Chapitre 12. Géométrie dans l espace Perspective cavalière. Sommaire Principe

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1 hapitre 12 éométrie ans l espace Sommaire 12.1 erspective cavalière rincipe onstruction et propriétés Solies usuels et volumes amille es prismes roits amille es pyramies Sphère Incience et parallélisme ans l espace Règles incience ostions relatives arallélisme ans l espace xercices erspective et calculs Incience et parallélisme Sections erspective cavalière rincipe ans ce chapitre, nous allons travailler sur es objets en trois imensions qui seront représentés, la plupart u temps, sur es feuilles e papier qui, elles, n ont que eux imensions et sur lesquelles il faura onner l illusion e la profoneur. est le but e la perspective. La représentation que nous utiliserons s appelle la perspective cavalière. Le principe e la perspective cavalière est le suivant : Vous faites face à un écran. Le soleil éclaire la scène (il est ans votre os). Un cube est placé evant l écran et il projette son ombre sur cet écran. Il est placé e telle façon que eux e ses faces sont parallèles à l écran et eux autres horizontales. Si les rayons u soleil ne sont pas perpeniculaires à l écran, l ombre u cube sur l écran est une représentation en perspective cavalière u cube. 121

2 12.1 erspective cavalière Secone Remarques. Il arrivera parfois que le cube soit représenté sans faces parallèles à l écran. Si les rayons sont perpeniculaires à l écran, on parle e perspective orthogonale. ans toute la suite, on exclura ce cas. On parle une représentation en perspective cavalière, car la forme e l ombre épen e la irection es rayons u soleil. On appelle fuyante une roite perpeniculaire à l écran. Les ombres e toutes les fuyantes sont parallèles et leur irection commune épen e celle es rayons u soleil onstruction et propriétés onstruction L angle α es fuyantes (roites perpeniculaires au plan e projection) vaut habituellement 30, 45 ou 60. Toutes les imensions qui sont ans es plans parallèles au plan e projection sont représentées en vraie graneur. Les imensions qui sont portées par les fuyantes sont multipliées par un coefficient e réuction, en général compris entre 0,5 et 0,8. α ropriétés es roites parallèles sont représentées sur le essin par es roites parallèles. es roites sécantes sont représentées sur le essin par es roites sécantes. Les rapports e longueur sur une roite sont conservés sur le essin. insi, par exemple, le milieu un segment est représenté sur le essin par le milieu u segment obtenu. Remarques. ttention, les réciproques ne sont pas vraies. insi : eux roites qui semblent parallèles sur le essin ne le sont pas toujours ans la réalité. eux roites qui semblent sécantes sur le essin ne le sont pas toujours ans la réalité. Un point qui semble être au milieu un segment ans la représentation en perspective cavalière n est pas toujours le milieu u segment ans la réalité : il peut ne pas être sur le segment ans la réalité

3 Secone 12.2 Solies usuels et volumes 12.2 Solies usuels et volumes amille es prismes roits risme roit avé ylinre Toutes les faces sont es risme roit ont les bases eut être consiéré comme rectangles sauf (éventuellement) les eux bases. bases sont es sont es rectangles. un prisme roit ont les isques. h base h base base h ropriété Le volume e ces solies est onné par la formule suivante : amille es pyramies Volume = ire e la base hauteur yramie Tétraère ône e révolution onstituée une base e yramie ont la base est un eut être consiéré comme forme quelconque et un sommet. es arêtes joignent triangle. une pyramie ont la base est un isque. ce sommet à chacun es sommets e la base. base h base h base h ropriété Le volume e ces solies est onné par la formule suivante : Volume= 1 ire e la basehauteur 3 On peut ainsi mettre trois fois le volume un cône e révolution ans un cylinre e révolution ayant même base et même hauteur, ou trois fois le volume un tétraère ans un prisme roit ayant même base et même hauteur Sphère ropriété Le volume une sphère e rayon r est onné par la formule : Volume= 4 3 πr 3 L aire e la surface une sphère e rayon r est onnée par la formule : ire=4πr 2 O r avi RORT 123

4 12.3 Incience et parallélisme ans l espace Secone 12.3 Incience et parallélisme ans l espace Règles incience Règle ar eux points istincts e l espace et, il passe une unique roite, notée (). Règle ar trois points non alignés e l espace, et, il passe un unique plan, noté ( ). Règle Si eux points istincts et e l espace appartiennent à un plan, alors la roite () est contenue ans le plan, c est-à-ire que tout point M appartenant à la roite () appartient aussi au plan. Règle ans chaque plan e l espace, on peut appliquer tous les théorèmes e géométrie plane ( YTOR, TLÈS, etc.) ostions relatives ositions relatives e eux roites Règle eux roites e l espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires. oplanaires (ans un même plan) et sécantes et parallèles Non coplanaires et ont un et sont et ucun plan ne sont point intersubsection. parallèles. et. strictement contient à la fois confonues = {} = = = = Remarques. ontrairement au plan, eux roites e l espace n ayant pas e point en commun ne sont pas forcément parallèles. es roites strictement parallèles sont es roites coplanaires et qui n ont aucun point en commun. On peut éfinir un plan e plusieurs manières : par la onnée e trois points; par la onné e eux roites sécantes; par la onnée e eux roites strictement parallèles; par la onnée une roite et un point n appartenant par à cette roite

5 Secone 12.3 Incience et parallélisme ans l espace ositions relatives une roite et un plan Règle Une roite et un plan e l espace sont soit sécants, soit parallèles. Sécants arallèles et ont un point et sont strictement parallèles. est contenue ans intersubsection. = {} = = Remarque. Une roite et un plan sont parallèles s ils ne sont pas sécants. On note alors ou. ositions relatives e eux plans Règle eux plans e l espace sont soit sécants, soit parallèles. Sécants arallèles et ont une roite et sont strictement et sont confon- intersubsection. parallèles. us = = = = Remarque. eux plans et sont parallèles lorsqu ils ne sont pas sécants. On note. Remarques. our émontrer que trois points sont alignés, il suffit e montrer que les trois points appartiennent à eux plans sécants : comme l intersubsection e eux plans sécants est une roite, cela implique que les points sont tous les trois sur cette roite. our trouver la roite intersubsection e eux plans, il suffit e trouver eux points istincts qui appartiennent aux eux plans : la roite intersubsection est alors celle qui passe par ces eux points. es points sont en général es points intersubsection e roites sécantes, l une contenue ans l un es plans, l autre ans l autre plan arallélisme ans l espace arallélisme entre roites ropriété eux roites parallèles à une même roite sont parallèles entre elles. Si et alors ropriété Si eux roites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l une, coupe l autre. avi RORT 125

6 12.3 Incience et parallélisme ans l espace Secone arallélisme entre plans ropriété eux plans parallèles à un même plan sont parallèles entre eux. Si et alors ropriété Si eux roites sécantes et un plan sont parallèles à eux roites sécantes et un plan Q, alors et Q sont parallèles. Q ropriété Si eux plans et sont parallèles, alors tout plan sécant à est aussi sécant à et leurs roites intersubsection et sont parallèles. Q arallélisme entre roite et plan ropriété Si eux plans et sont parallèles et si une roite est parallèle à, alors est parallèle à. Si et alors 126

7 Secone 12.3 Incience et parallélisme ans l espace ropriété Si eux roites et sont parallèles, et si est contenue ans un plan, alors est parallèle à. ropriété Si eux plans et sont sécants selon une roite et si est une roite parallèle à et alors et sont parallèles. Théorème (Théorème u toit). Si : et sont parallèles ; est un plan qui contient et est un plan qui contient ; et sont sécants selon une roite alors est parallèle à et à. avi RORT 127

8 12.4 xercices Secone 12.4 xercices erspective et calculs XRI Une pièce métallique (en traits pleins) est écoupée ans un cube. onstruire, en perspective cavalière : la pièce restante u cube la face restant evant ; la pièce restante u cube la face étant à roite. XRI On consière un tétraère, ont les faces, et sont es triangles rectangles en. On onne = = 5 cm et = 12 cm. 1. essiner ce tétraère en perspective cavalière, la face étant frontale. 2. Quelle est la nature e? le représenter en vraie graneur. 3. Quel est le volume e? XRI est un cube arête a. 1. Quelle est la nature u triangle? Justifier. Le représenter en vraie graneur à la règle et au compas en prenant a= 6 cm. 2. alculer la longueur une iagonale principale u cube

9 Secone 12.4 xercices XRI On consière un cube e côté a. On nomme le centre e la face et Q le centre e la face. M ésigne le milieu e [Q]. On amettra que () est perpeniculaire à ( ) et que () est perpeniculaire à (). 1. Montrer que Q = a 2 2 puis que = Q = a alculer une valeur approchée au egré près e l angle Q. 3. onner, en fonction e a, la valeur exacte e l aire u triangle Q. XRI est un parallélépipèe rectangle (un pavé) tel que = 10, = 6 et = alculer les longueurs es segments [ ], [ ], [ ] et []. 2. alculer le volume es pyramies et. 3. Réaliser un patron e ces eux pyramies. XRI est un cube. = 5 cm. Soit I le pie e la hauteur issue e ans le triangle. 1. alculer, et I. 2. Représenter en vraie graneur le triangle I. 3. émontrer que la mesure en egrés e I est 120. XRI S est un tétraère régulier arête a. alculer en fonction e a : 1. la hauteur S (on amettra que est l intersubsection es hauteurs e ; 2. l aire u triangle et l aire totale u tétraère; 3. le volume u tétraère. XRI La figure ci-contre est un patron un solie. Le triangle est rectangle en et a pour imensions : = 3,5 cm ; = 4 cm ; = 3 cm. 1. e quel type e solie s agit-il? 2. Le essiner en perspective cavalière, en mettant la face en vraie graneur. avi RORT 129

10 12.4 xercices Secone XRI Soit S une pyramie régulière ont la base est le carré e côté 2a et ont les faces latérales sont es triangles isocèles angles au sommet e mesure 30. On ésigne respectivement par I, J et les milieux e [], [ ] et le centre u carré. 1. éterminer, en fonction e a, la hauteur S e cette pyramie. 2. Réaliser un patron e cette pyramie en prenant a= 5 cm. I S J XRI La grane pyramie e Kheops est à sa base un carré presque parfait e 5,3 hectares correctement orienté par rapport au Nor et ont les côtés Nor et Su sont parallèles à 2,5 cm près. Sa hauteur, à l origine, était e 146 mètres. n utilisant la hauteur et les renseignements fournis par le texte ci-essus, esiner un patron e cette pyramie à l échelle 1/2600 e. alculer l aire une es faces e la pyramie. omparer le résultat obtenu avec l aire un carré e côté la hauteur e la pyramie. XRI K et L sont les milieux es arêtes [ ] et [ ] u parallélépipèe rectangle. Les roites (K ) et ( ) se coupent en M. Les roites (L) et ( ) se coupent en N. 1. émontrer que K est le milieu e [M]. K L 2. émontrer que les roites (K L) et (M N) sont parallèles. M N XRI est un parallélépipèe rectangle (un pavé) tel que = 5, = 2 et = 3. Une fourmi se situe en et se ren en en cheminant sur les faces. éterminer le trajet le plus court. Inication : on pourra s aier u patron

11 Secone 12.4 xercices Incience et parallélisme XRI S est une pyramie à base carrée. I est un point u segment [ ], istinct e et. 1. Montrer que les plans (S I ) et (S ) sont sécants. 2. onstruire leur intersubsection. I S XRI est un parallélépipèe rectangle. I est un point e [ ] istinct e et e. 1. émontrer que,, et I sont coplanaires. 2. émontrer que la roite ( I ) n est pas contenue ans le plan ( ). 3. onstruire J, intersubsection e la roite ( I ) et u plan ( ). I XRI est un tétraère. I est un point e [ ] istinct e et e. J est un point e [] istinct e et e. ans les cas suivants, émontrer que les plans sont sécants et éterminer leur intersubsection. 1. (I J) et ( ). 2. (I J) et (). J I 3. (I J) et ( ). XRI est un tétraère. I est un point e [ ] istinct e et e. J est un point e la face tel que la roite (I J) n est pas parallèle au plan ( ). onstruire l intersubsection e la roite (I J) et u plan ( ). Inication : on pourra commencer par construire l intersubsection es plans (I J) et ( ). I J XRI S est un tétraère. I, J et K sont es points e, respectivement, [S ], [S] et [S ]. 1. onstruire, intersubsection e ( ) et (JK ),, intersubsection e ( ) et (I K ),, intersubsection e () et (I J). 2. émontrer que est un point commun aux plans ( ) et (I JK ). 3. rouver que les points, et sont alignés. I S K J avi RORT 131

12 12.4 xercices Secone XRI S est une pyramie à base carrée. I est le milieu e [S] et L est le milieu e [S]. émontrer que les roites (I L) et ( ) sont parallèles. S XRI est un cube. M est un point e l arête []. Le plan ( M) coupe la roite ( ) en N. émontrer que les roites (M N) et () sont parallèles. XRI S est une pyramie e sommet S à base trapézoïale avec () ( ). M est un point e l arête [S ]. Le plan ( M) coupe la roite (S) en N. émontrer que les roites (M N) et ( ) sont parallèles. XRI S est une pyramie e sommet S ont la base est un parallélogramme. émontrer que les plans (S ) et (S ) se coupent selon la parallèle à () passant par S. XRI est un parallélépipèe rectangle. 1. Le quarilatère est un rectangle. Que peut-on en éuire pour les roites ( ) et ( )? 2. e façon analogue, que peut-on ire es roites () et ()? M N S N S M 3. n éuire alors la position relative es plans ( ) et ( )? XRI est un prisme roit à base triangulaire. I, L et K sont les points es arêtes [], [ ] et [ ] tels que : I = 2 3 ; K = 2 3 et L= 1 3. émontrer que le plan (I K L) est parallèle au plan ( ). I L K XRI est un parallélépipèe rectangle. émontrer que la roite ( ) est parallèle au plan ( )

13 Secone 12.4 xercices Sections XRI (Sections planes un tétraère). ans chacun es cas présentés sur la figure 12.1 e la présente page, placer les points I et K, puis, à l aie es propriétés e géométrie ans l espace vues en Secone, construire sur le essin en perspective la trace u plan (I JK ) sur le tétraère. On onne J = 1 3 IUR 12.1: Sections e l exercice I = 1 3 et K = 1 3 I = 1 3 et K = 1 3 J J I = 1 et K centre e gravité e 3 I = 1 et K = J J avi RORT 133

14 Secone XRI (Sections planes un cube). ans chacun es cas présentés sur la figure 12.2 e la présente page, à l aie es propriétés e géométrie ans l espace, construire sur le essin en perspective la trace u plan (I JK ) sur le cube. On onne : = 6 cm ; I = 2 cm ; J milieu e []. IUR 12.2: Sections e l exercice K = 2 cm K = 1 cm I J K I J K K = K milieu e [ ] I J K I J K 134