Géométrie dans l espace

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1 L-P-Bourguiba detunis Chapitre 6 Fiche6 Résumé du cours Produit scalaire Définition : l espace E est orienté dans le sens direct Prof :Ben jedidia chokri Classe :4 Math Géométrie dans l espace * Soit A, B et C des points Le produit scalaire des vecteurs défini par : et AC AB est le réel AB AC =, si AB = ou AC = AB AC = ABACcos BAC, si AB et AC AB AB = AB = AB Expression analytique dans une base orthonormée Propriétés Soit (O, i, j, k ) un repère orthonormé de l espace x x' Pour tous vecteurs u y et v y', z z' u v = xx' + yy' + zz' et u = x + y + z Pour tous points M (x, y, z) et M (x, y, z ), MM' = ( x x' ) + ( y y' ) + ( z z' ) Orthogonalité dans l espace u v uv = Produit vectoriel Définition Soit A, B et C des points de l espace Le produit vectoriel de AB par AC est le vecteur noté AB AC et défini comme suit :

2 * si AB et AC colinéaires, alors AB AC =, * si AB et AC ne sont pas colinéaires, alors AC AB est orthogonal à AB et à AC (AB, AC, AB AC) AB AC = ABACsin BAC est une base directe, Propriété Soit et v u deux vecteurs et α, β deux réels u u = u v = si et seulement si, et v u sont colinéaires ; u v = ( v u ), u ( v + w) = u v + u w, α u β v = αβ ( u v ) Expression analytique du produit vectoriel L espace est muni d une base orthonormé directe (, j,k ) i Pour tous vecteurs a a' u b et v b', c c' b b' c c' c c' u v = ( bc' cb' ) i + ( ca ' ac' ) j + ( ab' ba ') k u v a a' a a' b b' Propriété L espace est muni d un repère orthonormé direct (,i, j,k ) *Pour tous vecteurs u, v et w, O (u v)w = ( v w) u = (w u) v = det ( u, v,w) *L aire du parallélogramme ABCD est égale à AB AD

3 *Le volume V d un tétraèdre ABCD est égal à 1 6 (BC BD) BA *Le volume d un parallélépipède ABCDEFGH est égal à ( AB AD) AE L espace est muni d un repère orthonormé ( O,i, j,k) Représentation paramétrique d une droite de l espace x=x +ka y=y +kb z=z +kc (k réel) Ce système est une représentation paramétrique de qui passe par A ( x, y, ) et de vecteur directeur non nul a u b c Représentation paramétrique d un plan Soit P le plan passant par ( x, y, ) est ( u,v) où a u b et c x = x z = z a' v b' c' + αa + βa' z Le système y = y + αb + βb' ( α, β) + αc + βc' Equation cartésienne d un plan z A et dont un couple de vecteurs directeurs R est une représentation paramétrique de P Tout plan de l espace a une équation cartésienne vérifiant ax + by + cz + d = de vecteur normal Point méthode : a n b c avec (,b,c) (,,) a Pour déterminer une équation cartésienne du plan (ABC) *On peut traduire analytiquement :nam = AC par exemple, en choisissant n = AB ou n est un vecteur normal au plan

4 *On peut traduire analytiquement : AM =t AB+t'AC et en déduire une relation liant les coordonnées x,y et z de M Distance d un point à une droite Soit D une droite de vecteur directeur u et A un point de D d (M, D) = MA u u Distance d un point à un plan L espace est muni d un repère orthonormé (,i, j, k) soit un plan P d équation :ax + by + cz + d = et A (x, y, z ) un point de l espace Equation cartésienne d une sphère d(a,p)= O ax +by +cz +d a²+b²+c² La sphère S de centre A (x, y, z ) et de rayon R a pour équation : (x-x ) +(y-y ) +(z-z ) = R Positions d une sphère et d un plan L espace est muni d un repère orthonormé (,i, j, k) Soit S une sphère de centre A et de rayon R O Soit P un plan, d la distance de A à P et H le projeté orthogonal de A sur P L intersection de S et P est vide si d > r, réduire au singleton { H } si d = R, le cercle de rayon Point méthode Soit P : ax+by+cz+d= Pour déterminer H : R²-d² et de centre H si d < R *on écrit le système d équations paramétriques de la droite (AH) qui passe par A( x, y, ) z et de vecteur directeur non nul **On détermine l intersection du plan P et (AH) a u b c

5 Translation Définition Soit u un vecteur de l espace L application qui à tout point M de l espace associe l unique point M tel que et notée t u MM' = u est appelée translation de vecteur u Pour tous points M et M de l espace, t u (M) = M équivaut à Toute translation de l espace de vecteur u est bijective Son application réciproque est la translation de vecteur u Propriété caractéristique MM ' = u Une application de l espace dans lui-même est une translation, si et seulement si, pour tous points M et N d images respectives M et N, MN' MN Conséquences Toute translation de l espace conserve la distance = Toute translation de l espace conserve le produit scalaire Action d une translation sur les configurations L image d une droite par une translation est une droite qui lui est parallèle L image d un plan par une translation est un plan qui lui est parallèle Conséquences Toute translation conserve le parallélisme et l orthogonalité Toute translation conserve le milieu L image d une sphère S par une translation est une sphère S de même rayon et de centre l image du centre

6 Expression analytique d une translation L espace est muni d un repère (,i, j, k) Soit a b c O u un vecteur de l espace Si M (x, y, z) est un point de l espace et M (x, y, z ) est son image par la translation de vecteur u alors x' = x + a y' = y + b z' = z + b L application qui à tout point M (x, y, z) associe le point M (x, y, z ) tel que x' = x + a y' = y + b z' = z + b est la translation de vecteur a u b c Homothétie de l espace Définition Soit I un point de l espace et k un réel non nul L application qui à tout point M de l espace associe l unique point M tel que de centre I et de rapport k, elle est notée h (I,k) IM' = k IM est appelée homothétie Pour tous points M et M de l espace, h (I,k) (M) = M équivaut à IM ' = k IM Toute homothétie de centre I et de rapport non nul k est une bijection de l espace 1 et admet comme application réciproque l homothétie de centre I et de rapport k Pour tous points M et N de l espace, N = h (I,k) (M) équivaut à M h (N) = 1 I, k

7 Propriété caractéristique Soit f une application de l espace dans lui-même et k un réel non nul et différent de 1 f est une homothétie de rapport k, si et seulement si, pour tous points M et N d images respectives M et N par f, Conséquence M ' N' = k MN Soit h une homothétie de l espace de rapport k Pour tous points M et N d images respectives M et N par h, M ' N' = k MN Action d une homothétie sur les configurations L image d une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle L image d un plan par une homothétie est un plan qui lui est parallèle L image d une sphère s de centre I et de rayon R par une homothétie de l espace de rapport k est une sphère S de centre I image de I et de rayon k R Propriété Toute homothétie de l espace conserve le contact Expression analytique d une homothétie L espace est muni d un repère orthonormé (,i, j, k) O Soit un point I (a, b, c), k un réel non nul et différent de 1 et h l homothétie de centre I et de rapport k Si M (x, y, z) est un point de l espace et M (x, y, z ) est son image par h, x' = kx + (1 k) a alors y' = ky + (1 k) b z' = kz + (1 k) c

8 *L application qui à tout point M (x, y, z) associe le point M (x, y, z ) tel que x ' = kx + α α β δ y' = ky + β, k 1 est l'homothétie de centre I,, et de rapport k 1-k 1 k 1 k z' = kz + δ