Chapitre 1 : Suites. Suites arithmétiques. - Son premier terme est =2. Représentation graphique y

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1 Chapitre 1 : Suites Leçon I. Suites arithmétiques et géométriques 1) Rappels de Première Suites arithmétiques Exemple : la suite des nombres impairs est une suite arithmétique Exemples Suites géométriques Exemple : La suite des puissances de 2 est une suite géométrique Son premier terme est =1 - Sa raison est =2 - Son premier terme est =2 - Sa raison est =2 Représentation graphique y x Expression en fonction de ou formule de récurrence = + = Expression en fonction de n ou formule explicite = + = + 1 = + = = = Sens de variation - Si >0 alors est strictement croissante - Si <0 alors est strictement - Si =1 alors est constante - Si >1alors strictement croissante - Si 0<<1 alors strictement Marilyn ZAGO Chapitre 1 : Suites Terminale ES 1

2 décroissante - Si =0 alors est constante décroissante - Si <0 alors non monotone 1) La suite est définie pour tout entier par = Calculer. 2) La suite est définie par =3 et pour tout entier par =2 +5. Calculer. 3) Une population augmentant de 5% tous les dix ans peut être modélisée par quel type de suite? Donner sa raison. 4) Une production diminuant régulièrement de 5 tonnes par an peut être modélisée par quel type de suite? Donner sa raison. Marilyn ZAGO Chapitre 1 : Suites Terminale ES 2

3 Exercices : 2) Somme des termes d une suite géométrique Propriété : Soit un nombre différent de 1 ; alors pour tout nombre entier naturel : Exemple : Soit 1! "#. Somme de termes consécutifs d une suite géométrique Cette formule peut se retenir de la façon suivante : Exemples : Soit la suite géométrique telle que 0 3 et 2 dans ce cas Marilyn ZAGO Chapitre 1 : Suites Terminale ES 3

4 Soit la suite géométrique telle que 8 1& 3 et =3 dans ce cas = 3) Exercices d application Ex 1. Comparaison de placements On souhaite comparer deux placements : - Placement A : dépôt initial de 500 euros et un versement mensuel de 10 euros - Placement B : dépôt initial de 400 euros et un versement mensuel de 5% du capital placé On note a ) le capital en euros obtenu par le placement A et b ), le capital obtenu par le placement B après n mois de versement. Ainsi a =500et b =400. 1) Calculer a et a. Justifier la nature de la suite a ). Donner le premier terme et la raison. Marilyn ZAGO Chapitre 1 : Suites Terminale ES 4

5 2) Calculer b et b. Justifier la nature de la suite b ). Donner le premier terme et la raison. 3) Pour chacune des deux suites donner la formule de récurrence et la formule explicite 4) Déterminer à l aide de la calculatrice au bout de combien de temps le capital b ) devient supérieur au capital a ). - Ex 2. Problème concret Le conseil municipal d une station touristique de montagne a décidé de faire équiper une falaise afin de créer un site d escalade. La falaise a une hauteur de 50 mètres. L équipement doit se faire depuis le haut de la falaise. Une entreprise spécialisée dans les travaux acrobatiques propose le devis suivant : le premier mètre équipé coute 40 euros puis chaque mètre supplémentaire équipé coûte 5% de plus que le mètre précédent. 1) Quel est le prix du deuxième mètre équipé? 2) On appelle le prix du nième mètre équipé. On a donc 40. Exprimer en fonction de. 3) Quelle est la nature de la suite? Quelle est sa raison? Marilyn ZAGO Chapitre 1 : Suites Terminale ES 5

6 4) Exprimer en fonction de. 5) Quel est le prix à payer à un euro près pour équiper cette falaise? Marilyn ZAGO Chapitre 1 : Suites Terminale ES 6

7 Leçon II. Notion de limite Chercher la limite d une suite c. est étudier le comportement des termes quand prend des valeurs entières aussi grandes que l on veut. On dit dans ce cas que l on cherche la limite de la suite, lorsque tend vers plus l infini et on utilise la notation suivante : lim Dans ce chapitre, on se contente d étudier la limite de suites géométriques dont la raison est positive. 1) Limite d une suite géométrique de raison q strictement positive 2) Cas particulier Marilyn ZAGO Chapitre 1 : Suites Terminale ES 7

8 3) Application Déterminer la limite des suites suivantes : 0,2 0, ? Marilyn ZAGO Chapitre 1 : Suites Terminale ES 8

9 Leçon III. Suites arithmético-géométriques 1) Définition 2) Exemple La suite est définie par 0 3 et, pour tout entier naturel, et A Ses termes peuvent être calculés successivement en utilisant la relation de récurrence ) Remarque On distingue plusieurs cas particuliers suivant les valeurs prises BC A est une suite constante à partir du rang 1 au moins D 0 BC A0 alors pour tout, donc est une suite géométrique de alors pour tout, 1 A donc est une suite arithmétique de raison A. Marilyn ZAGO Chapitre 1 : Suites Terminale ES 9

10 4) Application Une observation faite par un journal sur ses abonnés a permis de constater pour chaque année un taux de réabonnement de 75% ainsi que l apparition d environ nouveaux abonnés. On le nombre d abonnés après années et on précise Expliquer pourquoi pour tout nombre entier 1 0,75@ Soit la suite définie pour tout nombre entier naturel par : 16 a. Montrer que la suite est une suite géométrique. b. Pour tout entier naturel, exprimer en fonction de, en fonction de. Marilyn ZAGO Chapitre 1 : Suites Terminale ES 10

11 3. En utilisant le résultat précédent, déterminer la limite de la Marilyn ZAGO Chapitre 1 : Suites Terminale ES 11

12 Leçon IV. Représentation graphique d une suite arithmético-géométrique Soit une suite arithmético-géométrique définie par 0 et la relation pour tout de N : A où@ BC A désignent des nombres réels donnés. 1) Méthode On se place dans un repère orthonormé. Etape 1 : On trace la droite Gd équation H I ; On trace la droite déquation ; Etape 2 : On place 0 sur l axe des abscisses ; Etape 3 : ordonnées ; On utilise la droite pour placer 0 A sur l axe des On utilise la droite G pour placer 1 sur l axe des abscisses ; Etape 4 : abscisses. On recommence l étape 3 pour placer 2, 3, sur l axe des Marilyn ZAGO Chapitre 1 : Suites Terminale ES 12

13 2) Application On considère la suite définie pour tout de N par : 1 0, Représenter dans un repère orthonormé les 4 premiers termes de la suite lorsque : Dans les deux cas, déterminer la limite de la suite. Exercices : 65 page 47 et 66 page 48. Marilyn ZAGO Chapitre 1 : Suites Terminale ES 13

14 Leçon V. Recherche d un seuil à l aide d un algorithme Marilyn ZAGO Chapitre 1 : Suites Terminale ES 14