Notes de cours d analyse Préparation au CAPES. Raphaël Danchin

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1 Notes de cours d analyse Préparation au CAPES Raphaël Danchin Année

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3 3 Table des matières 1 Espaces vectoriels normés Normes et distances Définitions Normes produits Exemples de normes Topologie sur les espaces vectoriels normés Voisinages, ouverts, fermés Autres notions élémentaires de topologie Topologie induite sur une partie d un espace vectoriel normé Suites dans les espaces vectoriels normés Parties compactes Continuité Continuité des applications d un e.v.n dans un e.v.n Continuité et compacité Théorèmes généraux Le cas de la dimension finie Continuité et connexité Généralités Parties connexes de R Connexité par arcs Applications linéaires continues Applications multilinéaires continues Espaces de Banach Complétude Suites de Cauchy et complétude Critère de Cauchy pour les fonctions Séries dans un e.v.n Le théorème du point fixe Suites et séries de fonctions à valeurs dans un e.v.n Convergence des suites et séries de fonctions Le théorème d interversion des limites et ses conséquences Exemples Espaces préhilbertiens Le cas réel Le cas complexe Orthogonalité Projections orthogonales

4 4 TABLE DES MATIÈRES 5 Séries de Fourier Polynômes trigonométriques Séries de Fourier Coefficients d une fonction 2π-périodique et continue par morceaux Convergence en moyenne quadratique Convergence des séries de Fourier Preuve de l égalité de Parseval pour les fonctions de E Séries entières Définitions Détermination du rayon de convergence Intégration et dérivation terme à terme Quelques développements classiques Index 59

5 5 Chapitre 1 Espaces vectoriels normés Dans tout ce chapitre, le symbole K désigne R ou C, et E est un espace vectoriel sur K. 1.1 Normes et distances Définitions Définition On dit qu une application N : E R est une norme si elle vérifie (i) x E, N(x) 0 et N(x) = 0 si et seulement si x = 0, (ii) x E, λ K, N(λx) = λ N(x), (iii) x E, y E, N(x + y) N(x) + N(y). Remarque : La condition (iii) est appelée inégalité triangulaire. Définition Le couple (E, N) où E est un K-espace vectoriel et N, une norme sur E, est appelé espace vectoriel normé, ou e.v.n en abrégé. Définition Soit (E, N) un e.v.n. On appelle distance associée à N l application { E E R + d : (x, y) N(x y). Remarque : La distance associée à une norme vérifie pour tout (x, y, z) E 3 : (i) Positivité : d(x, y) 0 avec égalité si et seulement si x = y, (ii) Propriété de symétrie : d(x, y) = d(y, x). (iii) Inégalité triangulaire : d(x, y) d(x, z) + d(z, y). Il s agit donc bien d une distance au sens usuel (cf le cours de licence). Proposition (Deuxième inégalité triangulaire) Toute norme vérifie ou en terme de distance associée, (x, y) E 2, N(x y) N(x) N(y), (x, y, z) E 3, d(x, y) d(x, z) d(y, z). Preuve : On a, d après la première inégalité triangulaire : N(x) = N(y + (x y)) N(y) + N(x y) donc N(x) N(y) N(x y), N(y) = N(x + (y x)) N(x) + N(y x) donc N(y) N(x) N(y x) =N(x y), d où le premier résultat. La preuve de la deuxième inégalité triangulaire pour la fonction distance est analogue.

6 6 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS NORMÉS Définition Soit x 0 E et r R +. On appelle boule ouverte de centre x 0 et de rayon r l ensemble B N (x 0, r) déf = {x E N(x x 0 ) < r}. On appelle boule fermée de centre x 0 et de rayon r l ensemble B N (x 0, r) déf = {x E N(x x 0 ) r}. Remarque : En l absence d ambiguïté, on note simplement B(x 0, r) la boule ouverte et B(x 0, r) la boule fermée. Définition On dit qu une partie non vide A de (E, N) est bornée s il existe M R + tel que x A, N(x) M. Définition Soit A une partie non vide de (E, N). On appelle diamètre de A l élément δ(a) de [0, + ] suivant : δ(a) déf = sup N(y x). (x,y) A 2 Définition Soit A une partie non vide de E. On définit alors la distance d(x 0, A) de x 0 à A par la formule d(x 0, A) déf = inf N(x x 0). x A Si B est une autre partie non vide de E, on définit la distance de A à B, notée d(a, B) par la formule : d(a, B) déf = inf d(y, A) = inf d(x, B) = inf d(x, y). y B x A x A, y B Définition On dit que deux normes N 1 et N 2 sur E sont équivalentes s il existe une constante C > 0 telle que x E, C 1 N 1 (x) N 2 (x) CN 1 (x). Proposition Si N 1 et N 2 sont deux normes équivalentes de E alors (i) Les parties bornées de (E, N 1 ) sont les parties bornées de (E, N 2 ). (ii) Il existe une constante C > 0 telle que pour tout x 0 E et r > 0 on ait Exercice : Prouver la proposition ci-dessus Normes produits B N1 (x 0, C 1 r) B N2 (x 0, r) B N1 (x 0, Cr). Soit (E 1, N 1 ) et (E 2, N 2 ) deux espaces vectoriels normés. Alors il existe une infinité de façons de munir E 1 E 2 d une norme produit construite à partir de N 1 et N 2. En notant (u 1, u 2 ) les éléments de E 1 E 2, les exemples les plus courants sont : déf La norme uniforme : (u 1, u 2 ) = max(n 1 (u 1 ), N 2 (u 2 )), déf La norme quadratique : (u 1, u 2 ) 2 = (N 1 (u 1 )) 2 + (N 2 (u 2 )) 2, La norme L 1 déf : (u 1, u 2 ) 1 = N 1 (u 1 ) + N 2 (u 2 ). Exercice : Vérifier qu il s agit bien de normes sur E 1 E 2 et qu elles sont équivalentes. On peut généraliser la notion de norme produit à un nombre fini d espaces vectoriels normés (E 1, N 1 ), (E 2, N 2 ),, (E p, N p ). Nous laissons le soin au lecteur de vérifier que les fonctions définies ci-dessous sont des normes (équivalentes) sur E 1 E p :

7 1.1. NORMES ET DISTANCES 7 déf Norme uniforme : (u 1,, u p ) = max(n 1 (u 1 ),, N p (u p )), déf Norme quadratique : (u 1,, u p ) 2 = (N 1 (u 1 )) (N p (u p )) 2, Norme L 1 déf : (u 1,, u p ) 1 = N 1 (u 1 ) + + N p (u p ) Exemples de normes Normes sur R ou C Il n y a guère le choix : les normes sur R ou C sont toutes de la forme N(x) = κ x avec κ > 0 et x désignant la valeur absolue de x dans le cas réel, et le module de x dans le cas complexe. En pratique, on prend toujours κ = 1. Normes sur R n ou sur C n Les plus courantes sont : La norme L 1 : N 1 (x) = n i=1 x i, La norme euclidienne : N 2 (x) = n i=1 x i 2 La norme sup : N (x) = max i {1,,n} x i. Plus généralement, pour tout p [1, + [, on peut définir N p (x) déf = ( n i=1 x i p ) 1 p. Proposition Pour tout p [1, + ], les fonctions N p sont des normes sur R n. Toutes ces normes sont équivalentes. Plus précisément, on a x K n, N (x) N p (x) n 1 p N (x). Preuve : Il est immédiat que N p vérifie les propriétés (i) et (ii) de la définition Dans le cas p = 1 ou p =, l inégalité triangulaire est évidente. Lorsque p = 2, elle résulte de l inégalité de Cauchy-Schwarz. Plus généralement, si p 1 est fini, elle résulte de l inégalité de Minkowski : i=1 m i=1 n p x ij j=1 1 p ( n m ) 1 p x ij p. Pour montrer l équivalence des normes, on utilise le fait que pour p [1, + [, on a ( n ) 1 ( p n ) 1 p N p (x) max x i p = max x i 1 = n 1 p N (x). i {1,,n} i {1,,n} L inégalité N (x) N p (x) est triviale. Remarque : Pour x fixé, l inégalité de Minkowski permet de montrer que p N p (x) est une fonction décroissante. On en déduit que, si p q, la boule unité pour la norme N q est plus grosse que la boule unité pour la norme N p. Normes sur M n (R) ou M n (C) Si l on considère les matrices comme des tableaux de nombres, les normes les plus couramment utilisées sont N 1 (A) = n i,j=1 a ij, ( ) 1 n N 2 (A) = i,j=1 a ij 2 2 ( = tr A t A ) 1 2, N (A) = max 1 i,j n a ij. Si l on identifie M n (K) à l ensemble des applications linéaires de K n dans K n, il existe d autres choix naturels de normes. On en verra des exemples à la section 2.4. j=1 i=1 i=1

8 8 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS NORMÉS Normes sur l ensemble des suites de K N L ensemble l (N) des suites bornées d éléments de K peut être muni de la norme N (u) déf = sup u n. L ensemble l 2 (N) des suites de carrés sommables peut être muni de la norme N 2 (u) déf = n N ( n N u n 2 ) 1 2. L ensemble l 1 (N) des suites sommables peut être muni de la norme N 1 (u) déf = u n. n N Exercice : 1. Établir que l 1 (N) l 2 (N) l (N) et que pour tout u l 1 (N), on a N (u) N 2 (u) N 1 (u). 2. Montrer que ces trois normes ne sont pas équivalentes. Normes sur l ensemble des fonctions continues de [a, b] dans K Les plus courantes sont : La norme uniforme : N (f) = sup x [a,b] f(x), La norme quadratique : N 2 (f) = ( b a f(x) 2 dx La norme L 1 : N 1 (f) = b a f(x) dx. Exercice : Montrer que les trois fonctions définies ci-dessus sont des normes sur C([a, b]; K) et vérifient f C([a, b]; K), N 1 (f) b a N 2 (f) (b a)n (f). En considérant la suite de fonctions f n (x) = (x a) n, montrer qu elles ne sont pas équivalentes. 1.2 Topologie sur les espaces vectoriels normés ) 1 2 Dans toute cette section, E désigne un e.v.n. sur K Voisinages, ouverts, fermés Définition Soit A une partie de E. On dit que a E est un point intérieur à A s il existe r > 0 tel que B(a, r) A. Définition On dit qu une partie V de E est un voisinage du point a de E si a est intérieur à V. Exemple : Pour tout r > 0, les boules B(a, r) et B(a, r) sont des voisinages de a. Remarque : Un e.v.n E vérifie toujours la propriété suivante : Si a et b sont deux points distincts de E alors il existe un voisinage V a de a et un voisinage V b de b tels que V a V b =. On dit que les e.v.n sont séparés. Le lemme suivant (dont la preuve est immédiate) est fort utile :,

9 1.2. TOPOLOGIE SUR LES ESPACES VECTORIELS NORMÉS 9 Lemme Considérons une famille (r i ) i {1,,n} de n réels strictement positifs. Alors on a n i=1 On en déduit en particulier le résultat suivant : ( ) B(a, r i ) = B a, min r i. 1 i n Proposition L intersection d un nombre fini de voisinages de a est un voisinage de a. Preuve : Considérons V 1,, V n, n voisinages de a. Par définition, chaque voisinage V i contient une boule non vide B(a, r i ). En appliquant le lemme 1.2.3, on en déduit que ( ) B a, min r i = 1 i n n B(a, r i ) i=1 n V i. La boule de gauche est non vide ce qui montre que n i=1 V i est bien un voisinage de a. Attention : L intersection d un nombre infini (même dénombrable) de voisinages de a n est pas forcément un voisinage de a. Par exemple les boules B(a, 2 n ) sont toutes des voisinages de a, mais leur intersection (qui est réduite à {a}) n est pas un voisinage de a. Définition On dit que Ω E est un ouvert de E (ou une partie ouverte de E) si Ω est vide ou si tous les points de Ω sont intérieurs à Ω. Remarque : Autrement dit Ω non vide est ouvert si et seulement si Ω est voisinage de tous ses points. Définition On dit que F E est un fermé de E (ou une partie fermée de E) si E\F est un ouvert de E. Proposition Toute boule ouverte de E est un ouvert et toute boule fermée de E est un fermé. Preuve : Soit B(a, r) une boule ouverte de E avec r > 0. Alors pour tout point b de B(a, r), la deuxième inégalité triangulaire assure que i=1 B(b, r N(b a)) B(a, r). Comme par définition, r > N(b a), l inclusion ci-dessus montre que B(a, r) est voisinage de b. Si r = 0 le résultat est trivial car la boule est vide. De façon analogue, si b E\B(a, r) alors N(b a) > r et la deuxième inégalité triangulaire assure que B(b, N(b a) r) E\B(a, r). Donc E\B(a, r) est ouvert. Proposition On a les propriétés suivantes : (i) L union de toute famille d ouverts est un ouvert. (ii) L intersection d un nombre fini d ouverts est un ouvert. (iii) L intersection de toute famille de fermés est fermée. (iv) L union d un nombre fini de fermés est un fermé.

10 10 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS NORMÉS Preuve : Pour prouver (i), on considère une famille quelconque (Ω i ) i I d ouverts. Si a i I Ω i alors il existe i 0 I tel que a Ω i0. Donc il existe r > 0 tel que B(a, r) Ω i0. Donc a fortiori, B(a, r) i I Ω i, et a est intérieur à i I Ω i. Pour prouver (ii), considérons une famille de n ouverts (Ω i ) 1 i n et un point a n i=1 Ω i. Comma a est intérieur à chaque Ω i, pour tout i {1,, n}, il existe r i > 0 tel que ) B(a, r i ) Ω i. Le lemme permet de conclure que B (a, min 1 i n r i a est intérieur à n i=1 Ω i. déf Pour prouver (iii), considérons une famille quelconque (F i ) i I de fermés, et notons Ω i = n i=1 Ω i. Donc E\F i. Alors d après (i), i I Ω i est ouvert. Mais i I F i = E\ ( i I Ω ) i donc i I F i est fermé. De même, la propriété (iv) découle de (ii) par passage au complémentaire. Attention : L intersection d une famille quelconque d ouverts n est pas toujours un ouvert (considérer à nouveau la famille {B(a, 2 n )} n N ). Par passage au complémentaire, on en déduit que l union d une famille quelconque de fermés n est pas toujours un fermé. Une bonne façon de retenir la proposition ci-dessus est de considérer les deux exemples élémentaires suivants (dans R) : La réunion de la famille d intervalles fermés [2 n, 1 2 n ] est l intervalle ]0, 1[ qui n est pas fermé. L intersection de la famille d intervalles ouverts ] 2 n, 2 n [ est le singleton {0} qui n est pas ouvert. Remarque : E et sont les seules parties de E qui soient à la fois ouvertes et fermées Autres notions élémentaires de topologie Définition Soit A une partie de E. On appelle intérieur de A l ensemble, noté Å, des points a de E qui sont intérieurs à A, c est-à-dire tels qu il existe r > 0 vérifiant B(a, r) A. Proposition Å est le plus grand ouvert inclus dans A. En particulier, si A est ouvert, on a simplement Å = A. Preuve : Montrons d abord que Å est ouvert. Pour cela, considérons a Å et r > 0 tel que B(a, r) A. Pour tout point b de B(a, r), on a r N(b a) > 0 et B(b, r N(b a)) B(a, r) A. Donc b Å puis B(a, r) Å ce qui montre que Å est bien un ouvert. Si Ω est un autre ouvert inclus dans A alors pour tout a Ω, il existe r > 0 tel que B(a, r) Ω A. Donc a Å. Définition Soit A E. On appelle adhérence de A, notée A, le complémentaire de l intérieur de E\A : A déf = E\( E\A). Proposition A est le plus petit fermé contenant A. Si A est fermé, on a simplement A = A. Preuve : Puisque E\A est ouvert et inclus dans E\A, l ensemble A = E\( E\A) est fermé et contient E\(E\A), c est-à-dire A. Considérons maintenant un autre fermé F contenant A. Alors E\F E\A est ouvert, et donc est inclus dans E\A. En passant aux complémentaires, on en déduit que A F.

11 1.2. TOPOLOGIE SUR LES ESPACES VECTORIELS NORMÉS 11 Proposition Soit A une partie de E. On a les relations suivantes : (i) E\A = E\A, (ii) E\Å = E\A. Exercice : Démontrer la proposition ci-dessus. Définition On dit que le point a de E est adhérent à la partie A de E si tout voisinage de a rencontre A. Le résultat suivant explique l origine de l appellation adhérence. Proposition Pour toute partie A de E, A est l ensemble des points de E qui sont adhérents à A. Preuve : Soit a A. Montrons que a est adhérent à A. Pour cela, considérons un voisinage arbitraire V de a. Ce voisinage contient une boule ouverte non vide B(a, r). Supposons par l absurde que B(a, r) A =. Alors B(a, r) E\A. Donc a est intérieur à l ensemble E\A, i.e a E\A, ce qui contredit l hypothèse sur a. Pour montrer la réciproque, considérons un point a n appartenant pas à A. Alors a E\A = E\A. Donc il existe un r > 0 tel que B(a, r) E\A. En conséquence, a n est pas adhérent à A. Définition On appelle frontière de A l ensemble Fr A déf = A \ Å. Proposition Soit A une partie de E. On a les relations suivantes : ( (i) Fr A = E\ Å E ) \ A, (ii) Fr A = A E \ A. Exercice : Démontrer la proposition ci-dessus. Proposition Soit E un e.v.n arbitraire. Pour tout r > 0 et a E, on a : L adhérence de la boule ouverte B(a, r) est la boule fermée B(a, r), L intérieur de la boule fermée B(a, r) est la boule ouverte B(a, r), La frontière de B(a, r) ou de B(a, r) est la sphère S(a, r) déf = {y E N(y a) = r}. Preuve : Prouvons juste le premier point. On sait déjà que B(a, r) est fermé, et il est clair que B(a, r) B(a, r). Soit maintenant F un fermé arbitraire contenant B(a, r). Alors l ouvert E\F est contenu dans E\B(a, r). Donc pour tout x E\F il existe ρ > 0 tel que B(x, ρ) E\F E\B(a, r). On en déduit que N(x a) > r (exercice : justifier cette inégalité) et donc x appartient également à E\B(a, r). En passant au complémentaire, on conclut que B(a, r) F. Donc B(a, r) est bien le plus petit fermé contenant B(a, r). Exercice : Prouver les autres points de la proposition Définition On dit que A E est dense dans E si A = E. Proposition La partie A de E est dense si et seulement si tout ouvert non vide de E rencontre A.

12 12 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS NORMÉS Preuve : = Supposons A dense et considérons Ω un ouvert non vide de E. Soit a Ω et r > 0 tel que B(a, r) Ω. Par hypothèse a est adhérent à A donc B(a, r) A n est pas vide. A fortiori, Ω A n est pas vide non plus. = Si A n est pas dense dans E, l ensemble E \ A n est pas vide et donc contient une boule non vide B(a, r). A fortiori B(a, r) ne rencontre donc pas l ensemble A. Exemple : L ensemble Q est dense dans R. En effet, D déf = {k10 n k Z, n N} est luimême dense dans R car tout intervalle ]α i, β i [ est d intersection non vide avec D (considérer le développement décimal de α i et β i ). Définition On dit que a E est un point isolé de A E s il existe un voisinage V de a (ou de façon équivalente une boule ouverte centrée en a) tel que V A = {a}. Exemple : Tous les points de N sont isolés dans R. Définition On dit que A E est une partie discrète de E si tous ses points sont isolés. Exemple : N est une partie discrète de R. Définition On dit que a E est un point d accumulation de A E si tout voisinage V de a vérifie V \{a} A. Exemple : Prenons E = R et A déf = { 1 n n N }. Alors tous les points de A sont isolés, A = A {0} et 0 est point d accumulation de A. Proposition Pour toute partie A de E, l ensemble A est la réunion disjointe des points isolés et des points d accumulation de A. Preuve : Notons I l ensemble des points isolés de A, et J l ensemble de ses points d accumulation. Vu les définitions, un point ne peut pas être à la fois point isolé et point d accumulation. Donc I J =. Soit a A tel que a J. Alors il existe un voisinage V de a tel que V\{a} A =. Mais comme a est dans l adhérence de A, l ensemble V A ne peut pas être vide. On conclut que V A = {a} et donc a I Topologie induite sur une partie d un espace vectoriel normé Définition Soit A E et a A. On dit que B A est un ouvert de A pour la topologie induite s il existe un ouvert Ω de E tel que A Ω = B, fermé de A pour la topologie induite s il existe un fermé F de E tel que A F = B, voisinage de a pour la topologie induite s il existe un voisinage V de a dans E tel que A V = B. Exemples : On prend E = R et A = [0, 1[. Alors [0, 1 2 [ est un ouvert de A pour la topologie induite car [0, 1 2 [= A ] 1 2, 1 2 [ (par exemple). C est aussi un voisinage de 0. De même, [ 1 2, 1[ est un fermé pour la topologie induite car [ 1 2, 1[= A [ 1 2, 1]. En revanche, il est clair que [0, 1 2 [ n est pas un ouvert de R, et que [ 1 2, 1[ n est pas un fermé de R. Proposition Soit A E et B A. (i) L ensemble B est un ouvert de A pour la topologie induite si et seulement si A\B est un fermé de A. (ii) L ensemble B est un fermé de A pour la topologie induite si et seulement si A\B est un ouvert de A.

13 1.2. TOPOLOGIE SUR LES ESPACES VECTORIELS NORMÉS 13 Preuve : Prouvons juste le premier point. Si B est un ouvert de A, il existe un ouvert Ω de E tel que B = A Ω. On a donc A\B = A (E\Ω). Comme E\Ω est un fermé de E, l ensemble A\B est fermé dans A. La réciproque est similaire. Proposition Soit A une partie de E, et B A. (i) Si A est un ouvert de E alors B est un ouvert de A pour la topologie induite si et seulement si B est un ouvert de E. (ii) Si A est un fermé de E alors B est un fermé de A pour la topologie induite si et seulement si B est un fermé de E. Preuve : Montrons seulement (i). La preuve de (ii) est très semblable. Supposons A ouvert. Si B est un ouvert de A alors il existe un ouvert Ω de E tel que B = A Ω. L intersection de deux ouverts de E étant un ouvert, on conclut que B est un ouvert de E. Réciproquement, si B A est un ouvert de E, il est immédiat que B est un ouvert de A puisque B = A B. Attention : Soit A une partie quelconque de E. Si B est ouvert dans E et B A alors B est ouvert dans A. La réciproque est fausse. Si B est fermé dans E et B A alors B est fermé dans A. La réciproque est fausse. Remarque Toutes les parties de N sont à la fois ouvertes et fermées pour la topologie induite par R. En effet, pour tout point n N, on peut écrire {n} = N ] n, n[= N [ n, n]. Donc tout singleton de N est à la fois ouvert et fermé pour la topologie induite. Toute partie de N peut s écrire comme réunion de singletons. Donc toute partie de N est ouverte. Par passage au complémentaire, on en déduit que toute partie de N est également fermée. Exercice : Montrer plus généralement que toute partie d un ensemble discret est à la fois ouverte et fermée Suites dans les espaces vectoriels normés Dans cette partie, on s intéresse aux suites dont le terme général appartient à un e.v.n E. Définition On dit qu une suite (u n ) n N de l e.v.n (E, N) est bornée s il existe M R + tel que n N, N(u n ) M. Définition On dit qu une suite (u n ) n N de l e.v.n (E, N) est convergente s il existe un élément l de E tel que ɛ > 0, N N, ( n N, n N) = N(u n l) ɛ. L élément l est appelé limite de la suite (u n ) n N. Comme pour les suites réelles, on a les propriétés suivantes : Proposition (i) Il y a unicité de la limite. (ii) Toute suite convergente est bornée. Réciproque fausse.

14 14 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS NORMÉS Définition On dit qu une suite (u n ) n N est divergente si elle n est pas convergente, c est-à-dire si l E, ɛ > 0, N N, n N, (n N et N(u n l) > ɛ). Les suites permettent de donner une caractérisation de l adhérence des parties de E : Proposition Soit A une partie de E, et x E. Alors on a x A (x n ) n N A N, Preuve : On écarte le cas A = qui est trivial. lim x n = x. n + = Soit x A. Alors tout voisinage V de x rencontre A. En particulier, pour tout n N, l ensemble B(x, 2 n ) A n est pas vide et contient donc un élément que l on note x n. Il est clair que (x n ) n N converge vers x. = Par contraposition. On considère x E\A. Alors x est dans l intérieur de E\A. Donc il existe r > 0 tel que B(x, r) A =. On ne peut donc pas trouver de point y de A tel que N(y x) < r. On conclut qu aucune suite de points de A ne peut converger vers x. Corollaire Une partie A de E est fermée si et seulement si toute suite convergente de points de A a sa limite dans A Parties compactes Commençons par étendre la définition de valeur d adhérence au cas des suites dans un e.v.n. Définition On dit que a E est valeur d adhérence de la suite (a n ) n N s il existe une sous-suite (ou une suite extraite) de (a n ) n N qui converge vers a. Remarque Soit (a n ) n N une suite de E N. Dire que a est valeur d adhérence de (a n ) n N se traduit par : ɛ > 0, N N, n N, N(a n a) ɛ. Dire que a est limite de (a n ) n N se traduit par : ɛ > 0, N N, n N, N(a n a) ɛ. Proposition L ensemble A des valeurs d adhérence d une suite est donné par la formule : A = n N {a p p n}. Définition On dit qu une partie K de E est compacte (ou est un compact de E) si toute suite d éléments de K a au moins une valeur d adhérence dans K. Attention : Une suite convergente a une seule valeur d adhérence : sa limite. En revanche, une suite ayant une seule valeur d adhérence n est pas forcément convergente. Exercice : Donner un exemple de suite divergente ayant une seule valeur d adhérence. Proposition Dans un compact, une suite converge si et seulement si elle a une unique valeur d adhérence.

15 1.2. TOPOLOGIE SUR LES ESPACES VECTORIELS NORMÉS 15 Preuve : La partie directe de la proposition est triviale. Montrons la réciproque. Soit donc (a n ) n N une suite d éléments de K n ayant qu une seule valeur d adhérence a K. Supposons par l absurde que (a n ) n N ne converge pas vers a. Alors il existe un ɛ > 0 et une suite extraite (a ϕ(n) ) n N tels que (1.1) n N, N(a ϕ(n) a) > ɛ. Comme K est compact, on peut extraire de (a ϕ(n) ) n N une nouvelle sous-suite (a ϕ ψ(n) ) n N qui converge dans K. D après (1.1), sa limite b doit satisfaire N(b a) ɛ. Donc b a ce qui contredit l unicité de la valeur d adhérence. Proposition Un compact d un e.v.n est toujours fermé borné. Preuve : Montrons d abord le caractère fermé. Pour cela, considérons a K. Alors il existe une suite (a n ) n N d éléments de K qui converge vers a. Cette suite doit avoir au moins une valeur d adhérence dans K donc a K. Supposons par l absurde que K n est pas borné. Dans ce cas, on peut construire une suite (a n ) n N telle que N(a n+1 ) 1 + N(a n ) pour tout n (exercice : le faire). Une telle suite ne saurait avoir de valeur d adhérence puisque pour i j, on a N(a i a j ) 1. Attention : Dans un e.v.n général, les fermés bornés ne sont pas tous compacts. Cette propriété n est vraie que si E est de dimension finie (voir le chapitre 2). Proposition Tout fermé F d un ensemble compact K est compact. Preuve : Soit (a n ) n N une suite de F N. Alors cette suite admet une valeur d adhérence a dans K qui est compact, c est-à-dire qu il existe une sous-suite (a ϕ(n) ) n N dont la limite est a. Cette sous-suite est une suite d éléments de F. Donc sa limite a se trouve dans F. Proposition Le produit K 1 K p d un nombre fini de compacts K i est compact. Preuve : Soit (a 1 n,, a p n) n N une suite d éléments de K 1 K p. La suite (a 1 n) n N est une suite d éléments de K 1 qui est compact. Donc il existe une soussuite (a 1 ϕ 1 (n) ) n N de (a 1 n) n N qui converge dans K 1. La suite (a 2 ϕ 1 (n) ) n N est une suite d éléments de K 2 qui est compact. On peut donc lui extraire une sous-suite (a 2 ϕ 1 ϕ 2 (n) ) n N convergente dans K 2. Bien sûr la suite (a 1 ϕ 1 ϕ 2 (n) ) n N est également convergente en tant que sous-suite d une suite convergente. En itérant le procédé d extraction, on montre finalement que (a 1 n,, a p n) n N admet une sous-suite convergente dans K 1 K p.

16 16 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS NORME S

17 17 Chapitre 2 Continuité Dans tout ce chapitre, E et F désignent deux espaces vectoriels normés sur K. On note N E (resp. N F ) la norme de E (resp. F ). Si x 0 E (resp. y 0 E), et r R +, on désigne par B E (x 0, r) (resp. B F (x 0, r)) la boule de E (resp. F ) de centre x 0 (resp. y 0 ) et de rayon r. 2.1 Continuité des applications d un e.v.n dans un e.v.n Définition Soit A E, B F, x 0 A, l B et f F(A, B). On dit que f admet la limite l en x 0 (suivant la partie A) si ɛ > 0, η > 0, (x A B E (x 0, η)) = N F (f(x) l) < ɛ. La limite, lorsqu elle existe, est unique, et l on note l = lim f(x). x x 0 x A Enfin, on dit que f est continue en x 0 si de plus x 0 A et f(x 0 ) = l. Remarque Si x 0 est un point isolé de A, f est nécessairement continue en x 0. En effet, pour η assez petit, B(x 0, η) A = {x 0 }. Remarque La notion de limite est locale : si x 0 A et V est un voisinage de x 0 alors lim x x 0 x A f(x) existe et vaut l si et seulement si lim x x 0 x A V f(x) existe et vaut l. Théorème (de composition des limites) Soit E, F et G trois e.v.n et A E, B F, C G. Soit x 0 A, y 0 B et l C. Soit enfin f F(A, B) et g F(B, C). Supposons que f(x) = y 0 et g(y) = l. Alors la limite de g f en x 0 existe et vaut l : lim x x 0 x A lim y y 0 y B lim g f(x) = l. x x 0 x A Preuve : Fixons ɛ > 0. Par définition de la limite, il existe η > 0 tel que (en notant N G la norme sur G) (2.1) y B B F (y 0, η), N G (g(y) l) < ɛ. Mais il existe η > 0 tel que x A B E (x 0, η ), N F (f(x) y 0 ) < η.

18 18 CHAPITRE 2. CONTINUITÉ Comme par hypothèse f est à valeurs dans B, on peut prendre y = f(x) dans (2.1) et conclure que x A B E (x 0, η ), N G (g f(x) l) < ɛ. Corollaire Soit f F(A, E), g F(A, E) On suppose que f (resp. g) a pour limite l (resp. m) en x 0 A. Soit Φ une loi interne sur E continue en (l, m) pour la topologie produit sur E E. Alors on a lim Φ(f(x), g(x)) = Φ(l, m). x x 0 x A Preuve : Il suffit d appliquer le théorème de composition des limites à Φ et à la fonction (f, g) : A E E. Définition Soit A E et B F. On dit que f F(A; B) est continue sur A si f est continue en tout point de A. On note C(A; B) l ensemble des fonctions continues de A à valeurs dans B. Définition Soit Ω un ouvert de E et Ω un ouvert de F. On dit que f F(Ω; Ω ) est un homéomorphisme de Ω sur Ω si les conditions suivantes sont satisfaites : (i) f est continue sur Ω, (ii) f est bijective de Ω dans Ω, (iii) la bijection réciproque f 1 de f est continue sur Ω. Proposition Soit A E et B F, et f F(A, B). Les trois propositions suivantes sont équivalentes : (i) f est continue sur A, (ii) pour tout ouvert Ω de B, l ensemble f 1 (Ω) est un ouvert de A, (iii) pour tout fermé F de B, l ensemble f 1 (F ) est un fermé de A. Preuve : Remarquons que pour tout ensemble C B, on a f 1 (B\C) = A\f 1 (C). Comme le complémentaire d un ouvert est un fermé et vice versa, on conclut que (ii) est équivalent à (iii). (i) (ii) : Soit Ω un ouvert de B, et x 0 f 1 (Ω). Comme f(x 0 ) Ω, il existe un ɛ > 0 tel que B F (f(x 0 ), ɛ) B Ω. Par continuité de f en x 0, il existe η > 0 tel que f(b E (x 0, η) A) B F (f(x 0 ), ɛ) B Ω. Donc B E (x 0, η) A f 1 (Ω). Donc f 1 (Ω) est bien un ouvert de A. (ii) (i) : Soit x 0 A et ɛ > 0. On sait que f 1 (B F (f(x 0 ), ɛ) B) est un ouvert de A contenant x 0. Donc il existe η > 0 tel que B E (x 0, η) A f 1 (B F (f(x 0 ), ɛ) B). D où la continuité de f en x 0. Attention : Dans la proposition ci-dessus, il s agit d ouverts et de fermés pour la topologie induite! Proposition Soit E, F et G trois e.v.n. Soit A E, B F et C G. Supposons que f C(A; B) et g C(B; C). Alors g f C(A; C). Preuve : Soit Ω un ouvert de C. Alors la proposition assure que g 1 (Ω) est un ouvert de B, puis que (g f) 1 (Ω) = f 1 (g 1 (Ω)) est un ouvert de A. En appliquant une nouvelle fois la proposition 2.1.8, on conclut que g f est continue sur A.

19 2.2. CONTINUITÉ ET COMPACITÉ 19 Proposition (Caractérisation séquentielle de la continuité) Soit A E, x A, B F, l B et f F(A; B). Alors f admet la limite l en x si et seulement si pour toute suite (x n ) n N de A N tendant vers x, on a lim n + f(x n ) = l. En particulier, f est continue en x si et seulement si pour toute suite (x n ) n N de A N tendant vers x, on a lim n + f(x n ) = f(x). Preuve : Supposons d abord que f ait une limite l en x. Soit (x n ) n N A N tendant vers x. Soit ɛ > 0. Il existe η > 0 tel que pour tout y B(x, η) A on ait f(x) B(l, ɛ). Par ailleurs, il existe un rang N N tel que x n B(x, η) A pour tout n N. On conclut que n N = N F (f(x n ) l) < ɛ, et donc (f(x n )) n N converge vers l. On raisonne par contraposition en supposant que f n admet pas la limite 1 l en x. En prenant la négation de la définition de limite, on peut alors construire une suite (x n ) n N A N qui converge vers x mais telle que (f(x n )) n N ne tende pas vers l. Exemple : En appliquant le théorème ci-dessus à l homothétie de rapport λ de E dans E, on en déduit que si la suite (x n ) n N converge vers x E alors (λx n ) n N converge vers λx. Plus généralement, la caractérisation séquentielle combinée avec le corollaire permet de montrer le résultat suivant : Théorème Soit (E, N) un e.v.n. On munit E E de la norme produit N. Soit Φ une loi interne sur E continue de (E E, N ) vers (E, N). Alors pour tout couple de suites (u n ) n N et (v n ) n N de E N tendant respectivement vers l et vers m, on a lim Φ(u n, v n ) = Φ(l, m). n + Exemples : Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites convergentes d éléments de E. Alors on a lim (u n + v n ) = lim u n + lim v n. n + n + n + Si E = R ou C : lim u nv n = lim u n lim v n. n + n + n + Si E = M n (K) : lim u nv n = lim u n lim v n. n + n + n + Remarque générale : Dans un e.v.n (E, N), toutes les notions topologiques sont indépendantes par changement de la norme en une norme équivalente N. Par exemple les fermés (resp. ouverts, compacts) de E au sens de la norme N sont les mêmes que les fermés (resp. ouverts, compacts) de (E, N ), une suite (ou une fonction) converge dans (E, N) si et seulement si elle converge dans (E, N ), etc. 2.2 Continuité et compacité Théorèmes généraux Théorème Soit K un compact de E et f C(K; F ). Alors f(k) est un compact de F. Preuve : Soit (y n ) n N une suite d éléments de f(k). Alors pour tout n N, il existe x n K tel que y n = f(x n ). Comme K est compact, la suite x admet une sous-suite (x ϕ(n) ) n N convergente dans K. Notons l sa limite. Comme f est continue, il est clair que la suite (f(x ϕ(n) )) n N = (y ϕ(n) ) n N converge vers f(l). Donc (y n ) n N a une valeur d adhérence dans f(k). 1 Ce qui signifie ou bien que f n a pas de limite du tout ou bien que f a une limite autre que l.

20 20 CHAPITRE 2. CONTINUITÉ Mémento : L image directe d un compact par une application continue est compacte. L image réciproque d un ouvert par une application continue est ouverte. L image réciproque d un fermé par une application continue est fermée. Attention : Il est faux en général que l image réciproque d un compact soit compacte ou que l image directe d un ouvert (resp. fermé) soit ouverte (resp. fermée). Exercice : Trouver des contre-exemples. Avant de donner une caractérisation des compacts de R, rappelons le théorème de Bolzano- Weierstrass. Théorème (de Bolzano-Weierstrass) Toute suite bornée de R admet au moins une valeur d adhérence. D après la proposition , tout compact est fermé et é. Réciproquement, si K est un ensemble borné de R, le théorème de Bolzano-Weierstrass assure que toute suite de K a au moins une valeur d adhérence. Si de plus K est fermé, cette valeur d adhérence se trouve dans K. On a donc obtenu le Corollaire Les compacts de R sont les ensembles fermés bornés. Cela entraîne le très important résultat suivant : Corollaire Soit K un compact d un e.v.n quelconque (E, N) et f une fonction continue de K dans R. Alors f est bornée et atteint ses bornes. Plus précisément, il existe deux points x et x de K tels que f(x ) = inf f(x) et x K f(x ) = sup f(x). x K Preuve : Comme f est continue et K est compact, le théorème montre que f(k) est un compact de R donc est fermé borné. Le caractère borné permet d ores et déjà d affirmer que inf x K f(x) >. Considérons une suite (x n ) n N telle que lim f(x n) = inf f(x). n + x K Comme f(k) est fermé, la limite de la suite (f(x n )) n N est dans f(k). En d autres termes, il existe x E tel que f(x ) = inf x K f(x). La preuve de l existence de x est similaire. Définition Soit (E, N E ) et (F, N F ) deux e.v.n, A E et B F. On dit que f F(A, F ) est uniformément continue si ɛ > 0, η > 0, x A, (y A B E (x, η)) = N F (f(y) f(x)) < ɛ. Définition Soit (E, N E ) et (F, N F ) deux e.v.n, A E, B F et k 0. On dit que f F(A, B) est k-lipschitzienne si (x, y) A A, N F (f(y) f(x)) kn E (y x). En revenant aux définitions, on montre facilement le résultat suivant : Proposition Une application k-lipschitzienne est toujours uniformément continue, et une application uniformément continue est toujours continue. Donnons un exemple de fonction lipschitzienne :

21 2.2. CONTINUITÉ ET COMPACITÉ 21 Proposition Dans un e.v.n (E, N), l application N est 1-lipschitzienne de (E, N) dans (R, ). Preuve : D après la deuxième inégalité triangulaire, on a (x, y) R 2, N(y) N(x) N(x y). Théorème (de Heine) Une application continue de K dans F avec K compact de E est toujours uniformément continue. Preuve : On raisonne par contraposition. Supposons que f F(K; F ) avec K compact ne soit pas uniformément continue. Alors en prenant la négation de la définition de l uniforme continuité, on obtient un ɛ > 0 tel que pour tout η > 0 on puisse trouver un couple (x, y) K 2 vérifiant N E (y x) < η et N F (f(y) f(x)) ɛ. En choisissant η = 2 n avec n N, on obtient donc deux points x n et y n de K tels que (2.2) N E (y n x n ) < 2 n et N F (f(y n ) f(x n )) ɛ. Comme K est compact, K K l est aussi, et donc (x n, y n ) n N a une valeur d adhérence dans K K. Plus précisément, il existe (x, y) K K et une suite extraite (x ϕ(n), y ϕ(n) ) n N tels que lim n + (x ϕ(n), y ϕ(n) ) = (x, y). En passant à la limite dans (2.2), on trouve x = y. Mais l inégalité N F (f(y ϕ(n) ) f(x ϕ(n) )) ɛ pour tout n N montre que f ne peut pas être continue en x Le cas de la dimension finie Donnons pour commencer une généralisation du corollaire au cas de R p. On munit R p de la norme N 1 (x 1,, x p ) déf = p i=1 x i. Lemme Les compact de l e.v.n (R p, N 1 ) sont les fermés bornés. Preuve : Le fait que K compact soit fermé borné est vrai dans n importe quel e.v.n. Réciproquement, considérons un fermé borné K de (R p, N 1 ) et une suite (x n ) n N d éléments de K. Notons x n = (x n 1,, xn p ). Le caractère borné de K assure l existence d un réel positif M tel que pour tout n N et i {1,, p}, on ait x i n M. Donc (x n ) n N est à valeurs dans [ M, M] p qui est compact car produit de compacts (cf prop ). On en déduit que (x n ) n N admet une sous-suite convergente. La limite de cette sous-suite se trouve dans K car K est fermé. Remarque En identifiant C p à R 2p, on en déduit que dans C p muni de la norme p Ň 1 (x) = Re x i + Im x i, i=1 les compacts sont les fermés bornés. Mais la norme N 1 : x p i=1 x i est équivalente à Ň1. Donc dans (C p, N 1 ) aussi, les compacts sont les fermés bornés. Lemme Soit (E, N) un K-e.v.n de dimension finie p, et (e 1,, e p ) une base de E. Alors { E R + Ñ 1 : x = p i=1 x ie i p i=1 x i est une norme sur E et les compacts de (E, Ñ1) sont les fermés bornés.

22 22 CHAPITRE 2. CONTINUITÉ Preuve : Considérons l application { (K Ψ : p, N 1 ) (E, Ñ1) (x i,, x p ) p i=1 x ie i Manifestement, Ψ est lipschitzienne de rapport 1 (en fait c est même un isomorphisme isométrique puisque Ñ1(Ψ(x)) = N 1 (x) pour tout x K p ). Soit K un fermé borné de (E, Ñ1). La continuité de Ψ assure que Ψ 1 (K) est fermé dans (K p, N 1 ), et comme Ψ conserve la norme, Ψ 1 (K) est également borné dans (K p, N 1 ). Le lemme et la remarque qui suit permettent de conclure que Ψ 1 (K) est compact. Enfin, K = Ψ(Ψ 1 (K)) donc, d après le théorème 2.2.1, K est également compact. Théorème Dans un e.v.n de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Preuve : Soit (E, N) un e.v.n de dimension finie p. Fixons une base (e 1,, e p ) de E. Pour prouver le théorème, il suffit de montrer que N est une norme équivalente à la norme Ñ1 définie par Ñ1(x) = p i=1 x i pour x = p i=1 x ie i. En utilisant l inégalité triangulaire, on a pour tout x E, Par ailleurs, l application est continue puisque ( p ) N(x) = N x i e i N : i=1 { (E, Ñ 1 ) R + ( ) max N(e i) Ñ1 (x). 1 i p x N(x) (x, y) E 2, N(y) N(x) N(y x) ( ) max N(e i) Ñ1 (y x). 1 i p La sphère S = {x E Ñ1(x) = 1} est un fermé borné de (E, Ñ1) donc c est un compact (cf lemme ). Donc l application N restreinte à S atteint son minimum α en un point que l on note x 0. Comme x 0 n est pas nul, on a α = N(x 0 ) > 0. Enfin, pour tout x 0 de E, le point x/ñ1(x) se trouve dans S. On conclut donc que N(x) αñ1(x). Les normes N et Ñ1 sont donc bien équivalentes. Corollaire Dans un e.v.n de dimension finie, les ensembles compacts sont les ensembles fermés bornés. Preuve : Soit (E, N) un e.v.n de dimension finie. D après le théorème précédent, N et Ñ1 sont des normes équivalentes donc dire qu une suite converge au sens de la norme N équivaut à dire qu elle converge au sens de la norme N 1. Comme la définition de la compacité repose sur la notion de limite, les compacts de (E, N) sont ceux de (E, Ñ1), c est-à-dire les fermés bornés. 2.3 Continuité et connexité Généralités Une autre notion très importante en topologie est celle de connexité. Si l on cherche à se représenter un ensemble connexe, on retiendra l image d un ensemble ne comportant qu un seul morceau. Venons-en maintenant à la définition mathématique de la connexité (qui au premier abord peu sembler assez éloignée de la définition heuristique que nous venons d en donner) :

23 2.3. CONTINUITÉ ET CONNEXITÉ 23 Proposition Soit A une partie de E. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes 2 : (i) A et sont les seules parties ouvertes et fermées de A, (ii) Il n existe pas de couple d ouverts de A non vides, disjoints et de réunion égale à A, (iii) Il n existe pas de couple de fermés de A non vides, disjoints et de réunion égale à A. Si l une de ces trois propriétés est vérifiée, on dit que A est une partie connexe de E. Exemples : (i) Les parties discrètes ayant plus d un élément ne sont pas connexes. En effet, on a vu que tous les singletons de telles parties étaient à la fois ouverts et fermés. (ii) L ensemble E lui-même est connexe ainsi que. Proposition L image d une partie connexe par une application continue est connexe. Preuve : Soit f C(A, B) avec A partie connexe de E et B = f(a). Soit U une partie ouverte et fermée de B. Alors d après la prop , f 1 (U) est ouverte et fermée dans A. Puisque A est connexe, on a donc f 1 (U) = (auquel cas U = ) ou bien f 1 (U) = A (et alors U = B). Corollaire Une partie A de E est connexe si et seulement si toute application continue de A dans {0, 1} est constante. Preuve : Soit A connexe et f une application continue de A dans {0, 1}. Alors f(a) doit être une partie connexe de {0, 1}. Or les parties discrètes ayant plus d un élément ne sont pas connexes donc f(a) ne doit comporter qu un seul élément. Pour montrer la réciproque, on suppose qu il existe f continue de A dans {0, 1} telle que f(a) = {0, 1}. Les deux ensembles f 1 ({0}) et f 1 ({1}) sont disjoints, non vides par hypothèse et fermés car f est continue. Leur réunion vaut A. On conclut que A n est pas connexe. Corollaire La réunion d une famille d ensembles connexes d intersection non vide est connexe. Preuve : Soit (A i ) i I une famille d ensembles connexes d intersection B non vide et f une application continue de i I A i dans {0, 1}. Par connexité de A i, f est constante sur chaque A i. Si l on note a i la valeur de cette constante, on en déduit que f restreinte à B (qui n est pas vide) doit être constante et égale à a i pour tout i. En conséquence, tous les a i sont égaux entre eux, et f est donc constante sur i I A i. On conclut grâce au corollaire précédent. Attention : La réunion d une famille quelconque de connexes n est pas connexe en général. De même, l intersection de deux connexes n est pas toujours connexe (dans R 2, considérer par exemple l intersection d un anneau et d un rectangle). Proposition Soit A E connexe. Alors tout ensemble B E tel que A B A est connexe. Preuve : Soit f une application continue de B à valeurs dans {0, 1} et b un point de B. Alors b est limite d une suite (a n ) n N de points de A. Par continuité de f en b, on a f(b) = lim f(a n). n + Or f restreinte à A est continue de l ensemble connexe A dans {0, 1}. Donc f est constante sur A, et f(b) est égal à la valeur de f sur A. On conclut que f est constante sur B. 2 Ci-dessous, quand on parle d ouverts ou de fermés, c est au sens de la topologie induite sur A

24 24 CHAPITRE 2. CONTINUITÉ Parties connexes de R Théorème Les parties connexes de R sont les intervalles de R. Preuve : Considérons d abord le cas d un intervalle fermé borné de R : I = [a, b]. Soit F 1 et F 2 deux fermés disjoints de [a, b]. Comme [a, b] est fermé dans R, F 1 et F 2 sont en fait deux fermés de R, et comme ils sont bornés, ils sont compacts. Supposons par l absurde que ces deux compacts soient non vides. Comme ils sont disjoints, on a d(f 1, F 2 ) > 0, et il existe x 1 F 1 et x 2 F 2 tels que d(f 1, F 2 ) = x 1 x 2 (exercice : le prouver). Le point (x 1 + x 2 )/2 appartient aussi à l intervalle [a, b] et doit donc appartenir à l un des deux fermés, par exemple F 1. Mais ( x1 + x ) 2 d, x 2 2 = x 1 x 2 2 = d(f 1, F 2 ), 2 ce qui est absurde. Donc F 1 ou F 2 est vide et [a, b] est bien connexe. Comme tout intervalle de R est réunion croissante d intervalles fermés bornés, le corollaire permet de conclure que tout intervalle de R est connexe. Si A R n est pas intervalle il existe deux points x et y de A tels que x < y et [x, y] A. En prenant y 0 [x, y] \ A, on constate que A ], y 0 ] et A [y 0, + [ sont deux fermés non vides et disjoints de A dont la réunion vaut A. Donc A n est pas connexe. Théorème (des valeurs intermédiaires) Soit E un e.v.n, A une partie connexe de E et f une application continue de A dans R. Alors f(a) est un intervalle de R. Preuve : On sait que f(a) est un ensemble connexe de R. Il ne reste plus qu à appliquer le théorème précédent. Remarque : Si f est continue de A dans R avec A à la fois compact et connexe, l ensemble f(a) est donc du type [a, b] Connexité par arcs Définition On dit que la partie A de E est connexe par arcs si pour tout couple (a, b) de A 2 il existe une application ϕ C([0, 1]; A) telle que ϕ(0) = a et ϕ(1) = b. Une telle application est appelée chemin continu de A allant de a vers b. L image de [0, 1] par ϕ est une courbe continue d extrémités a et b. Proposition Toute partie connexe par arcs est connexe. Preuve : On va utiliser la caractérisation de la connexité donnée par le corollaire Soit donc A connexe par arcs et f C(A; {0, 1}). Soit a et b deux points quelconques de A. Il existe un chemin ϕ C([0, 1]; A) tel que ϕ(0) = a, ϕ(1) = b. L application f ϕ est continue de [0, 1] (partie connexe de R) dans {0, 1} et est donc constante. En particulier Donc f est constante. f(a) = f ϕ(0) = f ϕ(1) = f(b). Théorème Pour les parties ouvertes des espaces vectoriels normés, la connexité est équivalente à la connexité par arcs. Preuve : Soit A une partie connexe non vide et ouverte de E. Fixons a A et considérons l ensemble B déf = {b A il existe un chemin continu de A joignant a et b}. Par définition même, l ensemble B est connexe par arcs. Reste à montrer que B = A.

25 2.4. APPLICATIONS LINÉAIRES CONTINUES 25 B n est pas vide car contient le point a. L ensemble B est ouvert. En effet, si b B, il existe un chemin de A allant de a vers b et, puisque A est ouvert, une boule non vide B(b, r) incluse dans A. Pour tout point c de B(b, r), le segment [b, c] est inclus dans B(b, r) donc dans A. C est donc un chemin de A. Enfin, la réunion du chemin allant de a à b avec le segment [b, c] est un chemin allant de a vers c, et l on conclut donc que c B, puis que B(b, r) B. L ensemble B est fermé. Soit b B A. Choisissons r > 0 tel que B(b, r) A. Comme b B, l ensemble B(b, r) B n est pas vide et contient donc un point c. Par définition de l ensemble B, il existe un chemin de A joignant a à c. Par ailleurs, le segment [b, c] appartient à B(b, r) donc est inclus dans A, et l on en déduit finalement que b B. Comme l ensemble A est connexe, on conclut que B = A. Remarque : Les notions de connexité et de connexité par arc sont invariantes par changement de norme en une norme équivalente. Un exemple important de connexité : la convexité Définition On dit qu une partie A E est convexe si pour tout couple (x, y) de A 2, le segment [x, y] déf = {tx + (1 t)y t [0, 1]} est inclus dans A. Le lecteur établira facilement le résultat suivant : Proposition Les parties convexes de E sont connexes par arc. 2.4 Applications linéaires continues Proposition Soit (E, N E ) et (F, N F ) deux e.v.n sur K, et u L(E; F ). Les six propriétés suivantes sont équivalentes. (i) u est lipschitzienne, (ii) M 0, x E, N F (u(x)) MN E (x), (iii) u est continue sur E, (iv) u est continue en 0, (v) u est bornée sur la boule unité, (vi) u est bornée sur la sphère unité. Preuve : Il suffit de prouver (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (i). (i) (ii) Immédiat car u(0) = 0. (ii) (iii) Par linéarité de u, on a u(y) u(x) = u(y x). Donc, (x, y) E 2, N F (u(y) u(x)) MN E (y x). Donc u est continue. (iii) (iv) Trivial. (iv) (v) De la continuité en 0 de u, on déduit l existence d un η > 0 tel que N F (u(x)) 1 dès que x B(0, η). Or x B(0, η) si et seulement si η 1 x B(0, 1). Par linéarité de u, on conclut que N F (u(x)) η 1 pour tout x B(0, 1). Donc u est bornée sur la boule unité.

26 26 CHAPITRE 2. CONTINUITÉ (v) (vi) Trivial. (vi) (i) Notons M une borne de u restreinte à la sphère unité. Si x y, le point (y x)/n E (y x) appartient à la sphère unité. En utilisant la linéarité de u et le fait que u est bornée par M sur la sphère unité, on obtient donc ( y x ) N F (u(y) u(x)) = N F (u(y x)) = N E (y x)n F (u ) MN E (y x). N E (y x) Donc u est lipschitzienne de rapport M. Définition On note L (E, F ) l ensemble des applications linéaires continues de E dans F. Pour f L (E, F ), on définit alors la quantité f déf = sup x E\{0} N F (f(x)). N E (x) Proposition L espace (L (E, F ); ) est un espace vectoriel normé. De plus, on a pour tout f L (E, F ), (2.3) f = sup N F (f(x)). x E N E (x)=1 Preuve : Vérifions rapidement que est une norme. La proposition assure que pour tout f L (E, F ), la quantité f est finie (et positive). Il est de plus immédiat que λf = λ f pour tout λ K et que f = 0 si et seulement si f = 0. Si f et g sont deux éléments de L (E, F ), on a pour tout x E, N F ((f + g)(x)) = N F (f(x) + g(x)) N F (f(x)) + N F (g(x)) ( f + g )N E (x). Donc f + g est linéaire continue et vérifie f + g f + g. Donc est bien une norme. La preuve de l égalité (2.3) est laissée au lecteur à titre d exercice. Proposition Sur L (E) déf = L (E, E) la norme vérifie l inégalité suivante : u L (E), v L (E), u v u v. On dit que (L (E); ) est une algèbre normée et que est une norme d algèbre. Preuve : Pour tout couple (u, v) d éléments de L (E), on a u v = d où le résultat. sup N E (u(v(x)) x E N E (x)=1 sup u N E (v(x)) u v, x E N E (x)=1 Théorème Si (E, N E ) est un e.v.n de dimension finie et (F, N F ) est un e.v.n quelconque, toute application linéaire de E dans F est continue : L(E, F ) = L (E, F ). Preuve : Fixons (e 1,, e n ) une base de E. Soit f L(E, F ). Comme toutes les normes sont équivalentes sur E, on peut supposer que E est muni de la norme N 1 (x) déf = sup 1 i n x i où (x 1,, x n ) désigne les coordonnées de x par rapport à la base (e 1,, e n ). On a alors grâce à la linéarité de f et à l inégalité triangulaire, N F (f(x)) = N F ( i=1 x if(e i )), n i=1 x i N F (f(e i )), (max 1 i n N F (f(e i ))) N 1 (x). Donc, d après la proposition 2.4.1, f est continue.