1) = Vrai 5) Le réel 1 est solution de l'équation f (x) = 0 5) f ( 1) = 3( 1) 1 = 4 0 Faux 6) L'ensemble de définition de la fonction h est IR \ {0} 6) h(x) est définie pour 3x 4 0, soit pour x 4 3 Faux Exercice n B page 46 : Revoir la notion de variations d'une fonction QCM Pour chacune des affirmations suivantes, préciser la (ou les) bonne(s) réponse(s) a et b désignent deux réels et f une fonction définie sur IR 1) Si a < b et f (a) < f (b), alors : a) f est croissante sur [a ; b] b) f est décroissante sur [a ; b] 1) Réponse c : il faudrait que la propriété soit vraie pour tous réels a et b tels que a < b ) Si a < b et f (a) > f (b) alors : a) f peut être croissante sur [a ; b] ) Réponses b et c 3) On a affiché la représentation graphique d'une fonction f sur l'écran de la calculatrice On peut conjecturer que : 3) Réponse c 4) On sait que, pour tout réel x, f (x) f () ; alors : 4) Réponse a a) f est croissante sur IR a) f admet un maximum en b) f peut être décroissante sur [a ; b] b) f est constante sur l'intervalle [0,5 ; 1,5] b) f est croissante sur l'intervalle [0 ; ] Exercice n C page 46 : Reconnaître les fonctions de référence déjà connues Vrai ou faux? Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes, en justifiant la réponse On considère les fonctions f : x 3x 1, g : x x + x + 3 et x + 5 h : x 3x 4 1) La fonction f est linéaire 1) Faux : une fonction linéaire est du type x ) La fonction f est décroissante sur IR ax ) Faux : le coefficient directeur 3 est positif f (b) f (a) 3) Pour tous réels a et b avec a b, = 3 b a c) On ne peut pas en déduire les variations de f sur [a ; b] c) On ne peut pas en déduire les variations de f sur [a ; b] c) f est croissante sur l'intervalle [ ; 3] c) f peut être décroissante sur l'intervalle [1 ; 3]

2 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page sur 30 3) Vrai, c est le coefficient directeur 4) La fonction g est décroissante, puis croissante 4) Faux : le coefficient 1 de x est négatif, donc f est croissante puis décroissante 5) La fonction h est une fonction homographique 5) Vrai 1 FONCTIONS DE RÉFÉRENCE DÉJÀ CONNUES 11 Les fonctions affines DÉFINITION 1 Une fonction affine f est une fonction définie sur IR par : f (x) = ax + b, où a et b sont deux réels fixés Remarques : PROPRIÉTÉ 1 Si b = 0, l'expression de f est f (x) = ax et f est une fonction linéaire Si a = 0, l'expression de f est f (x) = b et f est une fonction constante On considère la fonction affine f définie sur IR par : f (x) = ax + b, où a et b sont des réels donnés Si a est positif, la fonction affine f est croissante sur IR Si a est négatif, la fonction affine f est décroissante sur IR La courbe représentative de f dans un repère du plan est une droite Si a > 0 : Si a < 0 : 1 La fonction carré DÉFINITION La fonction carré est la fonction f définie sur IR par : f (x) = x PROPRIÉTÉS La fonction carré est décroissante sur ] ; 0] et croissante sur [0; +[ La courbe représentative de la fonction carré s'appelle une parabole Dans un repère orthogonal du plan, elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées 13 La fonction inverse DÉFINITION 3 La fonction inverse est la fonction f définie sur IR \ {0} par : f (x) = 1 x PROPRIÉTÉS 3 La fonction inverse est décroissante sur chacun des intervalles ] ; 0[ et [0 ; +[ La courbe représentative de la fonction inverse s'appelle une hyperbole Dans un repère du plan elle est symétrique par rapport à l'origine

3 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 3 sur 30 Exercice corrigé : Utiliser les variations des fonctions de référence 1) Justifier que, pour tout réel x < 0, on a 1 x < x ) Conjecturer, à l'aide de la calculatrice, l'ordre entre x et 1 pour tout réel x strictement x positif 3) Démontrer cette conjecture en utilisant les variations des fonctions carré et inverse Solution : 1) Si x < 0, alors 1 x est négatif et x est positif ; donc : 1 x < 0 < x Méthode : Un réel non nul et son inverse sont de même signe ; un carré est toujours positif ) La position relative des deux courbes sur la calculatrice permet de conjecturer que : lorsque 0 < x 1, on a 1 x x, et lorsque x 1, on a 1 x < x Lorsqu'une courbe H est au-dessus d'une courbe P, pour un x donné, l'ordonnée du point sur H est supérieure à l'ordonnée du point sur P : les positions relatives de leurs courbes permettent de comparer les deux fonctions L'observation de l'écran ne permet de voir qu'une partie des courbes, on ne peut donc pas être sûr de chaque inégalité sur tout l'intervalle considéré 3) L'image de 1 par la fonction inverse est égale à 1 1 = 1, comme l'image de 1 par la fonction carré 1 (1 = 1) Donc le point de coordonnées (1 ; 1) est commun aux deux courbes La fonction carré est croissante sur ]0 ; 1] ; donc, si x ]0 ; 1], x 1 Deux réels positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre La fonction inverse est décroissante sur ]0 ; 1] ; Deux réels strictement positifs et leurs inverses donc, si x ]0 ; 1], 1 x 1 1 sont rangés dans l'ordre contraire Ainsi, lorsque x ]0 ; 1), 1 x 1 x et donc 1 x x Sur l'intervalle [1 ; +[ la fonction carré est croissante et la fonction inverse décroissante ; donc, si x [1 ; +[, x 1 et 1 x 1 1 Finalement, on obtient lorsque x [1 ; +[ : 1 x < x La conjecture est prouvée Exercice n page 51 Comparer a et b sans utiliser la calculatrice : a) a = 1,414 et b = 1,410 4 ; b) a = 3 et b = 3,1 ; c) a = 0,1 et b = 1 10 ; d) a = 3 et b = 1,7 a) 0 < b < a, donc b < a b) b < a < 0, donc a < b c) a = b, donc a = b d) 0 < b < a, donc b < a Exercice n 4 page 51 Comparer 1 a et 1 sans utiliser la calculatrice : b a) a = 5 et b = 6 ; b) a = et b = 0,66 ; c) a = et b = 3 ; d) 3 a = et b = 3,14 a) 0 < a < b, donc 1 b < 1 a

4 b) a < b < 0, donc 1 b < 1 a 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 4 sur 30 c) a < 0 < b, donc 1 a < 0 < 1 b d) 0 < b < a, donc 1 a < 1 b Exercice n 1 page 7 Vrai ou faux? Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses 1) La fonction inverse x 1 est décroissante sur IR \ {0} x ) La fonction x 7x 1x + 1 est d'abord décroissante, puis croissante 3) Si f : x x + 1 alors, pour tous réels a et b avec a b, a b f (a) f (b) = 1) Faux : elle est décroissante sur ] ; 0[ et sur ]0 ; +[ ) Vrai : 7 > 0 f (a) f (b) a b 3) Faux : =, d où a b f (a) f (b) = 1 Exercice n page 7 On considère la fonction f définie sur par : f (x) = x + 1) Calculer les images par f des réels : a) ; b) 4 ; c) 3 ; d) 3 ; e) 5 ) Calculer les antécédents de 7 par f 3) Démontrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; +[ et décroissante sur ] ; 0] 4) Dresser le tableau des variations de la fonction f 1) a) f () = 6 b) f ( 4) = 18 c) f 3 = 9 d) f ( 3 ) = 5 e) f 5 = 5 5 ) f (x) = 7 équivaut à : x = 5, soit à : x = 5 ou x = 5 3) Le coefficient 1 de x est positif, donc f est décroissante puis croissante 4) f atteint son minimum en 0 1 = 0 Exercice n 3 page 7 On considère la fonction f définie sur IR par : f (x)= 1 3x 1) Calculer les images par f des réels : a) ; b) 1 ; c) 1 3 ; d) 5 ; e) 3 ) Calculer les antécédents de 3 par f 3) Démontrer que la fonction f est décroissante sur l'intervalle [0 ; +[ et croissante sur ] ; 0] 4) Dresser le tableau des variations de la fonction f 1) a) f ( ) = 11 b) f (1) = c) f 1 3 = 3

5 d) f ( 5 ) = 14 e) f 3 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 5 sur 30 = 5 4 ) f (x) = 3 équivaut à : x = 4 3, soit à : x = 3 3 3) a est négatif, donc f est croissante puis décroissante 0 4) f atteint son maximum en ( 3) = 0 ou x = 3 3 Exercice n 4 page 7 On considère la fonction f définie sur ]0 ; +[ par : f (x) = x + 3 1) Calculer les images par f des réels : a) 1 ; b) 1 3 ; c) 5 ; d) 1 ) Calculer l'antécédent de,5 par f 3) Démontrer que la fonction f est décroissante sur l'intervalle ]0 ; +[ 4) Dresser le tableau des variations de la fonction f 1) a) f (1) = 5 b) f 1 3 = 9 c) f ( ) ) f (x) =,5 équivaut à : x 4 = 5,5, soit à : x =, c est-à-dire x = 5,5 11 3) On prend 0 < a < b et on obtient successivement : 1 a > 1 b a > b f (a) > f (b) 4) 5 = d) f 1 = 1 Exercice n 1 page 51 Donner le tableau de variations de chacune des fonctions suivantes : a) f : x x 3 ; b) g : x 3 x ; c) h : x x 10 ; d) k : x 1 x + 6 a) b) c) d) Exercice n 3 page 51 Établir les tableaux de signes des fonctions f et g de l'exercice 1 a) f : x x 3 ; b) g : x 3 x ; c) h : x x 10 ; d) k : x 1 x + 6

6 a) 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 6 sur 30 b) Exercice n 7 page 6 Vrai ou faux? On considère la fonction f : x x 3 Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses 1) f est une fonction affine ) f est positive sur IR 3) f est croissante sur IR 4) La courbe représentative de f dans un repère (O ; I, J) est la droite (AB) avec A(5 ; ) et B( 1 ; 4) 1) Vrai : f (x) est du type ax + b ) Faux : f (0) = 3 3) Vrai : f (x) est du type ax + b, avec a > 0 4) Vrai : f est une fonction affine, donc sa représentation est une droite ; de plus f (5) = et f ( 1) = 4 Exercice n 8 page 6 Vrai ou faux? Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses 1) Deux nombres réels et leurs carrés sont toujours rangés dans le même ordre ) Un réel est toujours inférieur à son carré 3) Si a b 0, alors b a 4) La fonction f : x x est décroissante sur [0 ; +[ 1) Faux : < 1 et ( ) > ( 1) ) Faux : 0,5 > 0,5 3) Vrai 4) Vrai Exercice n 9 page 6 Vrai ou faux? Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses 1) Un réel non nul et son inverse sont de même signe ) Deux réels non nuls et leurs inverses sont toujours rangés dans un ordre contraire 3) Si a b 4, alors 1 a 1 b 4) La fonction f : x 1 x est croissante sur [0 ; +[ 1) Vrai ) Faux 3) Vrai 4) Vrai Exercice n 30 page 6 Établir le tableau de signes de chacune des fonctions suivantes : a) f : x x 8 ; b) g : x 3x + 1 ; c) h : x 9 x ; d) k : x 1 3 x + 1 a) b) c)

7 d) 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 7 sur 30 Exercice n 3 page 6 Donner, dans chacun des cas suivants, le meilleur encadrement possible pour a a) a [ ; 5] ; b) 0 a 10 ; c) a [ 1 ; 3[ ; d) 5 a 5 a) 4 a 5 b) 100 a 400 c) 0 a 9 d) 0 a 5 Exercice n 38 page 63 La fonction f a pour représentation graphique la ligne brisée ABCD ci-contre 1) Préciser l'ensemble de définition de f ) Donner le tableau de variations de f 3) Donner, selon les valeurs du réel k, le nombre de solutions de l'équation f (x) = k 4) Déterminer les fonctions affines ayant pour représentations graphiques les droites (AB), (BC) et (CD) 1) L'ensemble de définition de f est l'intervalle [ 3, 4] ) 3) Si k [ ; 1[ {5} : une solution Si k ]4 ; 5[ {1} : deux solutions Si k ]1 ; 4] : trois solutions Pour les autres valeurs de k, il n'y a pas de solution 4) (AB) : x 7 x + 17 ; (BC) : x 4 3 x ; (CD) : x 3 x Exercice n 35 page 6 On considère la fonction f définie sur IR par : f (x) = x 3 1) Calculer f ( 3), f ( ), f 1 ) Trouver les antécédents du réel par f 3) Démontrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; +[ et décroissante sur ] x ; 0] 4) Dresser le tableau de variations de f 1) f ( 3) = 6 ; f ( ) ) x 3 = équivalent à : x = 5 x = 5 ou x = 5 = 1 ; f 1 = ) On considère deux réels quelconques a et b tels que 0 a < b On a successivement 0 a < b, puis 3 a 3 < b 3 ; c est-à-dire f (a) < f (b), donc f est croissante sur [0 ; +[

8 4) 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 8 sur 30 On considère deux réels quelconques a et b tels que a < b 0 On a successivement 0 b < a, puis 3 b 3 < a 3 ; c est-à-dire f (a) > f (b), donc f est décroissante sur ] ; 0] Exercice n 37 page 6 La fonction f est définie sur IR et n'a pas d'autres changements de variations que ceux visibles sur la courbe ci-contre On sait de plus que cette courbe coupe l'axe (OI) aux points d'abscisses 3, 0 et 3 1) Dresser le tableau de variations de f ) Résoudre graphiquement : a) f (x) = ; b) f (x) 0 3) Déterminer l'ensemble de définition de la fonction 1 f 1) ) a) L ensemble des solutions est : S = {, 1} b) L ensemble des solutions est : S = [ 3, 0 ] [ 3, +[ 3) On doit enlever les valeurs qui annulent la fonction f est : IR { 3, 0, 3 } Donc l ensemble de définition de 1 f Exercice n 39 page 63 La fonction f est définie sur IR et n'a pas d'autres changements de variations que ceux visibles sur la courbe ci-contre On sait de plus que cette courbe coupe l'axe (OI) aux points d'abscisses 3, 0 et 3 Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes : a) 0 a trois images par f ; b) les antécédents de par f sont 1 et ; c) f admet un maximum sur [ ; 0] ; d) f admet un minimum sur IR a) Faux : f (0) 0 b) Vrai f (x) = équivaut à x = 1 ou x = c) Vrai d) Faux LA FONCTION RACINE CARRÉE 1 Définition, sens de variation et représentation graphique DÉFINITION 4 La fonction racine carrée est la fonction f qui à tout réel positif (ou nul) x associe sa racine carrée, c'est-à-dire le réel positif (ou nul) qui a pour carré x La fonction racine carrée est définie sur l'intervalle [0 ; +[ par : f (x)= x PROPRIÉTÉ 4 La fonction racine carrée est croissante sur l'intervalle [0 ; +[

9 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 9 sur 30 Démonstration : Soit deux réels a et b tels que 0 a b On veut comparer a et b Pour cela, on calcule leur différence : a b = ( )( a + b On utilise l'identité remarquable (x y)(x + y) = x y pour obtenir : a b = a b a + b Comme a b, alors a b est négatif et a + b est positif en tant que somme de deux réels positifs Ainsi, avec la règle des signes d'un quotient, on obtient : a b 0, ou encore a b Les images a et b sont rangées dans le même ordre que les nombres positifs a et b de départ, d'où la croissance de x x sur [0 ; +[ Exercice corrigé : Utiliser la fonction racine carrée 1) Déterminer l'ensemble D formé des réels x pour lesquels l'expression x + x + est définie ) On appelle f la fonction définie sur D par : x x + x + a) Conjecturer, à l'aide de la calculatrice, l'existence d'un extremum pour f b) Montrer que la fonction x x + x + admet un maximum en une valeur que l'on précisera c) Démontrer la conjecture émise en a) Solution : 1) Pour que cette expression soit définie, il faut et il suffit que x + x + 0 On calcule le discriminant : = 1 4 ( 1) = 9 Comme > 0, le trinôme x + x + a deux racines : x 1 = 1 3 Méthode : La fonction racine carrée est définie sur [0 ; +[ = et x = = 1 On peut alors conclure : D = [ 1 ; ] Si > 0, alors ax + bx + c est du signe de a pour toutes les valeurs de x, sauf celles situées entre les deux racines ) a) Avec la calculatrice, il semble que f admet un maximum en 0,5 et que ce maximum vaut 1,5 b) La fonction x x + x + est «d'abord croissante, puis décroissante», donc elle admet un maximum Ce maximum est atteint en 1 ( 1) = 1 et vaut =,5 c) D'après b), pour tout x [ 1 ; ], on a : Une fonction polynôme de degré est «d'abord croissante, puis décroissante» quand a < 0 Le sommet de la parabole représentant une fonction trinôme x ax + bx + c a pour abscisse b a La fonction racine carrée est croissante sur x + x +,5 et l'égalité est vérifiée pour x = 1 [0 ; +[, donc des nombres positifs et leurs racines carrées sont rangés dans le même D'où : pour tout x [ 1; ], x ordre + x +,5 Ainsi, pour tout x [ 1 ; ], on a : f (x) 1,5 avec f 1 = 1,5, ce qui prouve la conjecture émise en a) Exercice n 6 page 53 Déterminer, dans chacun des cas suivants, l'ensemble des nombres réels x pour lesquels l'expression est définie : a) x + 5 ; b) 0,5x 7 ; c) 3x + 1 ; d) 1,5x 9 Dans tout l exercice, on note D l'ensemble des nombres réels x pour lesquels l'expression est définie a) x + 5 existe si, et seulement si, x + 5 0, soit x 5, donc sur D = [,5, +[ b) 0,5x 7 existe si, et seulement si, 0,5x 7 0, soit x 14, donc sur D = [14, +[ c) 3x + 1 existe si, et seulement si, 3x + 1 0, soit x 1 3, donc sur D = ], 1 3 ] d) 1,5x 9 existe si, et seulement si, 1,5x 9 0, soit x 6, donc sur D = ], 6]

10 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 10 sur 30 Exercice n 8 page 53 Déterminer, dans chacun des cas suivants, l'ensemble des nombres réels x pour lesquels l'expression est définie : a) f : x x + x + 5 ; b) g : x 3x 5x + a) f (x) existe si, et seulement si, x + x Étudions le polynôme x + x + 5 : on a = = 19, donc x + x + 5 > 0 pour tout réel x f est définie sur D f = IR b) g (x) existe si, et seulement si, 3x 5x + 0 Étudions le polynôme 3x 5x + : on a = ( 5) 4 ( 3) = 49, il y a deux racines : = 1 3 et = 1 x + 3 3x 5x g est définie sur D g =, 1 3 Exercice n 9 page 53 L'écran de calculatrice suivant amène à conjecturer que la fonction f : x 3x 5x + admet un maximum en 0,83 Démontrer cette conjecture f (x) est définie sur D f =, 1 (voir exercice 8b)) 3 La fonction x 3x 5x + est croissante, puis décroissante, donc elle admet un maximum atteint 5 en ( 3) = 5 6 valant : = 49 1 Ainsi, pour tout x dans, 1 3, 3x 5x avec égalité si x = 5 6 x 3x 5x + 3x 5x + En appliquant la racine carrée, on obtient f (x) avec égalité si x = 0,83, ce qui prouve la conjecture émise 6 6 Exercice n 5 page 7 Utiliser les variations des fonctions de référence Voir les savoir-faire, pages 51 et 53 4 On considère la fonction g définie sur IR {1} par : x x 1 1) a) Déterminer les variations de g sur ]1 ; +[ 1) a) Soient deux réels a et b tels que 1 < a < b, on Autre méthode : obtient successivement : x < a 1< b 1 1 a 1 > 1 b 1 > 0 x 1 4 a 1 > 4 b 1 > 0 1 x 1 4 a 1 > 4 b 1 > g(a) > g(b) >, donc g est décroissante sur ]1 ; +[ 4 x 1 4 x 1 b) En déduire que si x ]1 ; 3], g(x) 0 b) Si x ]1 ; 3], g(x) g(3), soit g(x) 0 x 1 3 c) Que peut-on dire du signe de g(x) si x < 1? c) Si x < 1, on a successivement : x 1 < g(x)

11 1 x 1 < 0 4 x 1 < 0 4 x 1 < g(x) <, 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 11 sur 30 donc g(x) est négatif 4 ) Justifier que la fonction f : x n'est définie que sur l'intervalle ]1 ; 3] x 1 Méthode : Pour l'ensemble de définition : la fonction inverse est définie sur IR \ {0} et la fonction racine carrée sur l'intervalle ]0 ; +[ 4 ) Pour que existe, il faut que x 1 0, soit x 1 x 1 Et pour que f (x) existe, il faut que g(x) 0, soit, d après la question 1), 1 < x 3 Finalement f (x) n'est définie que sur l'intervalle ]1 ; 3] 3) Étudier les variations de f sur l'intervalle ]1 ; 3] Méthode : Pour les variations, utiliser la méthode suivante : prendre des réels a et b tels que 1 < a b et comparer g(a) et g(b) en justifiant chaque étape par les variations d'une fonction de référence Faire de même pour f (a) et f (b) en imposant de plus 1 < a b 3 3) Soient deux réels a et b tels que 1 < a < b 3 Comme g est décroissante sur ]1 ; 3[, alors g(a) g(b) 0 Comme la fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +[, alors g(a) g(b), soit f (a) > f (b) Donc f est décroissante sur l intervalle ]1 ; 3] Exercice n 40 page 63 QCM Pour chacune des questions suivantes, indiquer l'unique bonne réponse 1) La fonction f : x 3 x peut être définie sur : a) [0 ; +[ b) [3 ; +[ c) ] ; 3] ) La fonction f : x x + 1 peut être définie sur : a) [ 1 ; +[ 1 b) [ ; +[ c) ] ; 1 ] 1) 3 x existe pour 3 x 0, soit x 3 Réponse c ) x + 1 existe pour x + 1 0, soit x 1 Réponse b Exercice n 4 page 63 Vrai ou faux? 1) La fonction f : x x 3x 4 peut être définie sur [ 1 ; 4] ) La fonction f : x x + 3x + 4 peut être définie sur [ 1 ; 4] 3) La fonction f : x x 3x + 4 peut être définie sur IR 1) Étudions x 3x 4 : on a : = = 5, il y a deux racines : 3 5 = 1 et x x 3x Faux ) On remarque que x + 3x + 4 = (x 3x 4), d après la question précédente : x x + 3x Vrai 3) Étudions x 3x + 4 : on a : = 9 16 = 7, donc x 3x + 4 > 0 sur IR Vrai Exercice n 43 page 63 Déterminer le plus grand ensemble de définition possible pour la fonction f dans chacun des cas suivants a) f (x) = x + 1 x 1 ; b) f (x) = x x c) f (x) = x x 3 5x + 6 d) f (x) = 1 ; x + 5 ; e) f (x) = x x Dans tout l exercice, on note D f l ensemble de définition possible pour la fonction f = 4

12 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 1 sur 30 a) f (x) existe pour x x 1 0, soit x 1, soit encore x 1 x 1 Finalement D f = [1, +[ b) f (x) existe pour x x 1 0, soit x 1 0, soit encore x 1 ou x 1 Finalement D f = ] ; 1] [1 ; +[ = IR ] 1, 1[ c) f (x) existe pour x 5x Étudions ce polynôme : = 5 4 = 1, il y a deux racines : 5 1 Finalement D f = ] ; ] [3 ; +[ = IR ], 3[ d) f (x) existe pour Finalement D f = [3, +[ e) f (x) existe pour x 3 0 x + 5 0, soit x 3, soit encore x 5 x 3 x x x x 0 0 = et x 0 + x x x x Finalement D f = ]0, ] + 0 Exercice n 44 page 63 Que se passe-t-il lorsque l'on veut afficher à la calculatrice la courbe représentative de la fonction : f : x x 5 x + 3? Expliquer f (x) existe si, et seulement si : x 5 0 x + 3 > 0, soit x 5, ce qui est impossible La calculatrice ne trace rien x < 3 Exercice n 45 page 63 On considère la fonction définie sur l'intervalle [ ; +[ par f : x x + 1 1) Démontrer que f est croissante sur l'intervalle [ ; +[ ) Dresser le tableau de variations de cette fonction 3) Résoudre l'équation f (x) = 4 1) On considère deux réels quelconques a et b tels que a < b On a successivement 0 a + < b +, ) puis a + < b +, puis a + 1 < b + 1 ; donc f (a) < f (b), donc f est croissante sur [ ; +[ = 3 3) f (x) = 4 équivaut à : x + 1 = 4 x + = 5 Or x + et 5 sont positifs, donc x + = 5 équivaut à : x + = 5 x = 5 x = 3 Exercice n 47 page 64 On considère la fonction f définie sur l'intervalle [3 ; +[ par : x x 3 1) Démontrer que f est décroissante sur [3 ; +[ ) Démontrer que f admet un maximum que l'on précisera Pour quelle valeur de x est-il atteint? 3) Résoudre l'équation f (x) = 0

13 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 13 sur 30 1) On considère deux réels quelconques a et b tels que 3 a < b On a alors successivement : 0 a 3 < b 3 a 3 < b 3 a 3 > b 3 a 3 + > b 3 + f (a) > f (b) Donc f est décroissante sur [3 ; +[ ) Comme f est décroissante sur [3 ; +[, pour tout x 3, on a : f (x) f (3), soit : f (x) Le maximum de f est, il est atteint pour x = 3 3) f (x) = 0 équivalent à : x 3 = 0 x 3 = x 3 = (car x 3 et sont positifs) x = x = 7 Exercice n 48 page 64 On considère l'algorithme ci-contre Voir les Outils pour l'algorithmique, page 8 1) Tester cet algorithme pour les valeurs suivantes de x : 1, 0, 1,, 3, 5 ) Expliquer les réponses obtenues pour les valeurs 1, 0 et 1 de x 3) Déterminer l'expression algébrique, donnant y en fonction de x, définie par cet algorithme, ainsi que l'ensemble D des réels x pour lesquels elle est définie 4) Démontrer que la fonction définie sur D par x y est décroissante 1) Valeurs testées Valeurs obtenues impossible impossible impossible 1,414 1 ) Comme on calcule x 1 qui est au dénominateur, on doit avoir x 1 > 0, c est-à-dire x > 1 3) f : x x 1 définie sur D = [1, +[ 4) On considère deux réels quelconques a et b tels que 1 < a < b On a alors successivement : 0 < a 1 < b 1 a 1 < b 1 a 1 < b 1 1 a 1 > 1 b 1 a 1 > b 1 f (a) > f (b) Donc f est décroissante sur [1 ; +[ Exercice n 74 page 67 f (x) = x si 0 x 1 On considère la fonction f définie sur [0 ; +[ par : f (x) = 1 x si x 1 1) Dresser le tableau des variations de f Justifier que la fonction f admet sur l'intervalle [0 ; +[ un maximum que l'on précisera Pour quelle valeur de x est-il atteint? ) Résoudre l'équation f (x) = 1

14 1) 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 14 sur 30 La fonction f est croissante puis décroissante, donc elle admet un maximum Ce maximum vaut 1 et il est atteint pour x = 1 ) Si 0 x 1, f (x) = 1 équivaut à : x = 1, soit à : x = 1 4 Si x 1, f (x) = 1 équivaut à : 1 x = 1, soit à : x = Donc l ensemble des solutions est : S = 1 4, Exercice n 75 page 67 On considère la fonction f définie sur [0 ; +[ par f (x) = a x + b, où a et b sont deux réels fixés On donne f (4) = 0 et f (1) = 1) Calculer les réels a et b f (4) = a + b = 0 1) f (1) = a + b = équivalent à : a + b = 0 ; b = 4 a = a = ) Démontrer que f est décroissante sur l'intervalle [0 ; +[ ) On a f (x) = x + 4 On considère deux réels quelconques a et b tels que 0 a < b On a alors successivement : 0 a < b a > b a + 4 > b + 4 f (a) > f (b) Donc la fonction f est décroissante sur l intervalle [0 ; +[ 3) Dresser le tableau de variations de f 3) 4) Résoudre l'équation f (x) = 0 4) x + 4 = 0 équivalent à : x = 4 x = x = 4 Exercice n 79 page 67 On considère la fonction f définie sur IR par : f (x) = x + 1 1) Démontrer que f est croissante sur l'intervalle [0 ; +[ et décroissante sur l'intervalle ] ; 0] 1) On considère deux réels quelconques a et b tels que 0 a < b On a successivement : 0 a < b 1 a + 1< b a + 1< b + 1 a + 1< b + 1 f (a) < f (b) Donc f est croissante sur [0 ; +[ On considère deux réels quelconques a et b tels que a < b 0 On a successivement : 0 b < a 1 b + 1< a b + 1< a b + 1< a + 1 f (a) > f (b) Donc f est décroissante sur ] ; 0] ) En déduire que f admet un minimum que l'on précisera Pour quelle valeur de x est-il atteint? ) La fonction f est décroissante puis croissante, donc elle x 0 +

15 admet un minimum 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 15 sur 30 Ce minimum est atteint pour x = 0 et il vaut f (0) = 3) Résoudre les équations f (x) = 1 et f (x) = 3 3) L équation f (x) = 1 n a aucune solution puisque le minimum atteint par f est L ensemble solution est S = f (x) = 3 équivalent à : x + 1 = 3 x + 1 = 3 f (x) x + 1 = 9 4 x = x = ou x = 5 L ensemble solution est S = 5, 5 Activité n page 48 : Étudier des positions relatives de courbes Les positions relatives de deux courbes peuvent illustrer de nombreuses études sociologiques Soit P F la proportion des femmes vivant seules à un âge donné et P H la proportion d'hommes vivant seuls à un âge donné 1) a) Pour un âge donné, supérieur à 60 ans, quel est le signe de la différence P F P H? b) Pour un âge compris entre 30 et 50 ans, quel est le signe de la différence P F P H? c) Comment s'obtiennent ces deux résultats à partir des courbes ci-contre? Proportion de personnes vivant seules 1) a) P F P H > 0 Source : Recensement de la population de 1999, INSEE b) P F P H < 0 c) Après 60 ans la courbe de P F est au-dessus de celle de P H, et entre 30 et 50 elle est en dessous ) A l'aide de la calculatrice, conjecturer les positions relatives des courbes représentatives des fonctions : x x, x x et x x sur l'intervalle [0 ; +[ Voir les fiches calculatrices, page 394 ) On conjecture que sur [0 ; 1] la courbe de x x est en dessous de celle de x x, elle-même en dessous de celle de x x, et que sur [1 ; +[ les positions sont inversées 3) a) Factoriser x x ; en déduire le signe de x x sur chacun des intervalles [0 ; 1] et [1 ; +[ 3) a) x x = x(x 1) 4) 4) x x x x x b) L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse : «le carré d'un nombre positif est toujours supérieur à ce nombre»? b) D après la question 1), sur [0 ; 1], on a x x 0, soit x x L affirmation est fausse a) Vérifier que, pour tout réel strictement positif x, x x = x x x + x a) x x = ( x x )( x + x) x + x = x x x + x b) En déduire le signe de x x sur chacun des intervalles ]0 ; 1] et [1 ; +[

16 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 16 sur 30 b) x x x x + x x x ) Démontrer les conjectures émises à la question ) en utilisant les résultats des questions 3) et 4) 5) x x x Sur [0 ; 1], x x, et sur [1 ; +[, c est le contraire x x x Sur [0 ; 1], x x, et sur [1 ; +[, c est le contraire Finalement : sur [0 ; 1], x x x, donc la courbe de x x est en dessous de celle de x x, elle-même en dessous de celle de x x Sur [1 ; +[, c est le contraire Comparaison des réels x, x et x, pour x 0 PROPRIÉTÉS 5 Si 0 x 1, alors : x x x Si x > 1, alors : x x x Démonstration : Voir la démonstration à l'activité, page 48 Conséquence : Positions relatives des courbes représentatives des fonctions : x x, x x et x x Sur l'intervalle [0 ; 1], la courbe représentant la fonction carré est en-dessous de la droite d'équation y = x, qui est elle-même endessous de la courbe représentant la fonction racine carrée Sur l'intervalle [1 ; +[, les positions de ces trois courbes sont inversées Remarques : Sur la figure, les points de coordonnées (0 ; 0) et (1 ; 1) sont communs aux trois courbes (Voir le problème 100, p 71) On a vu que si un nombre appartient à l'intervalle [0 ; 1], il est supérieur à son carré, et inférieur à sa racine carrée! Exercice résolu n 18 page 57 Approximation par une fonction polynôme On considère les fonctions f et g définies sur l'intervalle [ 1; ] par : f (x) = 1 + x et g(x) = x 1 8 x On a tracé leurs courbes représentatives C f et C g dans un repère orthogonal (voir cicontre) 1) Démontrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [ 1 ; ] Dresser son tableau de variations ) Dresser le tableau de variations de la fonction g sur l'intervalle [ 1 ; ] 3) À l'aide de la figure ci-contre, conjecturer la position relative des deux courbes 4) Faire afficher par la calculatrice, la distance entre f (x) et g(x) pour x variant de 0,4 à 0,6 avec un pas de 0,1 Que constate-t-on pour cette distance? 1) On considère deux réels quelconques a et b tels que : 1 a b Pour les variations de f, on On a : a 1 + b 3 ; d'où : a 1 + b 3, et donc f (a) < f (b) La fonction f est croissante sur l'intervalle [ 1; ] ) On calcule b a = 1 8 = Dans l'expression de g(x), le coefficient de x, 8 est négatif ; donc la fonction g est croissante sur l'intervalle ] ; ], donc aussi sur l'intervalle [ 1; ] revient à la définition et on utilise la croissance de la fonction racine carrée sur l'intervalle [0 ; +[ Pour les variations de g, on utilise le fait qu'une fonction polynôme P définie par P(x) = ax + bx + c avec a < 0 est croissante sur l'intervalle ] ; b ] et décroissante sur a l'intervalle [ b a ; +[

17 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 17 sur 30 3) On peut conjecturer que C g est au-dessus de C f sur [ 1 ; 0] et au-dessous sur [0 ; ] 4) Le tableau des valeurs de f (x) g(x) montre que la distance entre deux points de même abscisse sur chaque courbe est inférieure à 0,01, pour chacune des valeurs calculées Avec les outils développés au chapitre 4, on pourra prouver ce résultat pour tout réel x de l'intervalle [ 0,4 ; 0,6] La distance est la valeur absolue de la différence entre f (x) et g(x) Exercice n 0 pages Déduire une courbe d une autre 1 On considère la fonction f définie sur IR \ {3} par : f (x) = + x 3 La représentation graphique C de la fonction f est tracée ci-après dans un repère orthonormé (O ; I, J) En pointillés rouges apparaît la courbe représentative F de la fonction inverse : x 1 x Le but de l'exercice est de montrer que la courbe représentative de f s'obtient à partir de celle de la fonction inverse par une transformation particulière que l'on précisera 1) Par lecture graphique, conjecturer la transformation qui permet de passer de F à C On pourra utiliser du papier-calque ) On place le point A(3 ; ) et les points K et L tels que OI = AK et OJ = AL Le repère (A ; K, L) est donc un autre repère orthonormé du plan Soit M un point du plan, on note (x ; y) ses coordonnées dans le repère (O ; I, J) et (X ; Y) ses coordonnées dans le repère (A ; K, L) À partir de l'égalité : OM = OA + AM, démontrer que : x = X + 3 y = Y + 1 3) On sait que : M(x ; y) C équivaut à y = + et cette relation, liant x 3 les coordonnées (x ; y) de M dans le repère (O ; I, J), est appelée équation de C dans le repère (O ; I, J) Déterminer une équation de C dans le repère (A ; K, L) 4) Conclure en précisant la nature de la courbe C et préciser la transformation à effectuer sur F pour obtenir C 1) La transformation qui permet de passer de F à C semble être une translation ) OM(x ; y) ; OA(3 ; ) ; AM(X ; Y) Comme OM = OA + AM, alors x = X + 3 y = Y + 3) Comme x = X + 3 y = Y +, alors X = x 3 Y = y 1 Donc y = + x 3 équivaut à : Y + = + 1 x, soit à : Y = 1 x 4) C est une hyperbole La transformation qui permet de passer de F à C est la translation de vecteur OA Exercice n 41 page 63 Vrai ou faux? 1) Deux nombres positifs et leurs racines carrées sont toujours rangés dans le même ordre ) Un réel positif est toujours supérieur à sa racine carrée 3) Si a 0, alors a a 4) La fonction f : x x est croissante sur [0 ; +[ 1) Comme la fonction est strictement croissante sur [0 ; +[, alors : si 0 a < b, alors 0 a < b L affirmation est vraie ) 0,5 = 0,5 et 0,5 < 0,5 L affirmation est fausse 3) 0,5 = 0,15 et 0,5 = 0,5, d où 0,5 < 0,5 L affirmation est fausse

18 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 18 sur 30 4) Soit deux réels a et b tels que 0 a < b, alors 0 a < b, puis 0 a > b, soit 0 f (a) > f (b) L affirmation est fausse Exercice n 46 page 63 On a représenté graphiquement dans un repère les fonctions, f, g, h, k définies par : f (x) = x +, g(x) = x, h(x) = x, k(x) = x + 1 Associer à chacune de ces fonctions la courbe représentative qui lui correspond f est définie sur D f = [ ; +[, donc elle est représentée par la courbe orange C 3 g est définie sur D g = ] ; ], donc elle est représentée par la courbe bleue C h est définie sur D h = [0 ; +[, donc elle est représentée par la courbe rouge C 4 k est définie sur D k = IR, donc elle est représentée par la courbe violette C 1 Exercice n 70 page 66 On a représenté graphiquement dans un repère orthonormé les fonctions f et g définies sur ]0 ; +[ par : f (x) = 1 x et g(x) = 1 x 1) Conjecturer à l'aide du dessin la position relative de ces deux courbes ) Démontrer cette conjecture 1) On conjecture que C f est au-dessus de C g sur l intervalle ]0 ; 1] et en dessous sur l intervalle [1 ; +[ ) Sur ]0 ; 1] : D après le cours, on sait que pour tout x appartenant à ]0 ; 1], on a x x, d où 1 x 1 x Donc C f au-dessus de C g Sur [1 ; +[ : De même, pour tout x de [1 ; +[, on a x x, d où 1 x 1 x Donc C f en dessous de C g Exercice n 71 page 66 On veut résoudre l'équation (E) : x = x 1 1) Tracer sur l'écran de la calculatrice les courbes représentatives des fonctions x x et x x 1 ; conjecturer le nombre de solutions de l'équation (E) et une valeur approchée de chaque solution 1) Par lecture graphique, on conjecture qu il n y a qu une solution qui vaut environ,6 ) Démontrer que si x < 1, x ne peut pas être solution de cette équation ) Si x < 1, alors x 1 < 0 et x > 1 Donc si x < 1, il n y a pas de solution 3) On suppose x 1 Démontrer que l'équation (E) est alors équivalente à l'équation : x 3x + 1 =0 3) Si x 1, les deux membres de l équation étant positifs, on élève au carré, on obtient une équation équivalente : x = (x 1) qui équivaut à :

19 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 19 sur 30 x = x x + 1 x 3x + 1 = 0 4) Résoudre cette deuxième équation Écrire l'ensemble S des solutions de l'équation (E) 4) = 9 4 = 5, donc il y a deux solutions à cette équation : x 1 = 3 5 et x = Or x 1 < 1, donc il ne peut pas être solution d après 1) Finalement, seul x est solution : S = Exercice n 0 pages Déduire une courbe d une autre 1 On considère la fonction f définie sur IR \ {3} par : f (x) = + x 3 La représentation graphique C de la fonction f est tracée ci-après dans un repère orthonormé (O ; I, J) En pointillés rouges apparaît la courbe représentative F de la fonction inverse : x 1 x Le but de l'exercice est de montrer que la courbe représentative de f s'obtient à partir de celle de la fonction inverse par une transformation particulière que l'on précisera 1) Par lecture graphique, conjecturer la transformation qui permet de passer de F à C On pourra utiliser du papier-calque ) On place le point A(3 ; ) et les points K et L tels que OI = AK et OJ = AL Le repère (A ; K, L) est donc un autre repère orthonormé du plan Soit M un point du plan, on note (x ; y) ses coordonnées dans le repère (O ; I, J) et (X ; Y) ses coordonnées dans le repère (A ; K, L) À partir de l'égalité : OM = OA + AM, démontrer que : x = X + 3 y = Y + 1 3) On sait que : M(x ; y) C équivaut à y = + et cette relation, liant x 3 les coordonnées (x ; y) de M dans le repère (O ; I, J), est appelée équation de C dans le repère (O ; I, J) Déterminer une équation de C dans le repère (A ; K, L) 4) Conclure en précisant la nature de la courbe C et préciser la transformation à effectuer sur F pour obtenir C 1) La transformation qui permet de passer de F à C semble être une translation ) OM(x ; y) ; OA(3 ; ) ; AM(X ; Y) Comme OM = x i + y j OA = 3 i + j, alors OM = OA + AM équivaut à : x i + y j = (3 + X) i + ( + Y) j, soit : x = X + 3 AM = X i + Y y = Y + j 3) Comme x = X + 3 y = Y +, alors y = + 1 x 3 équivaut à : Y + = + 1 X + 3 3, soit à : Y = 1 X 4) C est une hyperbole La transformation qui permet de passer de F à C est la translation de vecteur OA 3 LA FONCTION VALEUR ABSOLUE 31 Définition et notation DÉFINITION 5 La fonction valeur absolue est la fonction f définie sur IR par : si x 0, alors f (x) = x ; si x 0, alors f (x) = x NOTATION La valeur absolue d'un nombre réel x se note x On a donc : x = x si x est positif et x = x si x est négatif Conséquences : 1) Pour tout nombre réel x, x 0 ) x = 0 équivaut à x = 0

20 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 0 sur 30 3) Deux nombres réels opposés ont la même valeur absolue : pour tout nombre réel x, x = x 4) Deux nombres réels ont la même valeur absolue si, et seulement si, ils sont égaux ou opposés : x = y équivaut à x = y ou x = y 5) Pour tout nombre réel x, x = x Démonstration : Voir les démonstrations à l'exercice 63, page 65 Exercice n 10 page 55 Écrire sans valeurs absolues les nombres suivants : a) ; b) 1,407 1,408 ; c) 3,14 ; d) 3 a) = = 7 b) 1,407 1,408 = 0,001 = 0,001 c) 3,14 = 3,14 d) 3 = 3 Exercice n 53 page 64 Effectuer les calculs suivants : A= 3 ; B = ; A= 3 = 5 = 5 C = ; D = 1 3 ; C = = = 15 E = ; F = E = = = 6 B = = 3 = 3 Exercice n 54 page 65 Effectuer les calculs suivants : D = 1 3 = 4 = 4 F = = 4 4 = 0 A = 3 1 ; B = ; C = ; D = 0,1 0,01 ; E = 1 3 0,33 A = 3 1 = 1 3 B = = 1 1 C = = 5 3 D = 0,1 0,01 = 0,09 Exercice n 55 page 65 Exprimer les calculs suivants sans utiliser les barres de valeur absolue : A = 3 4 A = 3 4 E = 1 3 0,33 = ; B = ; C = 3 6 ; D = + 1 ; E = = 3 4 B = = C = 3 6 = D = + 1 = 1 E = = Exercice n 6 page 7 Écrire une expression sans utiliser les barres de valeur absolue Voir le savoir-faire, page 55 On considère la fonction f définie sur IR par : f (x) = x + 3 x 1) Écrire, selon les valeurs de x, l'expression de f (x) sans utiliser les barres de valeur absolue ) En déduire le tableau des variations de f 3) Résoudre dans IR l'inéquation f (x) 0 Méthode : A = A si A > 0 et A = A si A < 0 ; on obtient trois expressions de f (x) selon que x 3 ou 3 x ou x 1) Si x 3 : x 3 + f (x) = x 3 ( x) = 5 x x + 3 x 3 0 x + 3 x + 3 Si 3 x : x f (x) = x + 3 ( x) = x + 1 x x x 0 x Si x : f (x) 5 5 x f (x) = x x = 5

21 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 1 sur 30 ) Sur les intervalles ] ; 3] et x 3 + [ ; +[, f est constante ; sur 5 l intervalle [ 3 ; ], f f (x) est une 5 fonction affine croissante 3) Sur ] ; 3], f (x) = 5, donc toutes les valeurs sont solutions Sur [ ; +[, f (x) = 5, donc aucune valeur n est solution Sur ] 3 ; [, f (x) = x + 1, et, x équivaut à : x 1, donc les valeurs dans ] 3 ; 1 ] sont solutions Finalement, l ensemble des solutions est : ], 1 ] Exercice n 5 page 61 Dans chacun des cas suivants, indiquer l'unique bonne réponse x désigne un réel quelconque 1) 10 8 a) b) 6 c) 6 ) 3 = a) 5 b) 1 c) 1 3) 5 + ( 3) = a) 34 b) c) 8 4) x + x = a) x b) x c) 0 5) (x + 1) = a) x + 1 b) x + 1 c) x + 1 1) b ) c 3) a 4) a 5) b Exercice n 51 page 64 QCM Pour chacune des questions suivantes, indiquer l'unique bonne réponse On considère des équations dans IR 1) L'équation x = 3 a pour ensemble de solutions : a) b) { 3 ; 3} c) {3} ) L'équation x = 3 a pour ensemble des solutions : a) { 3} b) { 3 ; 3} c) 0 3) L'équation x + 1 = a pour ensemble de solutions : a) b) { 3 ; + 1} c) [ 1 ; +[ 4) L'équation x 1 = 1 a pour ensemble de solutions : a) b) {0} c) {0 ; 1} 1) Réponse b ) Réponse b 3) Réponse a 4) Réponse c Exercice résolu n 17 page 56 Etude d une fonction avec des valeurs absolues On considère la fonction f définie sur IR par f (x) = x + x 4 1) Déterminer, suivant les valeurs de x, l'expression de x, de x 4 puis de f (x), sans utiliser les «barres» de valeur absolue 1) Si x 0, on a x = x ; si x 0, on a x = x Pour transformer x 4 il faut étudier le signe de (x 4) x 4 = 0 équivaut à x = ; comme la fonction x x 4 est croissante, on a : - si x, alors x 4 0, donc x 4 = x + 4 ; - si x, alors x 4 0, donc x 4 = x 4 Remarque : la fonction f est dite affine par intervalles On détermine le signe de chaque quantité placée entre les barres de valeur absolue, pour pouvoir appliquer la règle de transformation suivante : Pour tout réel positif A, A = A Pour tout réel négatif A, A = A On construit un tableau de synthèse des différents résultats obtenus : attention à l'ordre croissant des valeurs de x!

22 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page sur 30 ) Déterminer le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variations ) 3) Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthogonal 3) La représentation graphique d'une fonction affine est une droite, donc celle de f est une réunion de demidroites ou de segments La fonction affine x ax + b est croissante si a est positif, décroissante si a est négatif Exercice n 11 page 55 Écrire sans valeurs absolues, suivant les valeurs du réel x, les expressions suivantes : a) f (x) = x ; b) g(x) = x + + x 1 a) b) Exercice n 57 page 65 Dans chaque cas, écrire l'expression E sans utiliser les barres de valeur absolue et en tenant compte de l'hypothèse donnée sur x, puis simplifier au maximum : a) x 1 ; E = x 1 + x x + ; b) x 0 ; E = x x + x 1 ; 3 c) x 0 ; E = x + x x a) E = (x 1) + x (x + ) = 5 x 1 + x x + x + + b) E = 3 x ( x) + ( x + 1) = 5 3 x x 0 3 x + x x 1 c) E = (x) + (x + 1) + (3 + x) = 5x + 5 x 0 + x + x x Exercice n 58 page 65 Dans chaque cas, écrire l'expression E sans utiliser les barres de valeur absolue et en tenant compte de l'hypothèse donnée sur x, puis simplifier au maximum : a) x [0 ; 1] ; E = x 1 + x ; b) x [ ; 3] ; E = 5 x + 1 x x ; c) x [ ; 1] ; E = x + x + 3 x a) E = ( x + 1) + x = 1 x 0 1 x 1 0 x + b) E = (5 x) + ( 1 + x) x = 4 x x 3 5 x + 1 x x +

23 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 3 sur 30 c) E = ( x) + ( x) + (3 x) = 3x + 3 x 1 x + x 3 x + Exercice n 59 page 65 Résoudre algébriquement dans IR les équations suivantes : a) x = 4 ; b) x = 3 ; c) x + x = 1 ; d) x 5 = 3 ; e) x + 1 = 7 ; f) x + 5 = 8 x Dans tout l exercice, on note S l ensemble des solutions a) S = { 4, 4} b) S = c) Si x 0, l équation équivaut à : x = 1 Si x 0, l équation équivaut à : 3x = 1, soit à : x = 1 3, ce qui est impossible Finalement S = { 1} x 0 + x x 0 x x + x x 0 3x d) Si x 5, l équation équivaut à : 5 x = 3, soit à : x = x 5 + x 5 5 x 0 x 5 Si x 5, l équation équivaut à : x 5= 3, soit à : x = 8 e) Finalement S = {, 8} Si x 1 1, l équation équivaut à : x 1 = 7, soit à : x x = 4 x + 1 x 1 0 x + 1 Si x 1, l équation équivaut à : x + 1= 7, soit à : x = 3 Finalement S = { 4, 3} f) x x + 5 x 5 0 x + 5 x x 8 x 8 x 0 x 8 Si x 5, l équation équivaut à : x 5 = 8 x, soit à : 5 = 8 ; il n y a pas de solution Si 5 < x < 8, l équation équivaut à : x + 5 = 8 x, soit à : x 3 = 0, ou encore à : x = 3 + Si x 8, l équation équivaut à : x + 5 = x 8, soit à : 5 = 8 ; il n y a pas de solution Donc S = 3 3 Variations et représentation graphique PROPRIÉTÉ 6 La fonction valeur absolue est décroissante sur ] ; 0] et croissante sur [0 ; +[ La représentation graphique de la fonction valeur absolue est la réunion de deux demi-droites Démonstration : La fonction x x est une fonction affine décroissante et la fonction x x une fonction affine croissante D'où le tableau de variations et la représentation graphique ci-contre

24 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 4 sur 30 Remarque : Dans un repère orthogonal, la représentation graphique de la fonction valeur absolue est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées Exercice n 86 page 68 On considère la fonction f définie sur IR par : f (x) = x 5 On appelle C f sa courbe représentative dans un repère orthonormé 1) Exprimer f (x) sans utiliser les barres de valeur absolue suivant les valeurs de x dans IR ) Dresser le tableau de variations de f 3) Tracer la courbe C f 1) Si x 5, f (x) = x 5 ) Si x 5, f (x) = x + 5 3) Exercice n 88 page 68 On considère la fonction f définie sur IR par : f (x) = x + x 3 On appelle C f sa courbe représentative dans un repère orthonormé 1) Exprimer f (x) sans utiliser les barres de valeur absolue suivant les valeurs de x dans IR ) Dresser le tableau de variations de f 3) Tracer la courbe 1) Si x 0, f (x) = x x + 3 = 3x + 3 x x x 0 x x Si 0 x 3, f (x) = x x + 3 = x + 3 x 3 x + 3 x x 3 Si x 3, f (x) = x + x 3 = 3x 3 f (x) 3x x x 3 ) 3) Exercice n 89 page 68 On considère la fonction f définie sur IR par : f (x) = x + 3x 4 On appelle C f sa courbe représentative dans un repère orthonormé 1) Exprimer f (x) sans utiliser les barres de valeur absolue suivant les valeurs de x dans IR ) Dresser le tableau de variations de f 3) Tracer la courbe

25 1) Si x, f (x) = x 6 ) 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 5 sur 30 Si x 4, f (x) = 4x 3 Si x 4, f (x) = 6 x 3 x 4 3 x + x 0 x + x + 3x 4 3x + 4 3x x 4 f (x) x x x + 3) Exercice n 1 page 55 Pour chaque fonction f et g définie dans l'exercice 11 : f (x) = x ; g(x) = x + + x 1 a) établir le tableau de variations ; b) tracer la représentation graphique a) x + f (x) x 0 x x 1 x + x 0 x + x + x 1 1 x 1 x 0 x 1 g(x) 3x x 5 3x b) Exercice n 3 page 61 Dans chacun des cas suivants, indiquer l'unique bonne réponse 1) La fonction inverse : a) est décroissante sur IR b) admet un minimum sur ]0 ; +[ c) est décroissante sur ]0 ; +[ ) La fonction carré : a) est positive sur IR b) est croissante sur IR c) admet un maximum sur IR 3) La fonction affine x ax + b avec a < 0 et b > 0 : a) change de signe b) est représentée par une droite passant c) est croissante sur IR

26 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 6 sur 30 par l'origine du repère 4) La fonction racine carrée : a) est définie sur IR b) admet un minimum sur [0 ; +[ 5) La fonction valeur absolue : a) prend des valeurs négatives sur ] ;; 0] 1) c ) a 3) a 4) b 5) c c) change de signe b) est croissante sur IR c) admet un minimum sur IR Exercice n 4 page 61 Pour chacune des questions suivantes, indiquer la (ou les) bonne(s) réponse(s) 1) Pour tout réel x tel que 0 a) x x b) x x x 1 : c) x x ) Pour tout réel x négatif : a) x + x = x b) x + x = 0 c) x + x = x 3) La fonction x x + 3 a) ne s'annule pas sur IR b) a un minimum égal à 3 c) est «décroissante, puis croissante» 4) L'équation x 5 = 3 : a) n'admet aucune solution dans IR b) admet une unique solution dans IR c) admet deux solutions dans IR 5) L'équation x + 3 = : a) admet deux solutions positives b) admet deux solutions négatives c) admet deux solutions de signes contraires 6) La fonction f définie par f (x) = x : 1) a et c ) b et c 3) c 4) c 5) b 6) a et b a) est définie sur l'intervalle [ 1 ; +[ Exercice n 6 page 65 On a tracé avec un logiciel de géométrie dynamique les représentations graphiques des fonctions suivantes : f : x x 1 + x + ; g : x x 1 + x ; h : x x x + ; k : x x x Associer chaque courbe à la fonction qu'elle représente b) est croissante sur son ensemble de définition c) ne prend que des valeurs négatives f est associée à la courbe C ; g est associée à la courbe C 4 ; h est associée à la courbe C 1 ; k est associée à la courbe C 3 Exercice n 64 page 65 Représenter graphiquement dans un repère du plan l'ensemble des points M(x ; y) dans les cas suivants : a) x 3 ; b) y 4 ; c) x 1 ; d) y + 1 a) On obtient la bande de plan «verticale» limitée par les droites d'équations x = 3 et x = 3 b) On obtient la bande de plan «horizontale» limitée par les droites d'équations y = 4 et y = 4 c) On obtient la bande de plan «verticale» limitée par les droites d'équations x = 1 et x = 3 d) On obtient la bande de plan «horizontale» limitée par les droites d'équations y = 3 et y = 1

27 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 7 sur 30 Exercice n 96 page 70 Valeur absolue d'une fonction Utiliser la méthode du problème 95 pour représenter graphiquement dans un repère orthonormé les fonctions suivantes : 1) f : x x 6 : ) g : x x + 1 ; 3) h : x 1 x ; 4) k : x 1 x ; 5) l : x (x + )(x 1) 1) f (x) = x 6 y 6 4 ) g(x) = x x 3) h(x) = 1 x 4) k(x) = 1 x 5) l (x) = (x + )(x 1) 33 Valeur absolue et distance PROPRIÉTÉS 7 Si x est un nombre réel et M le point d'abscisse x sur une droite graduée de repère (O ; I), alors OM = x Si a et b sont deux réels, A et B les points d'abscisses respectives a et b d une droite graduée, alors : AB = a b = b a Remarque : Si a est un nombre réel, et r un nombre réel positif, l'intervalle [a r ; a + r] est formé de tous les réels x qui sont à une distance de a inférieure ou égale à r Ainsi : x [a r ; a + r] équivaut à x a r

28 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 8 sur 30 Exercice corrigé : Résoudre un problème de distance en utilisant la valeur absolue Sur une droite graduée, les points A et B ont pour abscisses respectives 5 et 3 On cherche à déterminer tous les points M de la droite vérifiant : AM BM M désigne un point variable sur la droite graduée ; on appelle x son abscisse 1) Le point O appartient-il à l'ensemble recherché? ) Exprimer les distances AM et BM en fonction de x, en utilisant la valeur absolue 3) a) Écrire AM en fonction de x sans utiliser la valeur absolue, en distinguant les cas x 5 et x 5 b) Écrire de même BM en fonction de x en distinguant deux cas 4) Quel est l'ensemble des points M de la droite vérifiant AM BM? Solution : Méthode : 1) AO = 5 0 = 5 et BO = 3 0 = 3 ; donc BO = 6 et AO < BO Le point O n'appartient donc pas à l'ensemble recherché ) On exprime les distances AM et BM à l'aide de la valeur absolue : AM = x ( 5) = x + 5 et BM = x 3 3) a) x 5 + x x + 5 x 5 0 x + 5 b) x 3 + x x 3 x x 3 4) On doit résoudre l'inéquation (I) : x + 5 x 3 On est ainsi amené à étudier trois cas : Si x 5, (I) équivaut à x 5 ( x + 3), ou encore à x 11 x 5 et x 11 étant incompatibles, ce cas ne donne pas de solution Soit a et b deux réels, A et B les points d'abscisses respectives a et b d'une droite graduée ; alors AB = a b = b a Si X 0, alors X = X Si X 0, X = X Si 5 x 3, (I) équivaut à x + 5 ( x + 3), ou encore à 3x 1, soit à x 1 3 ; On écrit l'inéquation sans valeurs absolues en distinguant plusieurs cas d'où l'intervalle des solutions 1 3, 3 Si x 3, (I) équivaut à x + 5 (x 3), ou encore à x 11 ; d'où l'intervalle des solutions [3 ; 11] Bilan : les points M de la droite vérifiant AM BM sont ceux On prend la réunion des ensembles de dont l'abscisse appartient à l'intervalle 1 3, 11 solutions trouvés pour les différents cas Exercice n 7 pages 7-73 Interpréter les valeurs absolues comme des distances Voir le savoir-faire, page 55 Résoudre graphiquement, en utilisant la droite des réels : a) x = 3 ; b) x + 5 = 3 x ; c) x 5 x + 1 Méthode : Si, sur une droite graduée, les points M et A ont pour abscisses respectives x et a, alors la distance AM est égale à x a (ou a x) Dans tout l exercice, on note S l ensemble des solutions et M le point d abscisse x sur une droite graduée a) Soit A le point d abscisse Alors x = 3 équivaut à : AM = 3, soit : x = 1 ou x = 5 Donc S = { 1, 5} b) Soient B et C les points d abscisses 5 et 3 Alors x + 5 = 3 x équivaut à : MB = MC Donc M est le milieu de [BC], soit : x = 1 Donc S = { 1} c) Soient D et E les points d abscisses 5 et 1 Alors x 5 x + 1 équivaut à : MD ME, soit M est plus proche de D que de E : Donc S = [, +[ Exercice n 13 page 55 Résoudre les équations suivantes : a) x + 3 = 0 ; b) x = 4 ; c) 4 x = 5 + x ; d) 0,3x + x 5 = 1 Dans tout l exercice, on note S l ensemble des solutions et M le point d abscisse x sur une droite graduée

29 1 e S - programme 011 mathématiques ch3 cahier élève Page 9 sur 30 a) Soit A le point d abscisse 3 ; alors x + 3 = 0 équivaut à AM = 0, c est-à-dire A = M Donc x = 3 S = { 3} b) Soit A le point d abscisse ; alors x = 4 équivaut à AM = 4 Donc x = ou x = 6 S = {, 6} c) Soient A et B les points s abscisses 4 et 5 ; alors 4 x = 5 + x équivaut à AM = BM Donc M est le milieu de [AB], et x = 1 S = 1 d) Comme une valeur absolue est toujours positive, alors S = Exercice n 14 page 55 Déterminer les nombres réels dont la distance à 1 est : a) égale à ; b) strictement supérieure à a) 1 et 3 b) ], 1[ ]3, +[ Exercice n 15 page 55 Représenter sur une droite graduée l'ensemble des points M dont l'abscisse x vérifie : a) x 3 ; b) 5 + x 1 ; c) 4 x 10 ; d) x 3 x 7 a) b) c) d) Exercice résolu n 16 page 56 Chien errant sur l autoroute Un chien errant a été signalé sur une autoroute à moins de 3 km de la borne kilométrique 50, mais à plus de 5 km de la borne 54 On appelle x le réel qui repère la position du chien sur l'autoroute 1) Traduire l'énoncé en utilisant des valeurs absolues ) Entre quelles bornes kilométriques de l'autoroute ce chien peut-il se trouver? 1) x 50< 3 et x 54 > 5 La distance entre deux réels a et b est égale à a b ) x 50 < 3 équivaut à x ]50 3 ; [ On a donc : x ]47 ; 53[ x 54 > 5 équivaut à x [54 5 ; ] Ainsi : x ] ; 49] ou x ]59 ; +[ La condition x a < r se traduit par l'appartenance de x à un intervalle : x ]a r ; a + r[ Or ]47 ; 53] ]59 ; +] = et ]47 ; 53] ] ; 49[ = ]47 ; 49[ L'intersection de deux ensembles I et Le chien se trouve donc entre la borne 47 et la borne 49 J est l'ensemble noté I J formé des éléments qui appartiennent à la fois à I et à J Exercice n 6 page 61 Pour chacune des affirmations, répondre par vrai ou par faux en justifiant la réponse 1) Pour tout réel, x x ) Si 0 < a < b, alors a < b 3) Pour tout réel positif x, x x 4) La fonction x x est définie sur l'intervalle ] ; 0] 5) Si x 5 3, alors x [ ; 8] 6) 5 6 = 5 6 1) Vrai : si x est négatif, x 0 x et si x est positif, x = x ) Vrai : la fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +[ 3) Faux : x = 1 4 4) Vrai : x 0 équivaut à x 0