x i y i + b x i y j i=0 x ) =

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1 #83 Produit scalaire Khôlles - Classes prépa Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel Exercice Produits scalaires? Dire si les applications suivantes sont des produits scalaires : ) E = R 2, (x, x ) (y, y ) = axy + bxy + cx y + dx y (étudier (, t) (, t), t R) 2) E = R n, (x,, x n ) (y,, y n ) = a i 3) E = R n [X], (P Q) = n P (i)q(i) Exercice 2 Base de Schmidt i=0 x i y i + b x i y j (On montrera que ( x i ) 2 n x 2 i i j Trouver une base orthonormée de R 3 [X] pour le produit scalaire : (P Q) = Exercice 3 Base de Schmidt de E Soit E = R 2 [X] muni du produit scalaire : (P Q) = Exercice 4 Inversion Soit E un ev euclidien On pose pour x 0 : i( x x ) = x 2 ) Montrer que i est une involution et conserve les angles de vecteurs 2) Vérier que : x, y E \ { 0 }, i( x ) i( y ) = x y x y 3) Déterminer l'image par i : a) d'un hyperplan ane ne passant pas par 0 b) d'une sphère passant par 0 c) d'une sphère ne passant pas par 0 Exercice 5 Inégalité de Ptolémée Soit E un espace euclidien ) Pour x E \ { 0 }, on pose f( x ) = x y x y 4 i=0 t= P (t)q(t) dt ) P (i)q(i) Chercher une base orthonormée x x 2 Montrer que : x, y E \ { 0 }, f( x ) f( y ) = 2) Soient a, b, c, d E Montrer que a c b d a b c d + b c a d Indication : se ramener au cas a = 0 et utiliser l'application f Exercice 6 Calcul de distance On munit E = R n [X] du produit scalaire : Pour P = i Soit H = {P E tq P () = 0} ) Trouver une base orthonormale de H 2) Calculer d(x, H) Exercice 7 Expression analytique a i X i et Q = i b i X i, (P Q) = i a i b i 4 septembre 205 Thierry Sageaux

2 Soit E un espace euclidien de dimension 4, B = ( e,, e 4 ) une base orthonormée de E, et F le sev d'équations dans B : { x + y + z + t = 0 x + 2y + 3z + 4t = 0 ) Trouver une base orthonormée de F 2) Donner la matrice dans B de la projection orthogonale sur F 3) Calculer d( e, F ) Exercice 8 Projection sur un hyperplan On munit R n du produit scalaire usuel Soit H = {(x,, x n ) R n tq a x + + a n x n = 0} où a,, a n sont des réels donnés non tous nuls Chercher la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale sur H Exercice 9 Caractérisation des projections orthogonales Soit E un ev euclidien et p L(E) une projection Montrer que : p est une projection orthogonale x, y E, ( x p( y )) = (p( x ) y ) x E, p( x ) x (Pour la 2ème caractérisation, considérer x (Ker p) et faire un dessin) Exercice 0 Projection sur un sev de dimension nie Soit E un ev muni d'un produit scalaire (de dimension éventuellement innie) et ( u,, u n ) une famille orthonormée de E On note F = vect( u,, u n ) ) Démontrer que F F = E et F = F (on utilisera la projection associée aux u i ) 2) Soit n x E Démontrer que ( x u i ) 2 x 2 Quand a-t-on égalité? Application : Soit f : [0, 2π] R continue On appelle coecients de Fourier de f les réels : c k (f) = 2π Démontrer l'inégalité de Bessel : f(t) cos(kt) dt et s k (f) = 2π 2π f(t) sin(kt) dt f 2 (t) dt c 0(f) 2 c k (f) 2 + s k (f) 2 + 2π π Exercice Composition de projecteurs Soient F, G deux sev d'un ev euclidien E tels que F G On note p F et p G les projections orthogonales sur F et sur G Montrer que p F + p G p F G = id E et p F p G = p G p F = p F G Exercice 2 Projecteurs commutant Soit E un espace vectoriel euclidien et p, q deux projections orthogonales Montrer que p et q commutent si et seulement si (Im p Im q) Im p et (Im p Im q) Im q sont orthogonaux k= Exercice 3 Caractérisation des bases orthonormales e i ) 2 Soit E un ev euclidien, et e,, e n des vecteurs unitaires tels que : x E, ) Démontrer que ( e,, e n ) est une base orthonormale de E 2) On remplace l'hypothèse : e i unitaire par : dim E = n a) Démontrer que ( e,, e n ) est une base de E x 2 = n ( x 2 Thierry Sageaux

3 b) Démontrer que : x, y E, ( x y ) = n ( x e i )( y e i ) c) On note G la matrice de Gram de e,, e n Démontrer que G 2 = G et conclure Exercice 4 Matrice de Gram Soient x,, x n des vecteurs d'un ev euclidien E, et G leur matrice de Gram ) Montrer que rg G = rg( x,, x n ) 2) Montrer que det G est inchangé si on remplace x k par x k λ i x i 3) Soit F = vect( x,, x n ) et x E On note d( x, F ) = min( x y, y F ) Montrer que d( x, F ) 2 = Gram( x,, x n, x ) Gram( x,, x n ) i k Produit scalaire Exercice 5 Gram(u(e i )) Soit E un espace vectoriel euclidien, u L(E) et ( e,, e n ) une base quelconque de E On note G le déterminant de Gram Montrer que G(u( e ),, u( e n )) = (det u) 2 G( e,, e n ) Exercice 6 Équation du second degré Soient E ev euclidien, a E et α, β, γ R Résoudre l'équation α( x x ) + β( x a ) + γ = 0 Exercice 7 Vecteur déni par ses produits scalaires Soient f, f 2,, f n : [0, ] R continues Existe-t-il f : [0, ] R continue telle que : i, f(t)f i (t) dt =? Exercice 8 Décomposition QR ) Soit M M n (R) inversible Montrer qu'il existe une matrice orthogonale, P, et une matrice triangulaire supérieure à coecients diagonaux positifs, T, uniques telles que M = P T 2) Application : inégalité de Hadamard Soit E un espace vectoriel euclidien, ( e,, e n ) une base orthonormée, et u,, u n des vecteurs quelconques Démontrer que det ( e i)( u j ) u j Étudier les cas d'égalité j Exercice 9 Coecients diagonaux dans la méthode de Schmidt Soit E un espace euclidien, B = ( u,, u n ) une base de E et B = ( e,, e n ) la base orthonormée déduite de B par la méthode de Schmidt On note P la matrice de passage de B à B Montrer que P ii d( u i, vect( u,, u i )) = Exercice 20 Coordonnées des vecteurs de Schmidt Soit E un espace euclidien, B = ( u,, u n ) une base de E et B = ( e,, e n ) la base orthonormée déduite de B par la méthode de Schmidt On note G n le déterminant de Gram de u,, u n, et i,n le cofacteur de ( u i u n ) dans G n Montrer que n e n = i,n u i Gn G n Exercice 2 det( t AA) Soit A M n,p (R) Montrer que det( t AA) 0 Exercice 22 Angles > 2π/3 Soit E un espace euclidien de dimension supérieure ou égale à 3 Existe-t-il trois vecteurs u, u 2, u 3 unitaires faisant entre eux deux à deux des angles strictement supérieurs à 2π 3? Exercice 23 Polynômes orthogonaux 3 Thierry Sageaux

4 Soit E = R[X] On pose (P Q) = P (t)q(t) dt ) Démontrer que ( ) est un produit scalaire sur E 2) Démontrer qu'il existe une unique famille (P 0, P,, P n, ) de polynômes vériant : deg P i = i le coecient dominant de P i est strictement positif la famille (P i ) est orthonormée Exercice 24 Centrale PSI 997 Soit E = R n [X] et (P Q) = P (t)q(t) dt ) Montrer que E, muni de ( ), est un espace euclidien 2) Soit K = R n [X] et P K \ {0} Quel est le degré de P? 3) Soit Φ : x P (t)t x dt Montrer que Φ est une fonction rationnelle 4) Trouver Φ à une constante près 5) En déduire les coecients de P 6) En déduire une base orthogonale de E Exercice 25 Réduction en carrés d'une forme quadratique Soient f,, f p p formes linéaires sur R n telles que rg(f,, f p ) = n En considérant le produit scalaire : ( x y ) = p f i ( x )f i ( y ), démontrer qu'il existe n formes linéaires g,, g n telles que : x R n, p f i ( x ) 2 = exemple : réduire x 2 + (x + y) 2 + (x + 2y) 2 n g i ( x ) 2 Exercice 26 famille de vecteurs unitaires équidistants Soit E un ev euclidien, et ( x,, x n ) une famille libre Démontrer qu'il existe une famille ( u,, u n ) vériant : u i est unitaire u i u j = vect( u,, u i ) = vect( x,, x i ) Démontrer que toute famille ( u,, u n ) vériant les deux premières propriétés est libre Exercice 27 Famille obtusangle Soit E un ev euclidien et u,, u n une famille de vecteurs vériant : i j, ( u i u j ) < 0 ) Démontrer, par récurrence sur n que rg( u,, u n ) n 2) Si rg( u,, u n ) = n, démontrer que toute famille de n vecteurs extraite de ( u,, u n ) est libre, et que les composantes dans cette famille du vecteur retiré sont strictement négatives Exercice 28 F + F E Soit E = C([0, ]) muni du produit scalaire : (f g) = Montrer que F = {0} fg(t) dt, et F = {f E tq f(0) = 0} 4 Thierry Sageaux

5 Exercice 29 Forme linéaire sur R 2 [X] On munit R 2 [X] du produit scalaire : (P Q) = P Q(t) dt ) Vérier que c'est eectivement un produit scalaire ϕ : R 2 [X] R 2) Soit Trouver le polynôme A tel que : P R P P (0) 2 [X], ϕ(p ) = (A P ) Exercice 30 Norme uniforme sur R 3 [X] Soit P R[X] de degré inférieur ou égal à 3 tel que Montrer que sup{ P (x) tq x } 2 2 t= P 2 (t) dt = Indications : Pour a R montrer qu'il existe P a R 3 [X] tel que : P R 3 [X], P (a) = Calculer explicitement P a, et appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz Exercice 3 Centrale MP 2000 Soit E = C ([0, ], R) et ϕ(f, g) = [0,] fg + f g t= P (t)p a (t) dt ) Montrer que ϕ est un produit scalaire 2) Soit V = {f E f(0) = f() = 0} et W = {f E f = f} Montrer que V et W sont supplémentaires orthogonaux et exprimer la projection orthogonale sur W 3) Soit E αβ = {f E f(0) = α et f() = β} Déterminer inf f 2 + f 2 f E αβ Exercice 32 Polytechnique MP 2000 Soit H un espace euclidien, (y j ) j I une famille de vecteurs de H telle qu'il existe A et B strictement positifs vériant : x H, A x 2 j I(x y j ) 2 B x 2 [0,] ) Montrer que (y j ) j I engendre H ( ( ) 0 3/2 2) On choisit H = R 2 Montrer que y =, y ) 2 =, y /2 3 = y 2 conviennent 3) Si A = B = et y j = pour tout j, montrer que (y j ) j I est une base orthonormale 4) Si A = B, montrer que pour tout x H, x = (x y j )y j A Exercice 33 u(x) x Soit E un espace euclidien et u L(E) tel que x E, u(x) x Montrer que E = Ker(u id) Im(u id) Exercice 34 X MP 2000 Soit E un espace euclidien de dimension n > Trouver toutes les fonctions f de E dans R continues telles que u v f(u + v) = f(u) + f(v) j I 5 Thierry Sageaux

6 Solutions des exercices Exercice ) a > 0, b = c, d > 0, ad bc > 0 2) a b 2 > 0 et a + (n ) b 2 > 0 ( 3 5 7, X 2 2, (3X2 ) 8 + (5X3 3X) 8 Exercice 2 ) Exercice 3, X 2, X2 4X Exercice 4 2) Élever au carré 3) a) ( x u ) = (i( x ) u i( x )) = 0 : sphère passant par 0 b) Hyperplan ne passant pas par 0 c) x a 2 = R 2 a x a 2 R 2 Exercice 5 ) Élever au carré 2 = R 2 ( a 2 R 2 ) 2 : sphère ne passant pas par 0 Exercice 6 2) n + ( ) ) 6 (, 2,, 0), (2,, 4, 3) ) Exercice 7 3) Σa 2 i Exercice 8 ( ) I (a i a j ) Exercice 2 Si p q = q p : Soient x (Im p Im q) Im p et y (Im p Im q) Im q Alors p q(x) = q(x) Im p Im q, donc (q(x) y) = (x y) = 0 Si A = (Im p Im q) Im p et B = (Im p Im q) Im q sont orthogonaux : Alors Im p = (Im p Im q) A, Im q = (Im p Im q) B, et E = (Im p Im q) A B (Im p Im q ) Par décomposition, on obtient p q = q p = la projection orthogonale sur Im p Im q Exercice 3 6 Thierry Sageaux

7 n ) ( e j e i ) 2 = famille orthonormée et vect( e i ) = { 0 } Exercice 6 sphère de centre γ a β a 2 Exercice 20 Soit X la matrice de e n dans B On a GX = formules de Cramer 0 0 et t XGX = λx p = On applique alors les λ Exercice 22 Non, u + u 2 + u 3 2 < 0 Exercice 24 3) t k t x dt = k + x + 4) Φ a pour pôles au plus simples, 2,, n et pour racines 0,,, n Comme Φ(x)- x(x ) (x n + ) x > 0 on a donc Φ(x) = λ (x + ) (x + n + ) 5) a k = résidu de Φ en k = ( ) n+k (n + k)! λ (k!) 2 (n k)! Exercice 25 x 2 + (x + y) 2 + (x + 2y) 2 = ( 3(x y)) 2 + ( 2y) 2 Exercice 28 f F xf f Exercice 29 2) 30X 2 36X + 9 Exercice 30 P a (t) = 3 8 (3 5t2 5a 2 + 5a 2 t 2 ) + 5at 8 (5 2t2 2a a 2 t 2 ), 8 P a 2 = a 2 65a a 6 est maximal pour a = ± P a = 2 2 Exercice 3 2) π(f)(t) = f(0) sh( t) sh() + f() sh(t) sh() 3) L'inf est atteint pour la fonction f W telle que f(0) = α et f() = β, soit f(t) = α β sh(t) sh() et inf = (α2 + β 2 ) ch() 2αβ sh() Exercice 32 ) Le sev engendré a un orthogonal nul 2) N'importe quelle famille génératrice convient (équivalence des normes) 3) = y i 2 = y i 4 + j i(y i y j ) 2 j i, (y i y j ) = 0 sh( t) sh() + 7 Thierry Sageaux

8 4) Par polarisation on a : x, y, y j )(y y j ) = A(x y) donc j I(x (x y j )y j Ax E j I Exercice 33 Soient x Ker(u id) et y = u(z) z Im(u id) On a y = u(z + λx) (z + λx) d'où : z + λx 2 u(z + λx) 2 = z + λx 2 + 2λ(x y) + 2(z y) + y 2 En faisant tendre λ vers ± on obtient (x y) = 0 et on conclut avec le thm du rang Exercice 34 f linéaire et f = x x 2 conviennent et l'ensemble E des fonctions f vériant la propriété est stable par combinaison linéaire donc toute fonction de la forme x l(x) + a x 2 avec l E et a R convient On montre que ce sont les seules : Soit f E l'on décompose en sa partie paire f p et sa partie impaire f i Alors f p, f i E Soient x, y E avec x = y et x y On a f i (x±y) = f i (x)±f i (y) et f i (2x) = f i (x+y)+f i (x y) = 2f i (x) Ensuite, f i (2x) + f i (x) f i (y) = f i (2x + y) + f i (x 2y) = f i (3x y) = f i (3x) f i (y) d'où f i (3x) = 3f i (x) et de proche en proche f i (kx) = kf i (x) pour k N puis pour k Z, Q, R successivement vu la continuité de f En prenant une base (e,, e n ) orthonormale on a f(x e + + x n e n ) = x f(e ) + + x n f(e n ) pour tous x,, x n réels donc f i est linéaire Soient à présent x, y E avec x = y alors f p (x + y) + f p (x y) = f(2x) et f p (x + y) + f p (y x) = f p (2y) d'où f p (2x) = f p (2y) Ainsi f p est constante sur les sphères de centre 0 On écrit f p (x) = ϕ( x 2 ) avec ϕ : R + R prolongée à R par imparité (f p (0) = 0 de manière évidente) et on a ϕ(a 2 + b 2 ) = f p (ae + be 2 ) = f p (ae ) + f p (be 2 ) = ϕ(a 2 ) + ϕ(b 2 ) d'où l'on conclut que ϕ est linéaire 8 Thierry Sageaux