Les différents ensembles de nombres Corrigés des exercices et synthèse de cours

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1 Préparation accélérée CRPE Mathématiques Exercice 1 1. Les différents ensembles de nombres Corrigés des exercices et synthèse de cours ; ;,14 ; ; 0 sont des nombres rationnels décimaux. Un nombre décimal a deux écritures : une écriture fractionnaire et une écriture à virgule finie. 1 ; et sont des rationnels non décimaux. Un nombre rationnel a aussi deux écritures : une écriture fractionnaire et une écriture à virgule. Cette dernière est infinie et périodique. π et 5 sont des nombres irrationnels. Ces nombres ne peuvent pas s écrire sous la forme d une fraction. Ils ont une écriture à virgule infinie et non périodique.. a) VRAI. Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers. Comme un nombre décimal peut toujours s'écrire sous forme d'une écriture fractionnaire dont le dénominateur est une puissance de 10, c est donc bien un nombre rationnel. Ou bien Un nombre décimal s'écrit sous forme d'une fraction irréductible dont le dénominateur s'écrit sous la forme n 5p (avec n et p entiers). Ou encore Un nombre décimal peut s écrire avec une écriture à virgule dont le nombre de chiffres après la virgule est fini ; il suffit alors de multiplier ce nombre par une puissance de 10 suffisamment grande (et de diviser par cette même puissance de 10) pour obtenir ce nombre sous forme d une écriture fractionnaire. Remarque : Il ne suffit pas de donner un exemple pour justifier que l affirmation est vraie. b) FAUX Remarque : Un contre-exemple suffit à prouver qu'une affirmation est fausse 1 est un nombre rationnel qui n'est pas un nombre décimal ( 1 est une fraction irréductible dont le dénominateur ne s'écrit pas sous la forme n 5p (avec n et p entiers) ou bien l écriture décimale de 1 est illimitée : ). 1 0, c) Faux La notion «consécutif» qui suppose qu aucun autre nombre n est situé entre des nombres dits «consécutifs» n a pas de sens avec les nombres décimaux. Il y a une infinité de nombres décimaux entre 1,6 et 1, (par exemple 1, 64 est un décimal compris entre 1,6 et 1,).. La valeur arrondie de au centième près d un réel est le nombre décimal le plus proche ayant une partie décimale composée de chiffres maximum. En utilisant une calculatrice, centième près est donc,14.,1485. Sa valeur arrondie au La valeur approchée par excès au dixième près de est le nombre décimal supérieur le plus proche ayant un chiffre après la virgule. C est,. La valeur approchée par défaut au millième près de inférieur le plus proche ayant trois chiffres après la virgule. C est,14. est le nombre décimal 1

2 La valeur arrondie de au centième près est 0,6. La valeur approchée au dixième près de par excès est 0,. La valeur approchée au millième près de par défaut est 0, En utilisant une calculatrice, 1, La valeur arrondie de au centième près est 1,09. 1 La valeur approchée au dixième près par excès de est 1,1. La valeur approchée au millième près par défaut de 1 est 1,09. En utilisant une calculatrice π,14159 La valeur arrondie de π au centième près est,14. La valeur approchée de π par excès au dixième près est,. La valeur approchée de π par défaut au millième près est,141. En utilisant une calculatrice 5,6069. La valeur arrondie de 5 au centième près est,4. La valeur approchée par excès de 5 au dixième près est,. La valeur approchée par défaut de 5 au millième près est,6. 4. Encadrement de à 10 - près :,14 < <,15 Encadrement de à 10 - près : 0,66 < < 0,6 1 Encadrement de à 10-1 près : 1,09 < < 1,1 Encadrement de π à 10 - près :,14 < π <,15 Encadrement de 5 à 10 - près :, < 5 <,4 5. Ces nombres sont 18,45 ; 18,46 ; 18,4 ; 18,48 ; 18,49 ; 18, 51 ; 18, 5 ; 18,5 ; 18, 54. Exercice r,00 D où 1000x r 0, x r r 0 (car les parties décimales de 1000xr et r sont les mêmes). 999x r 68 d où r Recherche de l écriture fractionnaire irréductible : 999 1x9 1x² xx ² x 68 n est pas divisible par puisque la somme de ses chiffres, 19, ne l est pas divisible par ) mais est divisible par. 68 x 64 x 6 x ainsi r x Exercice 1. Le point peut être remplacé par 8 et 9., 488 et,498 sont compris entre, 48 et,5. Pour les obtenir, il était possible d écrire tous les nombres compris entre,48 et,5 dont la partie décimale comporte trois chiffres.. Voici des nombres écrits avec 5 des chiffres 0, 1, 4, 5, 8, 9 et compris entre 18 et 19 : 18,045 ; 18,049 ; 18,054 ; 18,059 ; 18,094 ; 18,095 ; 18,405 ; 18,409 ; 18,459 ; 18,495 18,504 ; 18, 509 ; 18,549 ; 18,594 18,904 ; 18,905 ; 18,945 ; 18,954. On pouvait en choisir 8 parmi ces derniers dont les quatre premiers qui sont plus proches de 18 que de 19.

3 Exercice 4 1. Entre 0 et 0,1 il y a 9 nombres qui s écrivent avec deux chiffres après la virgule. On peut les représenter par des points situés sur une droite graduée : 0 0,01 0,0 0,0 0,04 0,05 0,06 0,0 0,08 0,09 0,1 Il est possible de graduer plus finement ce morceau de droite en considérant chaque segment compris entre deux graduations successives et en agrandissant l échelle pour le partager en 10 parties égales. Par exemple, si on procède de cette manière avec l intervalle [0 ; 0,01], le segment d extrémité 0 et 0,01 de 1 1 longueur sera partagé en 10 segments de mesure de longueur dix fois plus petite soit Les extrémités de ces segments situées entre 0 et 0,01 représentent des nombres décimaux qui s écrivent avec chiffres après la virgule 0,001 ; 0,00 ;. ; 0,009. Il y en a 9. On pourrait faire le même raisonnement pour chacun des 9 intervalles suivants : [0,01 ; 0,0] ;.. ; [0,09 ; 0 ;1]. Il y a donc 90 nombres ayant chiffres après la virgule compris entre 0 et 0,1. Si on considère que les nombres 0,01.0,09 peuvent s écrire 0,010..0,090, il y a 99 nombres à trois chiffres dans cet intervalle.. Il n est pas possible d écrire un tel nombre puisque entre deux nombres décimaux, il y en a une infinité d autres. Exercice 5 A , et 8 sont des nombres premiers entre eux et donc 8 est irréductible. B , x5 4X et 10 sont des nombres premiers entre eux donc est irréductible. 10 Exercice 6 64 xx est irréductible et son dénominateur ne s écrit pas sous la forme d un produit 1001 xx 1 de puissances de et/ou de 5. Ce n est donc pas un nombre décimal. 84 x Il en est de même de : 5 5 x x 4x5 x x x x5 5 x x5 5 x 5 x 5 x 5 Cette fraction est irréductible et son dénominateur s écrit sous la forme d un produit de puissances de et/ou de 5. C est donc un nombre décimal. La somme de deux nombres rationnels non décimaux peut être un nombre décimal. La somme d un nombre rationnel non décimal et d un nombre décimal est toujours un nombre rationnel non décimal. Exercice 1. 9 désigne un nombre décimal si on peut la transformer en écriture fractionnaire irréductible dont le dénominateur s écrit sous la forme d un produit de puissances de et/ou de 5. 5 x or ni, ni 5 ne divisent 9. 9 est donc irréductible. ne s écrit pas sous la forme d un produit de puissances de et/ou de 5. 9 L écriture fractionnaire ne désigne donc pas un nombre décimal.

4 9 5 X1 1 X et 5 sont premiers entre eux, est donc irréductible Le dénominateur est une puissance de 5. est un nombre décimal. 5 5 L écriture fractionnaire 9 5 désigne donc un nombre décimal Pour comparer ces deux nombres, on peut réduire les fractions et 5 1 au même dénominateur. Le 5 dénominateur commun à ces deux fractions est x5 x x et x Comme 145 > 14, > et donc > X1 5 0,5 5 4X est un nombre rationnel non décimal dont l écriture à virgule est infinie périodique : 0,5. 0,55 est un nombre décimal inférieur à 0,5 et supérieur à 0,5. Il est donc compris entre 9 5 et 9 4. La moyenne arithmétique des deux nombres 9 5 et 9 n est pas un nombre décimal (car l un des deux nombres n est pas un nombre décimal) et elle est nécessairement comprise entre ces deux nombres 59 9 Cette moyenne est égale à : X est un nombre rationnel non décimal compris entre 5 5 et 9. Exercice 8 Il suffit de commencer la division effective de 1 par 1, on trouve 0,9069 À partir du moment où l on trouve comme reste un reste déjà apparu (ici le 1), on retrouve la suite de restes (ici 1,, 4, 1, 10, 9), et la suite des chiffres du quotient correspondant sera répétée (ici 9,,, 0,, 6). Ici, par exemple, le 9 se trouve être le premier chiffre après la virgule, le septième, le treizième, le dix-neuvième, etc. (de 6 en 6). De même, le est le deuxième chiffre après la virgule, le huitième, le quatorzième, le vingtième etc. (de 6 en 6). Et ainsi de suite. Pour déterminer la nième décimale de 11, il suffit donc de connaître le reste dans la division euclidienne de n par 6. On a : et , donc, dans la division euclidienne par 6, 148 et 548 ont le même reste (4). On en déduit que la 148ième décimale et la 548ième décimale du nombre sont les mêmes (il s agit du chiffre «0»). Exercice 9 Procédure algébrique : Soit x l effectif total de l entreprise. L effectif total est égal à la somme des effectifs de chaque catégorie de personnel : x L effectif des cadres est égal à. 60 L effectif des techniciens est égal à 1 x. 4

5 x x Le reste (x - - ) comprend les ouvriers et les employés x x L effectif des ouvriers correspond à du reste soit à (x - - ) et il reste 0 employés x x 5 x x x 5 x 5 x 5 x On a donc x + + (x - - ) + 0 x + + (x - - ) ) En multipliant les deux membres de l égalité par 60 et soit par 160, on obtient l égalité suivante : 160x x +15x + 5 (60x x 5x) x x +15x x 5x 15x x x -15x -1500x +5x +15x x 400 x 00 L entreprise compte 00 personnes. Autre procédure Les ouvriers et les employés représentent la fraction 1-( + ) de l effectif total soit 1-( + ) de l effectif total. 5 9 Les ouvriers représentent les de ce reste et les employés représentent les de ce reste, soit x de 10 l effectif total, c est à-dire 15 1 personnes soit 15x0 00. de l effectif total. Comme il y a 0 employés, l entreprise compte 15 fois plus de Synthèse L ensemble des nombres entiers naturels : N {0, 1,,,...} C est un ensemble infini : après un nombre quelconque, on peut toujours en trouver au moins un autre : tout nombre entier naturel a un successeur. C est un ensemble discret : les nombres entiers naturels ne permettent que de graduer une demi-droite et entre deux graduations successives, il n en existe pas d autre qui puisse représenter un nombre entier. Dans cet ensemble, il existe des équations qui n ont pas de solution : par exemple 4 +? n a pas de solution dans N. Plus généralement, l équation a +? b avec a > b n a pas de solution. L ensemble Z des entiers relatifs Z complète l ensemble des entiers naturels : il est composé des nombres entiers naturels et de leurs opposés : Z {..., -, -, -1, 0, 1,,,...} N Z Ces nombres ne sont étudiés qu au collège. Ils sont utilisés dans différents contextes. Ils permettent de graduer la droite de manière plus complète que les nombres entiers naturels, mais l ensemble Z est un ensemble discret : entre deux graduations successives représentant deux nombres relatifs, il n en existe pas d autre qui puisse représenter un nombre entier relatif. Dans cet ensemble, l équation a +? b a toujours une solution même si a > b, mais certaines équations comme x? 5 n a pas de solution dans Z. L ensemble Q des nombres rationnels Cet ensemble est composé des nombres solutions d équations du type a x? b avec a et b entiers relatifs et b 0. C est donc l ensemble des nombres écrits sous forme de fractions b a (b 0). Ce sont des nombres qui sont quotients de deux entiers relatifs. N Z Q Entre deux nombres rationnels, on peut toujours en trouver un autre ; autrement dit, l intervalle [q 1, q ] où q 1 et q sont deux nombres rationnels comporte une infinité de nombres. 5

6 4 Par exemple, entre les nombres et, on peut placer le nombre 14 : l amplitude de l intervalle [,4 ] est égale à Le milieu de l intervalle est situé à 14 de, c est le nombre soit 14. Parmi les nombres rationnels, il en existe des particuliers : les nombres décimaux que l on désigne par la lettre D. On peut approcher un nombre rationnel par un nombre décimal avec une précision aussi grande que l on veut. Les nombres décimaux permettent de graduer la droite numérique de manière plus fine que les nombres entiers relatifs mais moins fine que les nombres rationnels. N Z D Q Les nombres rationnels permettent de compléter la graduation de la droite numérique, mais ils ne la remplissent pas. Il existe encore de nombreux trous : π et 5 ne sont pas des nombres rationnels mais ils désignent une graduation de la droite numérique. Ce sont des nombres irrationnels L ensemble R des nombres réels: L ensemble R des nombres réels est la réunion de l ensemble des nombres rationnels et de celui des nombres irrationnels N Z D Q R L ensemble des nombres réels remplit la droite : il est continu. Tout nombre réel peut être approché d aussi près que l on veut par un nombre décimal. Un ordinateur aussi puissant qu il soit ne gère des calculs que sur des valeurs approchées de nombres réels. L ensemble des nombres décimaux est dense dans l ensemble des nombres réels : entre deux nombres réels, on peut trouver une infinité de nombres décimaux. Les différentes écritures des nombres : Un nombre rationnel a deux écritures : - une écriture fractionnaire, - une écriture décimale ou à virgule. Un nombre rationnel décimal a une écriture décimale ou à virgule finie. Un nombre rationnel non décimal a une écriture décimale ou à virgule infinie et périodique. Un nombre décimal est un nombre rationnel particulier. Il peut s écrire sous la forme d une fraction décimale, c est-à-dire une fraction dont le dénominateur est une puissance de dix, par exemple Il peut aussi s écrire sous la forme d une fraction irréductible dont le dénominateur s écrit sous la forme d un produit de puissances de et/ou de 5. Par exemple, n est pas une fraction irréductible mais si on divise le numérateur et le dénominateur par, on trouve une fraction irréductible qui lui est égale et qui est un nombre décimal. est un nombre décimal. 0 ²x5. Attention : Il faut être prudent : en effet, une calculatrice ou un ordinateur aussi puissants soient ils ne donnent qu une approximation d un nombre rationnel non décimal, si bien que la plupart du temps, il est impossible de caractériser un nombre à l aide de son écriture à virgule. Il est alors préférable d utiliser les écritures fractionnaires pour déterminer si un nombre est rationnel décimal ou non. Un nombre irrationnel a une écriture décimale infinie non périodique Valeur arrondie La valeur arrondie à 10 n 1 ( n ) d un réel est le nombre décimal le plus proche ayant une partie décimale 10 composée de n chiffres maximum. Cas particulier où la décimale à supprimer est un 5 : la valeur arrondie au dixième de 1,5 est 1,. Valeur approchée par défaut, par excès 6

7 La valeur approchée à 10 n par défaut d un nombre réel est le nombre décimal inférieur le plus proche ayant une partie décimale composée de n chiffres maximum. La valeur approchée à 10 n par excès d un nombre réel est le nombre décimal supérieur le plus proche ayant une partie décimale composée de n chiffres maximum. Encadrement Encadrer à 10 n un nombre réel r consiste à déterminer deux nombres décimaux, l un inférieur à r et l autre supérieur à r tels que leur différence soit égale à 10 n Exemple : Un encadrement à 10 - de 5 est,6< 5 <,, car,,6 0, Comparaison des nombres décimaux Les relations inférieur ou égal à ( ) ; supérieur ou égal à ( ) ; inférieur à (<) ; supérieur à (>) sont des relations d ordre. Dans N, tout nombre a un successeur et un prédécesseur (sauf 0). Ce n est plus vrai dans D, Q et R. Exemples : dans N, a un successeur à savoir 4. Dans D, n a pas de successeur. Ce n est pas 4 puisqu il y une infinité de nombres décimaux entre et 4 (,1 ;,01 ;,001...). Entre deux décimaux, on peut toujours intercaler un décimal : ainsi entre,1 et,, on peut intercaler,. Entre deux entiers, on ne peut pas toujours intercaler un entier. Ainsi, entre et 4, on ne peut pas intercaler d entier. Pour comparer des nombres décimaux, on compare leur partie entière. Si les parties entières sont les mêmes, on compare les parties décimales de même rang. 45,68 est plus petit que 45,69 parce que dixièmes est plus petit que 6 dixièmes. Les nombres entiers ne permettent pas de graduer la droite numérique : entre deux graduations successives, il n en existe pas d autres qui puissent représenter un nombre entier. Les nombres décimaux et plus généralement, les nombres rationnels permettent de compléter la graduation de la droite numérique, mais ils ne la remplissent pas. L ensemble des nombres réels remplit la droite : à tout point de la droite on peut associer un nombre réel et un seul et réciproquement.