Cours 7 ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (ACP) Master /2006

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1 Cours 7 ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (ACP) Master /2006

2 . Les données NOMS PUISS CYLI Co uple Ma xi LONG LARG H AUT COFFRE RESE POIDS VITE CONS ALF 47,9 JTD Distinctive ,7,73, ,8 ALF 66 2,5 V6 24V Progression ,5 4,72,8, ,9 ASTMAR DB7 Volante ,66,83, AUD A4 3,0 Quattro Pack ,6 4,55,77, ,5 AUD A8 S8 Pack Avus ,9 5,03,88, AUD TT Roadster,8 T225 Quattro ,5 4,04,76, ,2 AUDIA4 Cabriolet 2, ,4 4,57,78, ,7 BEN Continental T ,2 5,22,95, ,7 BMW 36i ,8 4,47,74, , BMW X5 3,0d Pack Luxe ,8 4,67,87, ,7 BMW Z ,4,83, ,5 CAD Seville STS ,8 4,99,9, , CHR Grand Voyager 2,5 CRD Lim ited ,8 5,09 2, ,7 CHR PT Cruiser 2,0 Classic ,29,7, ,8 CIT Berlingo,6i 6V SX ,3 4,,72, ,4 CIT C3,4 HDI 70 c h SXPac k Clim ,3 3,85,67, ,2 CIT Picasso,6i SX ,28,75, ,8 CIT Saxo,i Bic , 3,72,59, ,7 CIT Xsara 2,0 Hdi 0 ch Exclusive ,9,7, ,2 DAE Leganza 2,0 CDX ,8 4,67,78, ,2 DAI Sirion,3x ,2 3,67,59, ,7 FIA Multipla JTD 5 ELX ,7 3,99,87, ,4 FIA Seicento S ,9 3,32,5, ,8 FIA Stilo,9 JTD 80 ch Active ,25,76, ,5 FOR Fiesta,4 TDCi Ghia ,3 3,92,68, ,3 FOR Focus ST ,7,7, , FOR Ka,3 Original ,7 3,62,63, ,3 FOR Mondeo 2,0 DTCi 30 ch Ghia ,7 4,73,8, ,9 FOR Pum a, ,8 3,98,67, ,3 HON Accord 2,3iES ,59,75, ,7 2 + encore 63 modèles de voitures NOMS ALF 47,9 JTD Distinctive ALF 66 2,5 V6 24V Progression ASTMARDB7 Volante AUD A4 3,0 Quattro Pack

3 2. Résumé des données Sortie SPAD 3 STATISTIQUES SOMMAIRES DES VARIABLES CONTINUES EFFECTIF TOTAL : 9 POIDS TOTAL : NUM. IDEN - LIBELLE EFFECTIF POIDS MOYENNE ECART-TYPE MINIMUM MAXIMUM C2 - PUISS C3 - CYLI C4 - CoupleMaxi C5 - LONG C6 - LARG C7 - HAUT C8 - COFFRE C9 - RESE C0 - POIDS C - VITE C2 - CONS C3 - PRIX

4 3. Tableau des corrélations Co rrelatio ns 4 PUISS CYLI CoupleMaxi LONG LARG HAUT COFFRE RESE POIDS VITE CONS PRIX Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N. Correlation is significant at the 0.0 level (2-tailed). PUISS CYLI CoupleMaxi LONG LARG HAUT COFFRE RESE POIDS VITE CONS PRIX,925,49,575,650 -,08,086,702,74,852,869,795,,000,000,000,000,309,46,000,000,000,000, ,925,467,675,732,024,80,796,824,724,867,873,000,,000,000,000,824,088,000,000,000,000, ,49,467,4,404 -,08,04,406,434,448,393,375,000,000,,000,000,867,328,000,000,000,000, ,575,675,4,857,95,635,863,846,62,526,507,000,000,000,,000,065,000,000,000,000,000, ,650,732,404,857,333,520,898,895,592,633,575,000,000,000,000,,00,000,000,000,000,000, ,08,024 -,08,95,333,552,342,427 -,294,058 -,055,309,824,867,065,00,,000,00,000,005,582, ,086,80,04,635,520,552,544,549,37,04,026,46,088,328,000,000,000,,000,000,97,326, ,702,796,406,863,898,342,544,934,606,697,638,000,000,000,000,000,00,000,,000,000,000, ,74,824,434,846,895,427,549,934,583,706,655,000,000,000,000,000,000,000,000,,000,000, ,852,724,448,62,592 -,294,37,606,583,639,554,000,000,000,000,000,005,97,000,000,,000, ,869,867,393,526,633,058,04,697,706,639,798,000,000,000,000,000,582,326,000,000,000,, ,795,873,375,507,575 -,055,026,638,655,554,798,000,000,000,000,000,608,808,000,000,000,000,

5 4. Visualisation des données X X p Y Y 2 Y 2 (i) i 0 Y (i) i x i x pi y i y 2i n Le premier plan principal Cor(X j,y 2 ) X j 0 Cor(X j,y ) 5 Le tableau des données Les composantes principales (non corrélées entre elles) Le cercle des corrélations

6 5. Le nuage de points associé aux données i n X X p x i x pi x i X p PEUGEOT 06 0 g BMW X5 X 2 6 x K x p g N = {x,, x i,, x n } = Nuage de points associé aux données X Centre de gravité du nuage N : g = n x n i i=

7 6. Inertie totale du nuage de points i X X p x i x pi X p PEUGEOT 06 x i g 0 BMW X5 X 2 n x... x p g Inertie totale = I(N, g) = n n i= X d 2 x i,g 7 n n i= p j= x ji x j 2 p j= n n i= x ji x j 2 p j= s j 2

8 8 7. Réduction des données Pour neutraliser le problème des unités on remplace les données d origine par les données centrées-réduites : p p p p s x X = X s x X = X M de moyenne 0 et d écart-type.

9 Les données centrées-réduites 9 P U I S CS Y LCI o u p l Le OM Na LxG Ai RH GA CU OT F FR REES PE O I D VSI T EC O N SP R I XC A RO BR I GE QI NUEI P A L F 4-70, 3, 6-90, J3T - D 0, D0 i2- s 0 t i, n3 -c 40 t, i v - e6 0, 3-20, 6-80, 0-50, 2-9 0, -5 0, 7 3-0, A L F 6 06, 42 4, 05, 2V 6-02, 4 V 90, P8 r 30 o g, 7r e0-0 s, s4 0 i o8, n7 60, 7 30, 2 8 0, 9 5, 3 3-0, A S T M A 2 R, 9 D8 3 B, 73 2V 0 o, 8l a 3n0 t, e7 00, 9 -, 7-4, 5 8, 8 3, 2 9 2, 2 5 2, 0 4 2, A U D A 04, 73 9, 0, 6Q 5u 0 a, t0 t 7r o 0, P4 a70 c, k2 7-0, 4 00, 4 50, 3 40, 3 5, 5 3 0, 8 6 0, A U D A 28, 3S 28, P7 a3 c0 k, 4 A8 v u, 4s 8, 4 5-0, 3 2, 0, 8 90, 9 6, 7 6 2, 0 4, A U D T 0 T, 8R 5- o 0 a, d4s30 t e, 0r 0 -, 08, 6T0 2, Q, -u0 a, 7t t- 5r0 o, 3 80, 0 3, 5 3 0, 4 2 0, A U D I A 04, 2C 4a 0 b, r i 3o -l 0 e t, 260, 4, 5 0, 3 7-0, 7-0, 4 40, 6 00, 5 7 0, 9 2 0, 5 9 0, B E N C o3 n, 0t i 5n 4 e, 0n 5t a l, 8T 7, 8 82, 2 0-0, 2-40, 2 02, 5 4 2, 7 9, 6 0 3, 6 3 6, B M W 3-0 6, 3i 6-0, 4-0, 3 30, 3 0-0, 0-60, 5 06, 4 20, 4-0, 90, 3 3-0, 2 9-0, 2 2 B M W X 05, 33 9, 0, d 6 P 0 a, c4 k 2 0 L, u7 x2 e, 3 4, 8 0, 5 9 2, 0 9, 8 4 0, 4 0, 5 9 0, B M W Z 28, 7 6 2, 4 2 0, 7 0 0, 50, 9 -, 2-6, 2 20, 7 90, 5 3, 7 6 2, 2, C A D S e v, 7i l2l e 2, S0 T8 0 S, 3 8, 4 0, 6 7-0, 4 00, 4 50, 6 0, 2 4, 4 7 2, 0 8 0, C H R G -r 0 a, n0d 90, V2 o2 y0 a, g 0e r, 62 2, 5, C7 R42, D 2 L, i 3m 80 i t, e9 d2, 6 2-0, 3-5 0, 0 80, C H R P T - 0 C, 0r u9-0 i s, 2e 3- r 02,, C l, a0 -s 80 s, i c4 0 9, 9 40, 9 7-0, 2 50, 0 8-0, 8-3 0, 0 5-0, C I T B e r- l0 i n, 4g - o 0, 6, i, 4 6- V 0, S4 -X 60, 22 7, 5, 9 6-0, 3-80, 3-4 0, 7-7 0, 9-0, C I T C 3-0,, H0 D, 7 I , 4 c- h, S0 X- 0 P, a8 0 c, k 3 - C0 l i, m5 -, 0-30, 9-4, 0-0, 2 7-0, C I T P i c -a0 s, s6 o 3-0, 6, 60- i 0 S, 4X 5-0, 0, 0 5, 2 60, 9 4-0, 3-80, 3-7 0, 9-0 0, 0 5-0, 4 0 C I T S a x- 0 o, 9 6-,, i 0 B2- i 0 c, 62 -, 2-9, 6-70, 8-70, 6-8, 0-3, 5 -, 0-9 0, 4 2-0, 5 4 C I T X s a- 0 r a, 4-2 0, 0, 2 H3-0 d, i , 2 c- 90 h, 4E - 90 x, c6 0 l 3u, 2s i0- v 0 e, 4-40, 4-5 0, -5 0, 9 3-0,

10 8. Le nuage de points associé aux données réduites X X p X p i x i x pi n 0 0 x i Moyenne 0 BMW X5 X PEUGEOT 06 2 X N = {x,, x i,, x n } Variance Centre de gravité : g = 0 0 Inertie totale : I(N, 0) = p

11 9. Premier axe principal x i X p X 0 y i X 2 Objectif : On cherche l axe passant le mieux possible au milieu du nuage N. On cherche à minimiser l inertie du nuage N par rapport à l axe : I(N, n 2 ) = d (x i, y i ) n i=

12 Premier axe principal (suite) x i X p X Objectif 2 : On cherche l axe d allongement du nuage N. 0 On cherche à maximiser l inertie du nuage N projeté sur l axe : y i X 2 2 I( { } n y,..., y,0 )= n i= 2 n d (yi,0 )

13 Les objectifs et 2 sont atteints simultanément X p x i 0 y i X 2 X De : on déduit : d 2 (x i,0 ) = d 2 (y i,0 ) + d 2 (x i, y i ) n n n d (xi,0 ) = d (y i,0 ) + d (xi, yi ) n i= n i= n i= 3 Inertie totale = p = Inertie expliquée par + Inertie résiduelle Maximiser Minimiser

14 er axe principal : Résultats L axe passe par le centre de gravité 0 du nuage de points N. L axe est engendré par le vecteur normé u, vecteur propre de la matrice des corrélations R associé à la plus grande valeur propre λ. L inertie du nuage projeté est égal à λ. La part d inertie expliquée par le premier axe principal est égale à λ /p. 4

15 Résultats SPAD 5 VALEURS PROPRES APERCU DE LA PRECISION DES CALCULS : TRACE AVANT DIAGONALISATION SOMME DES VALEURS PROPRES HISTOGRAMME DES PREMIERES VALEURS PROPRES NUMERO VALEUR POURCENT. POURCENT. PROPRE CUMULE

16 Résultats SPAD Direction du vecteur propre associé à la plus grande valeur propre :

17 0. Première composante principale Y X p x i 0 u y i X 2 Y (i) X Y est une nouvelle variable définie pour chaque individu i par : Y (i) = coordonnée de y i sur l axe = produit scalaire entre les vecteurs x i et u 7 = p j= u x j ji Y = p j= u j X j

18 Interprétation de la première composante principale Y Grosse voiture Y = PUISS -0.9 CYLI Couplemaxi LONG LARG -0.2 HAUT COFFRE RESE POIDS VITE -0.8 CONS Petite voiture

19 Résultats SPAD 9 COORDONNEES DES INDIVIDUS AXE INDIVIDUS COORDONNEES IDENTIFICATEUR P.REL DISTO ALF 47,9 JTD Distinct ALF 66 2,5 V6 24V Progr ASTMAR DB7 Volante AUD A4 3,0 Quattro Pack AUD A8 S8 Pack Avus AUD TT Roadster,8 T AUDIA4 Cabriolet 2, BEN Continental T BMW 36i BMW X5 3,0d Pack Luxe BMW Z CAD Seville STS CHR Grand Voyager 2,5 CR DISTO = d 2 (x i, 0)

20 Propriétés de la première composante principale Y Moyenne de Y = 0 Variance de Y = n n 2 Y (i) = n i= n i= d 2 (y i,0 ) = λ Cor(X j, Y ) = λ u j p p j= cor 2 (X j,y ) = λ est maximum p 20

21 Qualité de la première composante principale Y Inertie totale = Inertie expliquée par le premier axe principal = λ = 6.69 Part d inertie expliquée par le premier axe principal : λ p 6.69 = = La première composante principale explique % de la variance totale.

22 . Deuxième axe principal 2 2 Y 2 (i) 0 x i a i Y (i) 22

23 2 ème axe principal 2 : Résultats 23 On recherche le deuxième axe principal 2 orthogonal à et passant le mieux possible au milieu du nuage. Il passe par le centre de gravité 0 du nuage de points et est engendré par le vecteur normé u 2, vecteur propre de la matrice des corrélations R associé à la deuxième plus grande valeur propre λ 2. La deuxième composante principale Y 2 est définie par projection des points sur le deuxième axe principal. La deuxième composante principale Y 2 est centrée, de variance λ 2, et non corrélée à la première composante principale Y.

24 Résultats SPAD COORDONNEES DES VARIABLES SUR LES AXES A 5 VARIABLES ACTIVES VARIABLES COORDONNEES CORRELATIONS VARIABLE-FACTEUR IDEN - LIBELLE COURT C2 - PUISS C3 - CYLI C4 - CoupleMaxi C5 - LONG C6 - LARG C7 - HAUT C8 - COFFRE C9 - RESE C0 - POIDS C - VITE C2 - CONS

25 Interprétation de la deuxième composante principale Y 2 Y 2 = 0.43 PUISS CYLI Couplemaxi LONG LARG HAUT COFFRE RESE POIDS VITE CONS Voiture familiale Voiture sportive

26 2. Exemple Auto 2002 Le premier plan principal 26

27 27 Le cercle des corrélations

28 3. Qualité globale de l analyse Inertie totale = variance totale = p Part de variance expliquée par la première composante principale = Part de variance expliquée par la deuxième composante principale = λ p λ 2 p 28 Part de variance expliquée par les deux premières composantes principales = Et ainsi de suite pour les autres dimensions... λ +λ2 p

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