(exercice : calculer u 2 puis u 5 )

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "(exercice : calculer u 2 puis u 5 )"

Transcription

1 Suites Prérequis : Division euclidienne Soient a et b deux entiers avec b 0. Il existe un unique couple (q, r) Z N tel que a = q b + r et 0 r < b. q s appelle le quotient de la division enclidienne de a par b, et r le reste de cette division euclidienne. division de 13 par 4 ; 13 = : on peut également faire la division euclidienne entre 2 réels. 1 Définitions - Exemples fondamentaux 1.1 Suites Définition On appelle suite réelle toute application de N (ou d une partie de N) dans R : u : N R n u(n) = u n On note u = (u n ) n N ; u n est le terme d indice n de la suite u. Une suite peut être définie : de façon explicite n N\{1}, u n = 2n + 1 n 1 par une formule de récurrence (exercice : calculer u 2 puis u 5 ) u 0 = 1 u 1 = 0 (exercice : calculer u 2, u 3 puis u 5 ) n N, u n+2 = 3u n+1 2u n par une équation (i.e. de manière implicite) : n N, u n est l unique solution de l équation 1 + nx + x 2 + n 2 x 3 = 0 sur R +. (exercice : calculer u 0 ) 1.2 Premières propriétés et vocabulaire Comme les suites sont des applications, on pourra utiliser tout le vocabulaire vu dans le premier chapitre ; par exemple, une suite u sera majorée s il existe A tel que n, u n A. De même pour les suites minorées, bornées. L énoncé des définitions concernant la monotonie se simplifie : La suite (u n ) n N est croissante si n N, u n u n+1 La suite (u n ) n N est décroissante si n N, u n+1 u n Lorsque les inégalités sont strictes, on dit que la suite est strictement croissante ou strictement décroissante. Méthodes pour montrer la monotonie d une suite : soit calculer son accroissement u n+1 u n et montrer qu il est 0 ou 0 soit par récurrence (lorsque la suite est définie par récurrence et que la première méthode ne marche pas!) Exemples méthode 1 : 1. n N, u n = 3n + 2 : u n+1 u n = 3(n + 1) + 2 (3n + 2) = 3 > 0 donc la suite est strictement croissante. 2. n N, u n = 1 1 n! : u n+1 u n = (n + 1)n! 1 n! = 1 n! ( 1 n + 1 1) = 1 n! donc la suite est strictement décroissante. 1 (n + 1) n + 1 = n (n + 1)! < 0 Exemple méthode 2 : Montrer que la suite (u n ) n N définie par u 0 = 2 et n N, u n+1 = u n, est décroissante. Pour cela, montrons par récurrence que la propriété P n : 0 u n+1 u n est vraie pour tout n N. Initialisation : u 0 = 2 et u 1 = u 0 = 2. Or 2 2 = 2( 2 1) 0 car par croissance de la fonction. D où u 0 u 1 0 u 0 u 1. 1

2 Hérédité : supposons que pour un certain n, u n u n+1 0 et montrons que u n+1 u n+2. Comme u n u n+1 0, par croissance de la fonction sur R +, u n u n+1 0 = 0 c est-à-dire u n+1 u n+2 0. Conclusion : n N, u n u n+1 0 et la suite u est décroissante. 1.3 Exemples de références Suites arithmétiques Définition La suite u est dite arithmétique s il existe un réel r, appelé raison de la suite, tel que n N, u n+1 = u n + r. Forme explicite : Toute suite arithmétique est totalement caractérisée par sa raison et son premier terme : en effet on a pour tout n N, u n = nr + u 0 (*). Si maintenant le premier terme est u p, pour tout n p, u n = (n p)r + u p. Démonstration de (*) : par récurrence, montrons que pour tout n N, u n = nr + u 0. Cas n = 0 : 0 r + u 0 = 0 + u 0 = u 0. supposons que pour un certain n N, u n = nr+u 0, et montrons que pour ce n, u n+1 = (n+1)r+u 0. Or par définition de la suite u, on sait que u n+1 = u n +r d où (H.R.), u n+1 = nr+u 0 +r = (n+1)r+u 0. Conclure. Soit la suite définie par u 1 = 1 et n N, u n+1 = u n + 2. Alors n N, u n = 2(n 1) + 1 = 2n 1. Cas particulier : r = 0. Alors pour tout n N, u n = u 0 et la suite est constante. Lien avec la somme arithmétique : la somme arithmétique est la somme des premiers termes de la suite u arithmétique de raison 1 et de premier terme u 0 = 0. En effet, dans ce cas pour tout k N u k = u 0 + kr = k et donc n u k = n k Suites géométriques Définition La suite u est dite géométrique s il existe un réel q, appelé raison de la suite, tel que n N, u n+1 = q u n. Forme explicite : Toute suite géométrique est totalement caractérisée par sa raison et son premier terme : en effet on a pour tout n N, u n = q n u 0.(*)) Si maintenant le premier terme est u p, pour tout n p, u n = q n p u p. Démonstration de (*) : par récurrence, montrons que pour tout n N, u n = q n u 0. Cas n = 0 : q 0 = 1 donc q 0 u 0 = u 0. supposons que pour un certain n N, u n = q n u 0, et montrons que pour ce n, u n+1 = q n+1 u 0. Or par définition de la suite u, on sait que u n+1 = q u n d où (H.R.), u n+1 = q(q n u 0 ) = q q n u 0 = q n+1 u 0. Conclure. Soit la suite définie par u 1 = 3 et n N, u n+1 = 2u n. Alors n N, u n = 3 2 n 1. Cas particuliers : u 0 = 0 : u est la suite nulle q = 0 : seul le premier terme de la suite peut être non nul 2

3 q = 1 : la suite est constante (car n N, u n+1 = u n ) donc n N, u n = u 0 (donc une suite constante peut être vue comme une suite géométrique ou arithmétique) q = 1 : la suite est alternée n N, u n = ( 1) n u 0, c est-à-dire u 1 = u 0, u 2 = u 0, u 3 = u 0 etc. Lien avec les sommes géométriques : la somme géométrique de raison q est la somme des premiers termes de la suite u géométrique de raison q et de premier terme u 0 = 1. En effet, dans ce cas pour tout k N u k = q k et donc n u k = n q k Suites arithmético-géométriques Définition La suite u est dite arithmético-géométrique s il existe un réel a R\{0, 1} et un réel b 0 tels que : n N, u n+1 = au n + b. Méthode pour trouver la forme explicite d une telle suite : Résoudre l équation de point fixe : α = aα + b d inconnue α. Introduire la suite v définie pour tout n par v n = u n α. Alors v est une suite géométrique de raison a. En effet : v n+1 = u n+1 α = (au n + n) (aα + b) = a(u n α) + b b = av n. En déduire la forme explicite de la suite v (cf section ci-dessus), puis la forme explicite de la suite u via la relation u n = v n + α, vraie pour tout n. Soit la suite u définie par u 0 = 1 et n N, u n+1 = 3u n + 2. on cherche α tel que α = 3α + 2. D où 2α = 2 α = 1. on introduit la suite v définie pour tout n N par v n = u n ( 1) = u n + 1. Alors, on sait que la suite v est géométrique de raison 3. Montrons-le : pour tout n N, v n+1 = u n = 3u n = 3u n + 3 = 3(u n + 1) = 3v n. Comme son premier terme est v 0 = u = 2, on obtient : n N, v n = 2 3 n. On en déduit que n N, u n = v n 1 = 2 3 n Suites récurrentes linéaires d ordre 2 Définition La suite u est dite récurrente linéaire d ordre 2 lorsqu il existe deux réels a et b tels que : n N, u n+2 = au n+1 + bu n. Une telle suite est totalement déterminée par les valeurs de ses deux premiers termes u 0 et u 1. Méthode : Résolution de l équation caractéristique de la suite : x 2 ax b = 0 sur R. 3 cas sont alors possibles : 1. l équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes r 1 et r 2 ( i.e. a 2 + 4b > 0). Alors!(λ, µ) R 2 / n N, u n = λr n 1 + µr n 2 λ et µ sont alors les uniques solutions du système : (équations obtenues pour n = 0 et n = 1) { λ +µ = u0 λr 1 +µr 2 = u 1 2. l équation caractéristique admet une solution unique r (i.e. a 2 + 4b = 0). Alors!(λ, µ) R 2 / n N, u n = λr n + µnr n λ et µ sont alors les uniques solutions du système : (équations obtenues pour n = 0 et n = 1) { λ = u0 λr +µr = u 1 3

4 3. l équation caractéristique n admet pas de solutions réelles. La détermination de la suite (u n ) est dans ce cas hors-programme. Exercice : Déterminer la forme explicite des suites définies de la manière suivante : a) u 0 = 0, u 1 = 1 et n N, u n+2 = 6u n+1 9u n. b) u 0 = 2, u 1 = 3 et n N, u n+2 = 3u n+1 2u n (cf TD sur la récurrence, section récurrence double). 2 Limite d une suite. 2.1 Suites convergentes Définition 1. On dit qu une suite u a pour limite le nombre réel l R si u n est aussi proche que l on veut de l dès que n est suffisamment grand. On note lim u n = l ou u n l 2. On dit qu une suite u tend vers + (resp. - ) si u n est aussi grand (resp. petit) que l on veut dès que n est suffisamment grand. 1. Lorsqu une suite a une limite finie réelle, on dit qu elle est convergente. Si lim u n = l, on dit qu elle converge vers l ou qu elle tend vers l. 2. Une suite qui ne converge pas est dite divergente ; c est le cas : d une suite qui n a pas de limite, par exemple : u n = ( 1) n d une suite qui tend vers l infini, par exemple : u n = 2n Etudier la nature d une suite, c est déterminer si elle est convergente ou divergente. La suite ( 2n + 1 2n + 1 n(2 + 1/n) ) converge vers 2. En effet, = n 1 n 1 n(1 1/n) = 2 + 1/n 1 1/n 2. Propriétés : Si une suite converge, alors sa limite est unique (ce qui autorise la notation lim). Toute suite convergente est bornée. Attention la réciproque est fausse : un contre-exemple est u n = ( 1) n. Si la suite u tend vers l R alors pour tout nombre entier p, lim u n+p = l. En particulier, lim u n+1 = l. Plus généralement, toute sous-suite d une suite convergente est convergente de même limite : par exemple, si la suite (u n ) converge vers l, lim u 2n = l. (u n ) converge vers 0 ( u n ) converge vers 0. (faux en-dehors de 0). 2.2 Suites de références suites arithmétiques Soit (u n ) n N une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r. Si r = 0 alors la suite (u n ) est constante et converge vers u 0 Si r > 0 alors lim u n = + Si r < 0 alors lim u n = suites géométriques Théorème 1. Si q > 1 alors lim qn = +. 4

5 2. Si q = 1 alors la suite (q n ) n N, suite constante égale à 1, converge vers Si 1 < q < 1 alors la suite (q n ) n N converge vers Si q 1 alors la suite (q n ) n N n a pas de limite. Pour étudier une suite u géométrique de raison q, il suffit d appliquer ce théorème et de tenir compte de la valeur et du signe de u 0 car n N, u n = u 0 q n. Si u 0 0, une suite géométrique converge SSI 1 < q Opérations sur les limites Une suite étant un cas particulier de fonction, toutes les opérations sur les limites vues dans le chapitre précédent, s appliquent : produit, somme, quotient... Et les méthodes pour lever les formes indéterminées sont les mêmes! Exemples : ( 2 5 ) 3 1. Déterminer la limite de la suite n n 3. n N 3 n n n n et n 3 +. Par conséquent lim 3 n n 3 = 0 ( n 3 1 ) 2. Déterminer la limite de la suite (u n ) n N = n : F.I. n N On peut écrire u n = n3 (1 1/n 3 ( ) ) 1 1/n 3 n 2 (1 + 1/n 2 ) = n 1 + 1/n 2. D où lim u n = +. n 3. Limite de la suite ( n( 1 2 )n). F.I. 0. Mais n( 1 2 )n = n 2 n = n e n ln(2). C est le théorème des croissances comparées qui permet de conclure! 3 Premiers critères de convergence 3.1 Limites et inégalités. Proposition Si u est une suite positive ( n N u n 0) qui converge vers l alors l 0. Même si pour tout n N, u n > 0, la conclusion reste l 0. Contre-exemple : la suite u définie pour tout n 1 par u n = 1 n. Proposition (Passage à la limite dans les inégalités) Soient u et v deux suites telles que n 0, u n v n. 1. Si les suites u et v convergent vers l et l alors l l. 2. Si la suite v tend vers + alors u tend vers Si la suite u tend vers alors v tend vers Le premier point devient faux si l on remplace les inégalités larges par des inégalités strictes. Par exemple, n 1, n > 1 1 n Or lim n = 1 = lim 1 1 et bien entendu 1 1! n Pour le second point, si la suite u tend vers + cela n implique absolument rien pour v. Par exemple n 1 n. La suite (n) n 0 tend vers + alors que celle de droite tend vers 0. 5

6 Théorème (théorème d encadrement ou des gendarmes) Soient u, v, w trois suites telles que pour tout n 0, u n v n w n. Supposons que les suites u et w convergent vers un même réel l. Alors la suite v converge vers l. 3.2 Convergence des suites monotones Lorsque n +, une suite monotone n a que deux possibilités : soit elle tend vers l infini (+ si elle est croissante et si elle est décroissante), soit elle converge. Théorème Toute suite croissante et majorée, est convergente. Toute suite décroissante et minorée, est convergente. Le majorant de la suite n est pas nécessairement la limite!! mais il majore la limite. la suite (2 1 n ) est croissante et majorée par 5. Mais elle converge vers 2 (la limite est le plus petit majorant de la suite.) Suites adjacentes Définition Les suites (u n ) n N et (v n ) n N sont adjacentes si 1. (u n ) n N est croissante 2. (v n ) n N est décroissante 3. v n u n 0 (ce qui équivaut à u n v n 0!) Proposition Deux suites adjacentes sont convergentes et de même limite. Démonstration 1 ere étape : montrons que n N, u n v n. Posons x n = v n u n. On a x n+1 x n = (v n+1 v n ) + (u n u n+1 ) 0. (x n ) n N est donc une suite décroissante qui tend vers 0 (par 3) : on en déduit que n N, x n 0 (raisonner par l absurde). On a donc n N, u 0 u n v n v 0. La suite (u n ) croissante et majorée par v 0 converge ; de même la suite (v n ) décroissante et minorée par u 0 converge. 2 e étape : montrons que la limite est la même. Soient l et l les limites respectives des suites (u n ) et (v n ). Alors d après les opérations sur les limites, v n u n l l. Or 3) est vérifiée : donc par unicité de la limite, l l = 0 soit l = l. Si u et v sont deux suites adjacentes, on a donc (cf preuve ci-dessus) la propriété : n N, u n l v n 6

Suites : Calcul et comportement asymptotique.

Suites : Calcul et comportement asymptotique. 4 Chapitre 3 Suites : Calcul et comportement asymptotique. 3. Méthodes de définition. Comment définir une suite (u n ) n N de réels? Par l expression de son terme général, Par une formule de récurrence

Plus en détail

Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques Cours de terminale S Suites numériques V. B. et S. B. Lycée des EK 13 septembre 2014 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier

Plus en détail

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompriscom Reconnaitre les formes indéterminées Dans chaque cas, on donne la ite de et v n Déterminer si possible, ( +

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi Cours d analyse 1ère année Rhodes Rémi 10 décembre 2008 2 Table des matières 1 Propriétés des nombres réels 5 1.1 Sous-ensembles remarquables de R........................ 5 1.2 Relations d ordre..................................

Plus en détail

VIII Relations d ordre

VIII Relations d ordre VIII Relations d ordre 20 février 2015 Dans tout ce chapitre, E est un ensemble. 1. Relations binaires Définition 1.0.1. On appelle relation binaire sur E tout triplet R = (E, E, Γ) où Γ est une partie

Plus en détail

MATHS VUIBERT. Rappels de cours Conseils de méthode Exercices guidés Exercices d approfondissement Problèmes de synthèse Tous les corrigés détaillés

MATHS VUIBERT. Rappels de cours Conseils de méthode Exercices guidés Exercices d approfondissement Problèmes de synthèse Tous les corrigés détaillés VUIBERT MÉTHODES EXERCICES PROBLÈMES MATHS ECE 2 e année Tout le programme Rappels de cours Conseils de méthode Exercices guidés Exercices d approfondissement Problèmes de synthèse Tous les corrigés détaillés

Plus en détail

Calculs préliminaires.

Calculs préliminaires. MINES-PONTS 005. Filière MP. MATHÉMATIQES 1. Corrigé de JL. Lamard jean-louis.lamard@prepas.org) Calculs préliminaires. Notons que si f H alors f)e / est bien intégrable sur R car continue positive et

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Université Joseph Fourier, Grenoble. Suites numériques. Bernard Ycart

Université Joseph Fourier, Grenoble. Suites numériques. Bernard Ycart Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Suites numériques Bernard Ycart Vous savez déjà étudier une suite et calculer sa limite. La nouveauté réside dans la rigueur. La notion de convergence

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1 Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1 Cours de Mathématiques 1 Table des matières 1 Un peu de formalisme mathématique 7 1.1 Rudiments de logique........................................

Plus en détail

CHAPITRE 2 SUITES RÉELLES ET COMPLEXES

CHAPITRE 2 SUITES RÉELLES ET COMPLEXES CHAPITRE SUITES RÉELLES ET COMPLEXES Les suites sont un objet fondamental à la fois en mathématiques et dans l application des mathématiques aux autres sciences. Nous verrons dans ce cours et les travaux

Plus en détail

I Exercices. 1 Définition de suites. 2 Sens de variation d une suite

I Exercices. 1 Définition de suites. 2 Sens de variation d une suite I Exercices 1 Définition de suites Pour toutes les suites (u n ) définies ci-dessous, on demande de calculer u 1, u, u 3 et u 6 1 u n = 7n n + { u0 = u n+1 = u n + 3 3 u n est le n ième nombre premier

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Cours de mathématiques Ó Ø Ó Ö ¾¼½ PSI Aurélien Monteillet ii Ce document contient les notes d un cours de mathématiques pour la classe de PSI. Les démonstrations non exigibles ou hors programme sont explicitement

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

Raisonnement par récurrence Suites numériques

Raisonnement par récurrence Suites numériques Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.

Plus en détail

Examen 2 Mathématiques L1S1 TD 1104 2015 2016 Université Paris 1

Examen 2 Mathématiques L1S1 TD 1104 2015 2016 Université Paris 1 Examen Mathématiques LS TD 04 05 06 Université Paris Nom : Prénom : Durée : heure. Calculatrice interdite. Aucun document autorisé. Chaque question de la partie QCM vaut un point. Identifiez toutes les

Plus en détail

Suites réelles. 4 Relations de comparaison des suites 9 4.1 Encore du vocabulaire... 9. 5.2 Quelques propriétés... 13

Suites réelles. 4 Relations de comparaison des suites 9 4.1 Encore du vocabulaire... 9. 5.2 Quelques propriétés... 13 Maths PCSI Cours Table des matières Suites réelles 1 Généralités 2 2 Limite d une suite 2 2.1 Convergence d une suite....................... 2 2.2 Deux premiers résultats....................... 3 2.3 Opérations

Plus en détail

Cours de mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire. Jean-Paul Widehem 2009-2010 Lycée Roland Garros

Cours de mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire. Jean-Paul Widehem 2009-2010 Lycée Roland Garros Cours de mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Jean-Paul Widehem 2009-2010 Lycée Roland Garros Table des matières partie 1. Récurrence et suites 1 Chapitre 1. Raisonnement par récurrence

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Devoir surveillé n 1 : correction

Devoir surveillé n 1 : correction E1A-E1B 013-01 Devoir surveillé n 1 : correction Samedi 8 septembre Durée : 3 heures. La calculatrice est interdite. On attachera une grande importance à la qualité de la rédaction. Les questions du début

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

Cours d Analyse Semestre 1. Stéphane Attal

Cours d Analyse Semestre 1. Stéphane Attal Cours d Analyse Semestre 1 Stéphane Attal 2 Contents 1 Les nombres réels 5 1.1 Les ensembles usuels de nombres................ 5 1.2 Ensembles ordonnés........................ 6 1.3 Le corps des nombres

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-201 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre III : Polynômes 1 Fonctions polynômes & polynômes Définition 1. Soit

Plus en détail

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Licence MIMP Semestre 1 Math 12A : Fondements de l Analyse 1 http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Septembre 2013 Table des matières Chapitre I. Les nombres réels et les suites numériques 1 1

Plus en détail

M11 - Résumé de cours et exercices d analyses Premier cycle universitaire TABLES DES MATIÈRES

M11 - Résumé de cours et exercices d analyses Premier cycle universitaire TABLES DES MATIÈRES M11 - Résumé de cours et exercices d analyses Premier cycle universitaire TABLES DES MATIÈRES I. Logique. II. Ensemble. III. Relation, fonction, application. IV. Composition, réciprocité. V. Relation d

Plus en détail

Cours polycopié pour le module Mathématique II

Cours polycopié pour le module Mathématique II Université Paul Sabatier - UFR MIG - Département de Mathématique. Année scolaire 2009/2010. Cours polycopié pour le module Mathématique II Conventions. Dans ce qui suit, les mots en italiques sont ceux

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 Relations binaires Relations d équivalence Exercice 1 [ 02643 ] [Correction] Soit R une relation binaire sur un ensemble E à la fois réflexive

Plus en détail

Leçon 01 Exercices d'entraînement

Leçon 01 Exercices d'entraînement Leçon 01 Exercices d'entraînement Exercice 1 Etudier la convergence des suites ci-dessous définies par leur terme général: 1)u n = 2n3-5n + 1 n 2 + 3 2)u n = 2n2-7n - 5 -n 5-1 4)u n = lnn2 n+1 5)u n =

Plus en détail

Terminale S Spécialité Cours : DIVISIBILITE ET CONGRUENCES DANS.

Terminale S Spécialité Cours : DIVISIBILITE ET CONGRUENCES DANS. A la fin de ce chapitre vous devez être capable de : connaître différents procédés pour établir une divisibilité : utilisation de la définition, utilisation d identités remarquables, disjonction des cas,

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Enoncés Familles sommables Ensemble dénombrable a) Calculer n+ Exercice [ 03897 ] [Correction] Soit f : R R croissante. Montrer que l ensemble des

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12 TS. 01/013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 0/11/1 Exercice 1 : ( 6,5 pts) Première partie : Démonstration à rédiger { Démontrer que si ( ) et (v n ) sont deux suites telles

Plus en détail

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 009 L Maths (a) Rappelons d abord le résultat suivant : Théorème 0.. Densité de Q dans R. QUESTIONS DE COURS. Preuve. Il nous faut nous montrer que tout réel est

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

CH1 : Langages de la continuité Limites

CH1 : Langages de la continuité Limites CH : Langages de la continuité Limites I. Continuité- Théorème des valeurs intermédiaires. Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. Lorsque la courbe représentative de f ne présente

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

Introduction à l Optimisation Numérique

Introduction à l Optimisation Numérique DÉPARTEMENT STPI 3ÈME ANNÉE MIC Introduction à l Optimisation Numérique Frédéric de Gournay & Aude Rondepierre Table des matières Introduction 5 Rappels de topologie dans R n 7 0.1 Ouverts et fermés de

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Contrôle de mathématiques

Contrôle de mathématiques Contrôle de mathématiques Correction du Lundi 18 octobre 2010 Exercice 1 Diviseurs (5 points) 1) Trouver dans N tous les diviseurs de 810. D 810 = {1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 27; 30; 45; 54; 81; 90;

Plus en détail

108y= 1 où x et y sont des entiers

108y= 1 où x et y sont des entiers Polynésie Juin 202 Série S Exercice Partie A On considère l équation ( ) relatifs E :x y= où x et y sont des entiers Vérifier que le couple ( ;3 ) est solution de cette équation 2 Déterminer l ensemble

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Cours de mathématiques Thomas Rey classe de première ES ii Table des matières 1 Les pourcentages 1 1.1 Variation en pourcentage............................... 1 1.1.1 Calcul d une variation............................

Plus en détail

TS - Cours sur le logarithme népérien

TS - Cours sur le logarithme népérien Lcée Europole - R. Vidonne 1 TS - Cours sur le logarithme népérien Fonction carrée et racine carrée Considérons les fonctions f : R + R + g : R + R + 2 Dans un repère orthonormal, les courbes C f et C

Plus en détail

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

COURS COMMUN L1 MI & MIAGE

COURS COMMUN L1 MI & MIAGE COURS COMMUN L MI & MIAGE 5 janvier 03 Table des matières Propriétés du corps des nombres réels 3. A propos du corps des réels R.......................... 3.. Notion de corps..............................

Plus en détail

2. u 3 = 16, u 7 = 1 et u p = 1 8.

2. u 3 = 16, u 7 = 1 et u p = 1 8. EXERCICE 1 (u n ) est une suite arithmétique de raison a, déterminer l entier k dans chacun des cas suivants : 1. u 21 = 34, a=1,5 et u k = 1 2. u 10 = 64, u 5 = 14 et u k = 114. EXERCICE 2 (u n ) est

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n 18 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R (x + y, x

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités

MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités Pascal Floquet Xuân Meyer Première Année à Distance Septembre 006 Jean-Claude Satge Table des matières

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7.

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7. Mathématiques pour l informatique IMAC première année - Soutien - Nombres complexes Rappels. Un nombre complexe z admet plusieurs représentations : représentation vectorielle z = (a, b) où a, b R représentation

Plus en détail

Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln

Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln Thèmes. fonction ln, théorème des valeurs intermédiares, suite définie par récurrence : majoration, minoration, monotonie, convergence, eistence.

Plus en détail

Cours de Mathématiques

Cours de Mathématiques Cours de Mathématiques Lycee Gustave Eiffel PTSI 02/03 Chapitre 3 Fonctions usuelles 3.1 Théorème de la bijection Une fonction dérivable sur un intervalle I, strictement monotone déþnit une bijection.

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC 2013

BACCALAURÉAT BLANC 2013 BACCALAURÉAT BLANC 203 Série S Corrigé Exercice. a) On traduit les données de l énoncé et on représente la situation par un arbre pondéré. PF ) = 2, PF 2) = 3, P F ) = 5 00 = 20, P F 2 ) =,5 00 = 3 3,5,

Plus en détail

Arithmétique. Préambule. 1. Division euclidienne et pgcd. Exo7. 1.1. Divisibilité et division euclidienne

Arithmétique. Préambule. 1. Division euclidienne et pgcd. Exo7. 1.1. Divisibilité et division euclidienne Exo7 Arithmétique Vidéo partie 1. Division euclidienne et pgcd Vidéo partie 2. Théorème de Bézout Vidéo partie 3. Nombres premiers Vidéo partie 4. Congruences Exercices Arithmétique dans Z Préambule Une

Plus en détail

MATHEMATIQUES Option Economique

MATHEMATIQUES Option Economique Concours EDHEC 9 Classes Préparatoires MATHEMATIQUES Option Economique La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour

Plus en détail

EXERCICES SANS PRÉPARATION HEC 2005. Question 11 D après HEC 2005-11 F 2 EXERCICES SANS PRÉPARATION 2008. Question 7 HEC 2006-7 F 1 élève

EXERCICES SANS PRÉPARATION HEC 2005. Question 11 D après HEC 2005-11 F 2 EXERCICES SANS PRÉPARATION 2008. Question 7 HEC 2006-7 F 1 élève 30-1- 2013 J.F.C. p. 1 F 1 F 2 F 3 Assez simple ou proche du cours. Demande du travail. Délicat. EXERCICES SANS PRÉPARATION HEC 2005 Question 11 D après HEC 2005-11 F 2 X est une variable aléatoire de

Plus en détail

Première partie. Deuxième partie

Première partie. Deuxième partie PC 96-97 correction épreuve X97 Première partie. f étant convexe sur l intervalle [t, t 2 ], sa courbe représentative est en dessous la corde joignant les points (t, f(t )) et (t 2, f(t 2 )). Comme f(t

Plus en détail

LIMITES EXERCICES CORRIGES

LIMITES EXERCICES CORRIGES ours et eercices de mathématiques LIMITES EXERIES ORRIGES M UAZ, http://mathscyrreer Eercice n Déterminer la ite éventuelle en de chacune des onctions suivantes : ) ) ) 4 ( ) Déterminer la ite éventuelle

Plus en détail

Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge

Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : Rappels collège/seconde Partie STAV 1/3 Partie STAV 2/3 Partie STAV

Plus en détail

Notes du cours Mathématiques pour l ingénieur. Sup Galilée - année 2008-2009

Notes du cours Mathématiques pour l ingénieur. Sup Galilée - année 2008-2009 Notes du cours Mathématiques pour l ingénieur Sup Galilée - année 2008-2009 Benoît Merlet Ces notes de cours s adressent aux élèves ayant suivi le cours. Elles contiennent peu d explications. Elles pourront

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Rappels sur les suites - Algorithme

Rappels sur les suites - Algorithme DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................

Plus en détail

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples 36 Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples (Ω, B, P est un espace probabilisé. 36.1 Définition et propriétés des probabilités conditionnelles Définition 36.1

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Chapitre 1 - Suites. Suites géométriques. I.1 Définition et propriétés

Chapitre 1 - Suites. Suites géométriques. I.1 Définition et propriétés Chapitre 1 - Suites I Suites géométriques I.1 Définition et propriétés TD 1 : Évolutions de populations Le premier janvier 2011, une ville A compte 350 000 habitants. A la même date, une ville B compte

Plus en détail

Correction contrôle de mathématiques

Correction contrôle de mathématiques Chapitres 5 : la fonction eponentielle 7 décembre 0 Correction contrôle de mathématiques Du lundi 0 décembre 0 Eercice ROC (4 points) ) On détermine les variation deϕ: ϕ ()e or R, e >0. La fonctionϕest

Plus en détail

La maison Ecole d ' Baccalauréat blanc Classe de terminale ES. Exercice 1 - sur 4 points

La maison Ecole d ' Baccalauréat blanc Classe de terminale ES. Exercice 1 - sur 4 points La maison Ecole d ' Baccalauréat blanc Classe de terminale ES Année scolaire 00-004 Copyright c 004 J.- M. Boucart GNU Free Documentation Licence On veillera à détailler et à rédiger clairement les raisonnements,

Plus en détail

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

PROGRAMME DE MATHEMATIQUES

PROGRAMME DE MATHEMATIQUES MINISTERE DE L EDUCATION NATIONALE -------------- DIRECTION DE LA PEDAGOGIE ET DE LA FORMATION CONTINUE -------------- COORDINATION NATIONALE DE MATHEMATIQUES REPUBLIQUE DE COTE D IVOIRE UNION-DISCIPLINE-TRAVAIL

Plus en détail

Tous droits de traduction, de reproduction et d adaptation réservés pour tous pays.

Tous droits de traduction, de reproduction et d adaptation réservés pour tous pays. Maquette de couverture : Graphir Maquette intérieure : Frédéric Jély Mise en page : CMB Graphic Dessins techniques : Gilles Poing Hachette Livre 008, 43, quai de Grenelle, 790 Paris Cedex ISBN : 978--0-8-

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

3 2 Séries numériques

3 2 Séries numériques BCPST 9 5 3 Séries numériques I Généralités A) Dénition Soit (a n ) n N une suite à valeurs dans R. On appelle série de terme général a n, et on note a n la suite dénie par : S n = On dit que S n est la

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui :

Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : Sommaire SAMEDI 7 JANVIER 202 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : Un rappel de cours sur les suites ; Page 2 Deu eercices intitulés

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J.

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. FAIVRE s de cours exigibles au bac S en mathématiques Enseignement

Plus en détail

L essentiel du cours 2014/2015 Terminale S Spécialité Maths, Lycée Français de Valence

L essentiel du cours 2014/2015 Terminale S Spécialité Maths, Lycée Français de Valence L essentiel du cours 2014/2015 Terminale S Spécialité Maths, Lycée Français de Valence Sommaire 1. Arithmétique 2 1.1. Division euclidienne......................... 2 1.2. Congruences.............................

Plus en détail

Analyse. Gaëtan Bisson. bisson@gaati.org

Analyse. Gaëtan Bisson. bisson@gaati.org Analyse Gaëtan Bisson bisson@gaati.org Table des matières Nombres réels 4. Construction........................................ 4. Densité et distance..................................... 6.3 Exercices...........................................

Plus en détail

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication

Plus en détail

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01 Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables

Plus en détail