Partitions d un ensemble fini, surjections, involutions

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1 Énoncé Soit E un ensemble fini non vide. Pour tout entier k, on dit que {A 1,..., A k } est une partition de E en k classes si : k A i = E; i, A i ; i, j (avec i j), A i A j = i=1 Partie I Dans cette partie, on suppose que Card(E) = n. On note r(n) le nombre de partitions de E. On note r(0) = 1. Pour tout k 1, on note r(n, k) le nombre de partitions de E en k classes. 1. Montrer que : k, n IN, k > n r(n, k) = 0. [ S ] 2. Montrer que : n IN, r(n) = r(n, k). [ S ] k=1 3. Montrer que : n IN, r(n + 1) = C k n r(k). [ S ] 4. Calculer r(n) pour n {1, 2, 3, 4, 5, 6}. [ S ] 5. Montrer que : n 5, r(n) 2 n et n IN, r(n) n n. [ S ] 6. Dans cette question, on note S k n le nombre de surjections d un ensemble à n éléments sur un ensemble à k éléments. Montrer que : k, n IN, S k n = k!r(n, k). [ S ] Partie II On suppose que Card(E) = 2m, avec m 1. On note a m le nombre de partitions de E en m classes qui sont des paires. 1. Déterminer a 1, a 2, a 3. Par convention, on pose a 0 = 1. [ S ] 2. Montrer que : m IN, a m = (2m 1)a m 1. [ S ] 3. En déduire a m = (2m)! 2 m m!. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

2 Énoncé Partie III On suppose que Card(E) = n, avec n 1. On note b n le nombre de partitions de E en classes qui sont des paires ou des singletons. 1. Déterminer b 1, b 2, b 3, b 4. [ S ] 2. On suppose que n = 2m (m 1). Montrer que : b 2m = m C 2k 2m a m k. Indication : classer les partitions suivant le nombre de singletons qu elles contiennent. [ S ] 3. Montrer que : n 3, b n = b n 1 + (n 1)b n 2. [ S ] 4. Calculer b n, pour 1 n 10. [ S ] 5. Calculer le nombre d applications involutives dans un ensemble à 10 éléments. [ S ] Page 2 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

3 du problème PARTIE I 1. Supposons qu il existe une partition en k classes {A 1,..., A k }, donc r(n, k) > 0. k Alors n = CardE = CardA j k (car pour tout k, CardA k 1). j=1 Par conséquent, si n < k, on a nécessairement r(n, k) = Les différentes partitions de E peuvent être regroupées en : Celles qui ne comportent qu une classe : il y en a r(n, 1) = 1. Celles qui en comportent k : il y en a r(n, k). Celles qui en comportent n : il y en a r(n, n) = 1. On en déduit l égalité : r(n) = r(n, k). k=1 3. Soit E un ensemble de cardinal n + 1. Soit P l une de ses r(n + 1) partitions. Fixons un élément a de E. Celui-ci appartient à une seule des parties de E qui composent la partition P. Supposons que cette partie, notée A, soit de cardinal n + 1 k. Il y a C n k n manières de construire A (on doit en effet choisir les n k éléments restants de A, parmi les n éléments de E qui sont différents de a). Une fois A construite, il reste à partitionner les n+1 (n+1 k) = k éléments restants dans E, ce qui peut se faire de r(k) manières différentes. On a donc C n k n r(k) = C k n r(k) manières de construire une partition de E en supposant que l élément a est dans une partie à n + 1 k éléments. Or cet indice k peut varier de de 0 à n. On en déduit l égalité : r(n + 1) = C k n r(k). 4. On trouve successivement r(1) = C 0 0 r(0) = r(0) = 1. r(2) = C 0 1 r(0) + C 1 1 r(1) = r(0) + r(1) = 2. r(3) = C 0 2 r(0) + C 1 2 r(1) + C 2 2 r(2) = r(0) + 2r(1) + r(2) = 5. r(4) = r(0) + 3r(1) + 3r(2) + r(3) = 15. r(5) = r(0) + 4r(1) + 6r(2) + 4r(3) + r(4) = 52. r(6) = r(0) + 5r(1) + 10r(2) + 10r(3) + 5r(4) + r(5) = 203. Page 3 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

4 5. Inégalité r(n) 2 n (par une récurrence double). Puisque 2 5 = 32 et 2 6 = 64, on a bien r(5) 2 5 et r(6) 2 6. Soit n un entier donné, supérieur ou égal à 6. On suppose que les inégalités r(n) 2 n et r(n 1) 2 n 1 sont vraies. La formule r(n + 1) = C k n r(k) implique r(n + 1) C n 1 n r(n 1) + C n n r(n). Ainsi r(n + 1) nr(n 1) + r(n) n2 n n 2 n+1 (car n 6 2). On a donc montré (par une récurrence de pas deux) que n 5, r(n) 2 n. Inégalité r(n) n n (par récurrence forte). Cette inégalité est vérifiée si n = 1. Soit n un entier positif fixé, et supposons r(k) k k pour tout k de {0,, n}. Alors r(n + 1) = C k n r(k) C k n k k C k n n k. Mais cette dernière expression n est autre que le développement de (n + 1) n. Ainsi, r(n + 1) (n + 1) n (n + 1) n+1. La propriété est démontrée au rang n. On a donc prouvé, par récurrence, l inégalité r(n) n n, pour tout n de IN. 6. Soit E un ensemble de cardinal n et F = {y 1, y 2,..., y k } de cardinal k. Il y a S k n surjections de E sur F. Pour définir l une d elles, il faut : Regrouper les éléments de E qui vont avoir la même image. Celà revient à partitionner E en k classes. On sait qu il y a r(n, k) manières d effectuer une telle partition. Supposons qu une telle partition soit choisie. Il faut encore associer bijectivement les k classes aux k éléments de F. Cela peut se faire de k! manières différentes. Ce dénombrement prouve que S k n = k!r(n, k). PARTIE II 1. Si E = {a, b}, il n y a qu une partition qui convienne. Si E = {a, b, c, d}, il y a trois partitions possibles, qui sont : {{a, b}, {c, d}}, {{a, c}, {b, d}}, et {{a, d}, {b, c}}. Donc a 2 = 3. Page 4 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

5 Si E = {a, b, c, d, e, f}, il y a 5 manières d apparier f. On doit ensuite partitionner les quatre éléments restants (a 2 = 3 possibilités). Donc a 3 = 5a 2 = Soit E = {x 1, x 2,..., x 2m 1, x 2m }, avec m 1. Pour créer une partition de E en paires, il faut : Apparier x 1 avec l un quelconque des 2m 1 autres éléments. Partitionner en paires l ensemble des 2(m 1) éléments restants. Pour celà, il y a a m 1 possibilités. Ce dénombrement prouve que a m = (2m 1)a m 1 (vrai si m = 1 car a 0 = 1.) 3. On en déduit, pour tout m de IN : PARTIE III a m = (2m 1)(2m 3) 3 1 = 1. Si E = {a}, il n y a qu une solution possible. Donc b 1 = 1. (2m)! (2m)(2m 2) 4 2 = (2m)! 2 m m! Si E = {a, b}, on partionne en les deux singletons, ou en l unique paire. Donc b 2 = 2. Si E = {a, b, c}, la partition contient trois singletons (1 possibilité), ou bien un singleton et la paire restante (3 possibilités). Donc b 3 = 4. Si E = {a, b, c}, on classe suivant le nombre de singletons qui apparaissent : Quatre singletons : 1 possibilité. Deux singletons et la paire restante : C 2 4 = 6 possibilités. Aucun singleton (donc deux paires) : a 2 = 3 possibilités. On en déduit b 4 = On pose E = {x 1, x 2,, x 2m 1, x 2m }. On considère une partition de E formée de paires ou de singletons. Il y en a b 2m. Le nombre de singletons qui figurent dans cette partition est évidemment pair. Soit 2k ce nombre : k est compris entre 0 et m. Il y a C 2k 2m manières de choisir ces 2k singletons parmi les 2m éléments de E. Puis il y a a m k manières de partitionner en paires les 2(m k) éléments restants. Dans ce calcul, on fait varier k de 0 à m : on obtient b 2m = m C 2k 2m a m k. Page 5 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

6 3. On pose E = {x 1, x 2,, x n }. Considérons l une des b n partitions de E en paires ou singletons. De deux choses l une : Ou bien {x 1 } est l un des singletons de la partition. Il faut alors partitionner les n 1 éléments restants, en paires ou singletons. Cela peut se faire de b n 1 manières. Ou bien x 1 est un des deux éléments d une paire de la partition. Il y a n 1 manières de choisir le deuxième élément de cette paire. Il reste à partitionner les n 2 éléments restants, en paires ou singletons. Cela peut se faire de b n 2 manières. Ce dénombrement prouve que, pour tout n 3, b n = b n 1 + (n 1)b n On trouve successivement : b 1 = 1, b 2 = 2 b 3 = b 2 + 2b 1 = 4 b 4 = b 3 + 3b 2 = 10 b 5 = b 4 + 4b 3 = 26 b 6 = b 5 + 5b 4 = 76 b 7 = b 6 + 6b 5 = 232 b 8 = b 7 + 7b 6 = 764 b 9 = b 8 + 8b 7 = 2620 b 10 = b 9 + 9b 8 = Soit E un ensemble ayant 10 éléments. Soit f une application involutive de E. Soit a un élément de E. De deux choses l une : Ou bien f(a) = a (autrement dit a est invariant par f.) Ou bien f(a) = b a, mais dans ce cas f(b) = a car f est involutive. On voit qu on peut partionner E en paires ou singletons : Les singletons sont les ensembles {x} pour tous les éléments invariants par f. Les paires {x, y} groupent les éléments distincts avec f(x) = y et f(y) = x. Réciproquement donnons-nous une partition de E en paires et singletons. Elle définit de manière unique une application injective f de E dans E : Pour chaque singleton {x}, on pose f(x) = x. Pour chaque paire {x, y}, on pose f(x) = y et f(y) = x. Le nombre d applications involutives de E est donc égal au nombre de partitions de E en paires et singletons, c est-à-dire b 10 = Page 6 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.