Construction de cercles donnés par trois conditions

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1 Construction de cercles donnés par trois conditions Daniel Perrin 1 Introduction Le but de ce texte est d examiner la construction de cercles du plan euclidien P donnés par trois conditions. Cet objectif est essentiellement géométrique, mais pour comprendre la problématique du sujet (et notamment le pourquoi du nombre 3 de conditions) il faut se souvenir qu un cercle du plan a une équation de la forme : x 2 + y 2 2αx 2βy + γ = 0 où le point O = (α, β) est le centre du cercle et où le rayon est donné par la formule R 2 = α 2 + β 2 γ. Cela montre que l espace des cercles est (une variété) de dimension 3, précisément, c est l ouvert Ω de R 3 formé des triplets (α, β, γ) tels que α 2 + β 2 γ > 0. Les conditions auxquelles peut être soumis un cercle peuvent être de différentes natures. Nous nous limiterons ici à deux types de conditions : le cercle passe par un point donné, le cercle est tangent à une droite donnée. On peut en imaginer bien d autres (par exemple être tangent à un cercle donné, voire à une courbe donnée, etc.). 1.1 Proposition. 1) L ensemble des cercles de P passant par un point m P est l intersection de Ω avec un plan affine H de R 3. C est un ouvert non vide de H. 2) L ensemble des cercles de P tangents à une droite donnée D est l intersection de Ω avec une quadrique Q de R 3. C est un ouvert non vide de Q. Démonstration. 1) Posons m = (X, Y ). Les cercles cherchés correspondent aux triplets (α, β, γ) vérifiant X 2 +Y 2 2αX 2βY +γ = 0 et cette équation est linéaire en α, β, γ donc définit un plan de R 3. Dans ce plan, c est un ouvert non vide (si l on fixe α, β il y a un unique γ solution). 2) On peut choisir Y = 0 comme équation de D. Le cercle défini par (α, β, γ) est alors tangent à D si et seulement si son rayon est égal à la distance du centre à D, donc si l on a β = R ou encore β 2 = R 2, soit 1

2 α 2 = γ. Cette équation étant de degré 2 est celle d une quadrique (ici un cylindre à base parabolique). Tout point de cette quadrique vérifiant β 0 donne un cercle convenable. 1.2 Remarque. On montre que l ensemble des cercles tangents à un cercle donné est l intersection de Ω et d une quadrique. Par exemple, si le cercle donné est de centre (0, 0) et de rayon R les cercles tangents sont donnés par 4R 2 (α 2 + β 2 γ) = (γ R 2 ) Commentaire. L ensemble des cercles vérifiant trois conditions du type ci-dessus est donc l intersection de trois surfaces (plans ou quadriques) et il est, en général, fini (et de cardinal 8). On peut donc légitimement se poser la question de construire (à la règle et au compas) le ou les cercles vérifiant trois de ces conditions. 2 Cercles passant par trois points Le résultat est bien connu : 2.1 Proposition. Soient A, B, C trois points distincts de P. 1) Si A, B, C sont alignés il n y a aucun cercle passant par A, B, C. 2) Si A, B, C ne sont pas alignés, il y a un unique cercle passant par A, B, C : le cercle circonscrit au triangle ABC. Démonstration. C est bien connu! Le ressort de la preuve est le lemme suivant : 2.2 Lemme. Les centres des cercles passant par deux points A, B distincts sont les points de la médiatrice de [AB]. Pour un centre donné il y a un unique cercle convenable. 3 Cercles tangents à trois droites Le résultat est presque aussi connu : 3.1 Proposition. Soient D, E, F trois droites distinctes du plan. 1) Si les droites sont parallèles ou concourantes, il n y a aucun cercle tangent aux trois droites. 2) Si deux des droites sont parallèles et si la troisième coupe les deux autres, il y a deux cercles tangents aux trois droites. 3) Si les trois droites déterminent un triangle ABC il y a quatre cercles tangents aux trois droites : le cercle inscrit et les cercles exinscrits. 2

3 Démonstration. Le ressort de la preuve est l analogue du lemme 2.2 : 3.2 Lemme. Les centres des cercles tangents à deux droites distinctes sont : Les points de la parallèle équidistante si les droites sont parallèles. Les points des bissectrices des deux droites si elles sont sécantes. Pour un centre donné il y a un unique cercle convenable. 4 Cercles tangents à une droite et passant par deux points Là, les choses deviennent intéressantes : 4.1 Théorème. Soient A, B deux points distincts et D une droite. 1) Si A et B sont sur D, ou de part et d autre de D, il n y a aucun cercle tangent à D passant par A et B. 2) Si A est sur D mais pas B il y a un unique cercle tangent à D passant par A et B. 3) Si A, B sont du même côté de D il y a un deux cercles tangents à D passant par A et B. Démonstration. Le premier point est évident et le deuxième facile (le centre du cercle est sur la médiatrice de [AB] et sur la perpendiculaire à D passant par A). Pour le troisième, on commence par traiter le cas, facile, où les droites D et (AB) sont parallèles. Sinon, on appelle C le point d intersection de D et (AB) et T le point de contact cherché. Alors, on a CA CB = CT 2 (puissance de C par rapport au cercle) et on construit T comme moyenne géométrique. Il y a deux solutions. On finit en utilisant la perpendiculaire à D en T et la médiatrice de [AB], voir figure 1. Pour la discussion, l approche analytique est commode. On peut supposer que la droite D a pour équation y = 0, que les points sont A = (0, a) avec a 0 et B = (b 1, b 2 ) et on cherche Γ sous la forme x 2 +y 2 2αx 2βy+γ = 0. On a vu qu on devait avoir γ = α 2. Le point A est sur le cercle si et seulement si on a 2β = a2 +α 2 et en écrivant que B est sur le cercle il reste une équation a du second degré en α : (a b 2 )α 2 2ab 1 ± a + a(b b 2 2 ab 2 ) = 0 dont le discriminant réduit est = ab 2 (b (a b 2 ) 2 ). Le dernier facteur est > 0 car A et B sont distincts. On voit qu il y a une solution unique si b 2 est nul (B sur D), aucune si b 2 < 0 et deux si b 2 > 0. 3

4 O" A O' B T' C D T" Figure 1 Deux points une droite 5 Cercles tangents à deux droites et passant par un point Cette fois, le résultat est le suivant : 5.1 Théorème. Soient D 1, D 2 deux droites sécantes en I et A un point non situé sur les droites. Alors, il existe deux cercles passant par A et tangents à D 1 et D 2. Démonstration. On procède par abandon de contraintes. On trace un cercle Γ 0 tangent aux deux droites, situé dans l angle qui contient A, sans se préoccuper qu il contienne A. Pour cela, on prend le centre O sur la bissectrice des droites, on le projette sur D 1 en T et Γ 0 est le centre de centre O qui passe par T, voir figure 2. Ce cercle coupe la droite (IA) en A et A et il suffit de considérer les cercles homothétiques de Γ 0 dans les homothéties de centre I envoyant respectivement A et A sur A, voir figure Remarque. Pour la difficile question des cercles tangents à trois cercles donnés, voir par exemple le paragraphe de : perrin/livregeometrie/dppartie6.pdf 4

5 A T A" D 1 A' O O' O" I! 0 D 2 Figure 2 Deux droites et un point 5