Réponses. 1 point d intersection. ii) Points d intersection entre deux cercles non congruents : 1 point d intersection

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1 i Réponses Dans ce qui suit, nous ne donnons parfois que la «réponse finale» en omettant les détails de calcul ou les commentaires détaillés. Il va de soi que, lors d un examen, vous devez fournir toutes les informations nécessaires à la justification de vos réponses. 1. i) Points entre deux cercles congruents : points Une infinité de points ii) Points entre deux cercles non congruents : points iii) Points entre un cercle et un rectangle : points 3 points 4 points 5 points 6 points 7 points 8 points

2 ii iv) Points entre un cercle et un triangle : points 3 points 4 points 5 points 6 points v) Points entre deux carrés congruents : points 3 points 4 points 5 points 6 points 7 points 8 points Une infinité de points

3 iii vi) Points entre deux carrés non congruents : points 3 points 4 points 5 points 6 points 7 points 8 points Une infinité de points vii) Points entre une droite et un cercle (dans le plan) : points viii) Points entre un losange et une courbe simple et fermée : points 3 points 4 points 5 points 6 points 7 points Etc. Une infinité de points

4 iv ix) Points entre un plan et une droite (dans l espace) : Une infinité de points x) Points entre un plan et un cercle (dans l espace) : points Une infinité de points xi) Points entre deux plans (dans l espace) : B C B C A D A D F H F H E G entre les plans ABF E et DCHG E G Une infinité de points entre les plans ABF E et EF HG (il s agit de la droite EF )

5 v. (a) VRAI. Un 13-gone convexe se triangule à partir d un sommet en 11 triangles, d où = (b) FAUX. Si la rosace a aussi des axes de symétrie, ce sera un 3-lobe. (c) FAUX. En reliant 5 points quelconques sur un cercle, on a un pentagone (non forcément régulier). (d) FAUX. En jouant avec l angle entre les deux diagonales, on modifie l allure des rectangles. (e) FAUX. Les diagonales d un cerf-volant sont en effet perpendiculaires, mais elles peuvent être congruentes. Par exemple, avec deux diagonales de longueur 4 cm, on peut obtenir un cerf-volant en les plaçant de façon telle que les segments de diagonale ainsi crées mesurent cm et cm pour la première, et 1 cm et 3 cm pour l autre. (f) VRAI. En disposant les déplacements dans un tableau indiquant les directions, nous aurons N, 3E, 4S, (1 e ), O, 3N, 4E, ( e ), S, 3O, 4N, (3 e ), E, 3S, 4O, (4 e ). 3. m( 1) = m( 3) = 3 (opposés par le sommet) ; m( ) = m( 4) = 148 (suppléments de 1) ; m( 5) = m( 1) = m( 8) = m( 9) = 16 ( s congruents dans des s isocèles d angle au sommet 148 ; aussi, s alternes-internes ; ou encore, s congruents dans des s isocèles d angle extérieur 3 ) ; m( 6) = m( 7) = m( 10) = m( 11) = 74 ( = ). 4. (a) En supposant que le petit mesure x nous aurons que le grand mesure 3x et le moyen x. De plus la somme des trois est 180. Donc 3x + x + x = 180, d où x = 30. Les angles mesurent dans 90, 60 et 30. (b) Nous avons m( E) = 90 donc m( 7) + m( 6) = = 90. Or m( 5) = 90 amène que m( 6) + m( 4) = = 90. D où m( 4) = m( 7) car ils sont le complèment du même angle. 5. (a) 170 diagonales. (b) 16 (c) (a) Voir figure ci-contre. (b) m( 5) = 60, d où m( 4) = 30. Or le EDA est isocèle par hypothèse, de sorte que m( ) = m( 3) = = 75. On a donc m( 1) = 90 m( ) = 15. A D E B C

6 vi 7. Il y a en (a) et (b) plusieurs réponses possibles. Par exemple : (a) (b) (c) 8. (a) 8 chemins différents. (b) 4-lobe (c) 6-pied 9.

7 vii 10. (a) À montrer : URT = SRT. Données : UR = RS et UT = T S (cerf-volant). On a URT = SRT (CCC en plus des deux données, on a RT côté commun). D où URT = SRT car angles homologues dans des s congruents. (b) Soit E, un point quelconque de RT (attention : l intersection des deux diagonales n est pas un point quelconque). À montrer : ES = EU. On a RSE = RUE (CAC RS = RU (donnée), URE = SRE (partie (a) et RE côté commun). D où ES = EU car côtés homologues dans des s congruents. Autre solution possible : Comme chacun des points R et T est équidistant de S et de U (car on a un cerf-volant), la droite RT est la médiatrice du segment SU. Il s ensuit que tout point E sur cette diagonale est équidistant de S et de U, car cela est vrai de tout point de la médiatrice. 11. La construction peut se faire de nombreuses façons. Nous vous laissons exécuter le détail des étapes de chacune de ces méthodes et faire les dessins appropriés. (a) I. En voyant un angle de 30 comme la moitié d un angle de 60 : On peut construire un équilatéral (soit inscrit dans un cercle, soit de côté donné) et bissecter l un de ses angles ; ou encore construire un hexagone inscrit dans un cercle et prendre un angle inscrit intersectant l un des côtés de l hexagone. II. En voyant un angle de 30 comme le complémentaire d un angle de 60 : On peut construire un rectangle dont l hypoténuse vaut le double de l un des côtés ; ou encore construire un carré et tracer dans son intérieur un équilatéral dont le côté est le côté du carré. III. En voyant un angle de 30 comme le douzième d un angle de 360 : On peut construire un dodécagone régulier et prendre un angle au centre (ou encore un angle extérieur). (Cela revient à construire d abord un hexagone régulier, puis à bissecter un angle au centre.) (b) En construisant un angle de 30 comme à la partie (a) et en construisant un angle de 45 par la bissection de l angle droit. On doit ensuite faire un angle qui est la somme de ces angles. 1. On trace les diagonales AC et BD : elles seront des diamètres et leur point de rencontre O sera le centre du cercle cherché.

8 viii 13. Puisque m(ab) = 6 cm et m(a B ) = 4 cm, les deux triangles sont donc dans un rapport 3:. De m(bc) = 9 cm, il suit donc que m(b C ) = 6 cm ; de même m(c A ) = 6 cm entraîne que m(ca) = 9 cm. On observera qu il s agit de deux triangles isocèles. 14. La base étant un carré de côté 8 cm, sa diagonale mesure donc, par Pythagore, 8 cm (ou 11,31 cm avec la calculatrice). La pyramide étant régulière, sa hauteur tombe donc au centre de la base. Chacune des quatre arêtes demandées (elles sont toutes congruentes car la pyramide est régulière) est l hypoténuse du triangle rectangle formé avec la hauteur et la demi-diagonale du carré de base. Par Pythagore, on trouve Ä4 ä + 6 = = 68. Les arêtes mesurent donc chacune 17 cm (ou 8,5 cm avec la calculatrice). 15. Sur une droite, je choisis le point A et je reporte le segment AB de même longueur que EF. J élève ensuite une perpendiculaire à cette droite au point A. Je fais de même en B. Je reporte ensuite l angle 1 au sommet B vers A en prenant la perpendiculaire en B comme branche. La portion de l angle droit qui restera, sera l angle en B dans le ABC. Le point de contact de cet angle et de la perpendiculaire en A déterminera le point C. 16. (a) m( 1) = 10 car hexagone régulier. m( ) = 10 = 60. Nous pouvons toujours inscrire un polygone régulier dans un cercle. L angle devient alors un angle inscrit déterminant un arc de 10 ce qui lui procure une mesure de 60. (b) m(f A) = m(bc) car hexagone régulier. Nous pouvons dire aussi que les droites AB et F C sont parallèles car elles déterminent des angles alternes-internes congruents puisque m( ) = 60 et que le supplément adjacent à l angle 1 mesure aussi La médiane relative à A sépare le ABC en deux s congruents par CCC, d où la congruence des deux angles en A. 18. (a) Un premier axe de symétrie possible est l axe de révolution du cylindre : c est un axe de symétrie d ordre infini (on peut effectuer une rotation autour de cet axe selon n importe quelle valeur d angle). Par ailleurs, toute droite perpendiculaire à cet axe et coupant la hauteur du cylindre en deux parties égales est aussi un axe de symétrie (d ordre deux). On obtient ainsi les deux axes perpendiculaires demandés. (On aurait pu aussi prendre deux axes du deuxième type, perpendiculaires l un à l autre.) (b) On peut considérer d abord un plan coupant deux faces opposées du cube perpendiculairement et au milieu de certaines arêtes, et également un plan passant par deux arêtes «diagonalement» opposées dans le cube.

9 ix (Pour ces deux questions, nous vous laissons faire les dessins appropriés.) 19. (a) Voici la figure obtenue : (b) Sachant que le ABC est équilatéral, nous avons m(ab) = m(bc) = m(ac). Or en (a) nous avons tracé le segment P A de la même longueur que BC. Nous avons donc triangles isocèles P AB et P AC. AM étant la médiane relative à A, il est aussi bissectice de l angle A déterminant ainsi angles de 30. D où les angles de sommet A dans les triangles P AB et P AC mesurent chacun = 150. Les triangles étant isocèles nous pouvons dire que chacun de leurs autres angles mesure = 15. Donc dans le P BC, m( C) = = 75, m( B) = = 75 et m( P ) = 15 = (a) m( DCA) = 68 (angle inscrit) ; d où m( ADF ) = = 118 ( extérieur au ADC). (b) m( ABC) = 115 = m(ăec) = 30 (angle inscrit) ; d où m(ċw D) = 50 = (car AD est diamètre). Or m(ḃcd) = 144, car m( 1) = 7 et c est un angle inscrit. On a donc m(ḃrc) = = 94, d où m( BDC) = 47 (angle inscrit).

10 x ), réflexions verticales (R a, R b ), réflexion glis- ( 1. (a) Translation Å sée g OO, AC ) t AB ã., rotations ( r O, 1, r O, 1 ), réflexions verticales (R a, R b ), réflexion ho- ( ) ( (b) Translation t, rotations AB Å rizontale (R c ), réflexion glissée r O, 1, r O, ã 1. g c, AB ( (c) Translation ) t AB, réflexions verticales (R a, R b ).. (a) Dans un losange, les diagonales se coupent à angle droit en leur milieu. D où m(bo) = 3 cm et, en utilisant le théorème de Pythagore, on a donc (b) 4 cm. (c) 1 cm. m(oc) = 5 3 = 16 m(oc) = 4 cm m(ac) = 8 cm.

11 xi 3. (a) La figure ci-contre vous est sans doute familière : on la retrouve dans un pavage du plan avec un triangle. On y voit qu à partir du triangle donné (il a été reproduit ici à une échelle plus petite pour les besoins du dessin), on peut en construire un grand avec quatre copies du triangle de départ (le grand triangle est de fait semblable au triangle de départ). Autres solutions possibles : On peut aussi voir le problème comme en étant un d homothétie : pour quadrupler l aire, il faut doubler les côtés. Ou encore, en pensant à la formule de l aire d un triangle, doubler sa base et sa hauteur : c est ce qui se passe sur la figure. Ou encore quadrupler la base du triangle. (b) Par la formule de l aire d un triangle, une façon de faire est de couper en deux soit la base, soit la hauteur du triangle, tout en laissant l autre élément intact. Bien sûr, le nouveau triangle n est pas semblable à celui de départ, ce qui est le cas lors d une homothétie. (c) En choisissant un point O comme centre d homothétie, il faut faire en sorte que m(oa ) = m(oa), m(ob ) = m(ob) et m(oc ) = m(oc).

12 xii Les triangles ABD et AW D ayant même base et même hauteur, ils ont donc même aire. (À remarquer que la congruence P W = AB découle de l hypothèse W C//P D.) Il suit donc que d où aire I + aire II = aire II + aire III, aire I = aire III.

13 xiii 7. (a) L unité d aire fournie mesure en réalité fois l aire d un petit carré du paper pointé. Il faut donc calculer l aire du polygone en fonction du petit carré et diviser cette réponse par deux. Voici une façon de partitionner la surface du polygone qui nous donne plusieurs rectangles et triangles rectangles dont il est facile de calculer l aire Donc 15,5 unités d aire. A T = A 1 + A + A 3 + A 4 + A 5 + A 6 = 7, 5 + 1, = 31 carrés. (b) 8,71 unités de longueur. 8. (a) L aire de la région ombragée est égale à l aire de la moitié du grand cercle moins l aire du petit cercle. A(petit cercle) = πr A(grand cercle) = π(r) = 4πr A(région ombragée) = 1 A(g.c.) A(p.c.) = πr πr = πr. Donc la région blanche a même aire la région ombragée. (b) A(grand cercle) = π Ä 5 3 6ä = 100π A(petit cercle) = π(6) = 36π A(couronne) = A(grand cercle) A(petit cercle) = 100π 36π = 64π = 01, 06 cm.

14 xiv 9. En retraçant la figure sur du papier pointé quadrillé, on remarquera que la région ombragée est une partie de la demie d un rectangle de dimension 5 cm par 1 cm auquel on enlève un rectangle de dimension 1 cm par 4 cm et au autre de dimension cm par 3 cm. A(région ombragée) = 1 A(rectangle) A(rectangle 1 par 4) A(rectangle par 3) = = 0 cm. 30. La plus longue tige est de la même longueur que la grande diagonale GC. Or et m(gc) = m(ge) = Donc» m(ce) + m(ge)» m(gf ) + m(f E). m(ge) = = 00 m(gc) = = ,3 cm. 31. En traçant les deux axes de symétrie non diagonal du carré, on s aperçoit que la région ombragée représente la demie d un des quatre petits carrés, ainsi créés, plus le quart d un autre. Å 1 A(région ombragée) = ã A(carré) 16 = 3 16 A(carré) 3. Ils ont tous les deux la même longueur. Longueur du premier chemin = 1 π m(xb) = πm(xb). Longueur du deuxième chemin = π 1 m(xb) = πm(xb).