Chapitre 2 - MAT 22066

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1 1 Chapitre 2 - MAT Notons la factorisation première d un nombre par n = p α 1 k, où les p i sont des nombres premiers distincts et α i N, i = 1,..., k. (a) Soit a = p α 1 k, b = qβ 1 1 q β q β l l et c = r γ 1 1 r γ rm γm les factorisations premières de a, b et c. Alors a b se traduit par : {p i : i = 1,..., k} {q i : i = 1,..., l} et l exposant de chaque nombre premier dans la factorisation de a est inférieur ou égal à son exposant dans la factorisation première de b. On applique le même raisonnement à b c, et on déduit facilement que a c. (b) Soit la factorisation première comme dans la solution du problème précédent. Les facteurs premiers de a et de b étant tous distincts par hypothèse, et chacun se retrouvant dans la factorisation première de c (et ce avec un exposant au moins égal), il est clair que le produit ab, qui est égal au produit de leurs factorisations premières, divise c. (c) Soit a = p α 1 k et b = p β 1 1 p β p β k k, où α i et β i sont des entiers positifs ou nuls, pour i = 1,..., k. On voit que l exposant de p i dans la factorisation de m est max(α i, β i ), et que dans la factorisation de n cet exposant est min(α i, β i ) On fait le produit, et on a le résultat : de chaque côté, l exposant de p i est α i + β i. 2. Travail sur les congruences (a) Puisque 10 3(mod7), alors (9 7) 2(mod7). Donc (6 7) 1(mod7). Donc (mod7). (b) On demande ici de montrer cette propriété. Or a b(modp) est équivalent à p (a b), et c d(modp) est équivalent à p (c d). Donc il existe x et y dans Z tels que a = b+px et c = d+py. D où ac bd = (b+px)(d+py) bd = p(dx+by+pxy). On conclut donc que p (ac bd) i.e. que ac bd(modp). (c) On obtient 8. (d) On obtient 4. (e) On obtient Oui, on peut. Par l algorithme d Euclide, on trouve (221, 391) = 17. Par Bezout, on trouve x et y des entiers relatifs tels que 221x + 391y = 17. On multiplie x et y par Oui, on peut. On trouve (143, 253) = 11, (253, 299) = 23 et (299, 143) = 13. On trouve les x i et y i correspondant par Bezout, i = 1, 2, 3. La mesure sera obtenue en additionnant les résultats pour 23 et 13, ou autrement. 5. Vous prenez les poids égaux aux puissances de 2, en remarquant que la pesée d un objet équivaut alors à écrire son poids en base 2.

2 2 6. (a) 1035 huit (b) 1545 six (c) cinq (d) BB reste 7 douze cinq et 1215 six. 8. Pour 11, la somme alternée des chiffres doit être divisible par 11. Pour 13, on voit que 1000 est congru à 1 modulo 13. On fait donc la somme alternée des nombres par groupes de trois chiffres en partant de la droite : i.e. pour savoir si est divisible par 13, on vérifie si est divisible par 13. Pour 101, on fait la somme alternée par groupe de deux chiffres en partant de la droite et on vérifie si cette somme est divisible par 101 : pour l exemple précédent, on fait donc = 13 qui n est pas divisible par On fait la somme alternée des chiffres en partant de la droite, qui doit être divisible par neuf. 10. Pour résoudre ce problème, on doit se ramener à étudier la divisibilité par trois et par huit. En effet, le produit de ces deux nombres est bien vingt-quatre, et ces deux nombres sont relativement premiers. (On ne peut se ramener à étudier la divisibilité par quatre et par six, par exemple, car quatre et six ne sont pas relativement premiers.) Pour la divisibilité par huit pour un nombre écrit en base huit, on voit que le nombre doit se terminer par zéro. Pour la divisibilité par trois, on voit que la somme alternée de ses chiffres doit être divisible par 3 (puisque la base est congrue à -1 modulo trois). Pour être divisible par vingt-quatre, le nombre doit vérifier ces deux critères. 11. Il faut (et il suffit) que la somme des chiffres du nombre soit divisible par (b 1). 12. (a) On a pris 9 chiffres pour les 9 premières pages, 180 pour les 90 suivantes. Il en reste donc 900, ce qui correspond à 300 pages à 3 chiffres. On a donc un livre de 399 pages. (b) En base 60, on aurait pris 59 chiffres pour les 59 premières pages, et 680 pour les 340 suivantes : un total de (a) Le dénominateur (de la fraction réduite) doit être une puissance de trois. (b) On écrit le dénominateur de la fraction réduite sous la forme 3 s c où (c, 3) = 1. On montre par le même type d argument que celui vu en classe que la longueur de la période t est donnée par le plus petit t pour lequel c 3 t 1 (i.e. pour lequel 3 t est congru à 1 modulo c.

3 3 14. Cet algorithme ne se distingue de notre algorithme habituel que par la façon dont sont disposés les produits partiels. Pour vous en convaincre, essayez une version plus explicite de notre algorithme, dans laquelle chacun des six produits de base est écrit directement, plutôt que d être engobé dans l un des deux produits partiels obtenus en effectuant mentalement certaines addition auxiliaires. 15. Il s agit de faire l algorithme ressemblant à celui de la division. Vous pouvez facilement vérifier vous-même votre résultat à l aide d une calculette. 16. Idem 17. La suite est donné par la formule de récurrence x i+1 = x i 2 +n 2x i (i 1), où n est le nombre dont on veut obtenir la racine. On pose une valeur initiale raisonnable pour amorcer l approximation. Pour 5, on peut poser x 1 = 2, et on a alors x 2 = = 9 4, x 3 = (9/4) /4 = , x 4 = (161/72) /72 = On remarque que le début du développement décimal de cette fraction est tel que donné sur une Ti-83, alors que lorsque l on fait la racine carré de 5 sur la même calculette on obtient Si on poursuit une étape de plus, on obtient x 5 = (51841/23184) /23184 = Cette dernière fraction donne une meilleure approximation de 5 que celle donnée par la calculette, et le début de son développement décimal est bien Pour 3 on obtient la suite: x 0 = 1, x 1 = 2, x 2 = 7/4, x 3 = 97/56 et x 4 = 18817/10864.

4 4 18. Puisque (2, 9) = 1 et que 2 9 = 18, il suffit de vérifier si le nombre est divisible par 2 et par 9. Et on aura : le dernier chiffre doit être pair et le nombre formé des deux derniers chiffres doit être divisible par neuf (puisque 12 2 est congru à 0 modulo neuf). Le premier nombre n est donc pas divisible par dix-huit puisque A2 douze = 122 dix n est pas divisible par 9. Il en est de même pour le second puisque 66 douze = 78 dix n est pas divisible par Comme 9 est congru à -1 modulo 5, on aura : le nombre est divisible par cinq si et seulement si la somme alternée de ses chiffres est divisible par cinq. Le premier nombre n est pas divisible par 5, et le second l est (la somme alternée est 0). 20. Puisque (5, 8) = 1 et que 5 8 = 40, il suffit de vérifier si le nombre est divisible par 5 et par 8. Et on aura : somme alternée des chiffres du nombre divisible par 5 et somme des chiffres du nombre divisible par 8. Aucun des deux nombres n est divisible par quarante. 21. On a (3, 4) = 1 et 3 4 = 12. Comme 3 divise 6, le prédécesseur de la base, et que 4 divise huit, le successeur de la base, on doit avoir : somme alternée des chiffres du nombre divisible par 4 et somme des chiffres du nombre divisible par Puisque (5, 6) = 1 et que 5 6 = 30, il suffit de vérifier si le nombre est divisible par 5 et par 6. À vous la suite. 23. Cela est vrai : le développement que nous avons fait en base dix est indépendant de la base de travail pour ce qui est des principes. 24. Oui, puisque la divisibilité de deux nombres naturels n a rien à voir avec la convention d écriture. 25. Puisque le développement en base neuf est fini, b est de la forme 3 k pour un certain entier k. Comme la longueur de ce développement est 3, on voit que k vaut 5 ou 6. La longueur du développement en base trois est donc 5 ou Pensez-y! 27. Pour pouvoir faire cela, il faut trouver x et y des entiers relatifs tels que x 33+y 51 = 17. Puisque (33, 51) = 3 et puisque 17 n est pas un multiple de 3, cela est impossible fois, i.e , i.e. ( ) 10 en base huit! 30. Pour faire ces exercices, on fait la division directement dans la base demandée, en changeant l écriture des fractions pour la base indiquée. À moins de trouver plus simple... Ainsi (a) 1 7 = 0, en base huit (ce qui est comme 1 9 en base dix...)

5 5 (b) 2/9 est simplement 0,02 en base trois (c) 1,1 en base sept (d) 0,2 en base six (e) 1 3 = 0, en base cinq 31. En s inspirant de la transformation d un nombre dont le développement est périodique, on voit qu en multipliant par 3 3, on obtient 18 + S, où S est la somme cherchée. On a donc 27S = 18 + S, et S = 9/ Pour la racine cubique de N, on obtient x n = 2 3 x n N (x n 1. ) On ne fait pas la division. Soit a/b une fraction simplifiée. En base dix, on a vu que la longueur de la période est le t minimal tel que c 10 t 1 où b = 2 r 5 s c avec (c, 2) = (c, 5) = 1. De plus, la longueur de la pré-période est le k minimal tel que 2 r 5 s 10 k. En base huit, on écrira que b = 2 s c où (c, 2) = 1. La longueur de la période est alors le t minimal tel que c 8 t 1, et la longueur de la pré-période est le k minimal tel que 2 s 8 k. En base cinq, on a un développement analogue avec b = 5 s c. Notons qu on a un développement fini si c = 1 (voir la théorie). Réponses, avec la longueur de la pré-période, suivie de celle de la période. (a) (i) 0-1 (ii) 0-2 (iii) 0-2 (b) (i) fini (ii) 0-4 (iii) fini (c) (i) fini (ii) fini (iii) 0-2 (d) Puisque 9/15 = 3/5, c est comme en (b). 34. (a) Soit la fraction a/b où (a, b) = 1. On écrit b sous la forme b = 2 r 3 s c où (c, 12) = 1. Alors le développement en base douze est fini si c = 1, et sa longueur est le plus petit entier k tel que 2k r et k s. Si c 1, alors la longueur de la période est le plus petit entier t 1 tel que 12 t = 1 mod c, et la longueur de la pré-période est le plus petit entier k tel que 2k r et k s. Pour justifier cette réponse, il faut essentiellement reprendre la preuve de la Proposition 2.2. (b) (i) 24 = et on a donc un développement fini de longueur 2. (ii) 56 = La pré-période est de longueur 2 et la période de longueur 6.