Chapitre trois : Cinématique

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1 Chapitre trois : Cinématique 3.1 Objet de la cinématique 3.2 Le temps et l espace 3.3 La trajectoire 3.4 Le vecteur-position et vecteur-vitesse 3.5 Le vecteur-accélération 3.6 Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées cartésiennes 3.7 Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées polaires 3.8 Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées cylindriques 3.9 Composantes du vecteur-vitesse et accélération en coordonnées sphériques 3.10 Exemples de mouvements 3.1 Objet de la cinématique La cinématique : est l étude des mouvements d un corps indépendamment de toutes causes capables de le provoquer ou de le modifier. La dynamique établit les relations ente les causes du mouvement et leurs effets. 3.2 Le temps et l espace Un repère : c est un ensemble de points rigidement liés les uns aux autres permettant de définir un repérage de l espace Un référentiel (R) : il est composé d un repère et d une horloge permettant de définir un repérage des instants ou des durées 3.3 La trajectoire C est généralement une courbe et le mobile peut être repéré de différentes manières : par rapport à une origine fixe O par un vecteur-position (rayon-vecteur) 1/25

2 par rapport à un repère orthonormé quelconque Oxyz 2/25

3 3/25

4 4/25

5 3.4 Vecteur-position et vecteur-vitesse Déterminons la variation du rayon vecteur entre t et t. Le vecteur-vitesse moyenne est égale à la variation du vecteur OM divisé par l intervalle de temps (t -t) Si on fait tendre δt vers zéro, on obtient la vitesse instantanée. 5/25

6 [v] = LT -1 est tangent à la trajectoire si M tend vers M c'est-à-dire soit : Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire. On peut donc écrire :, ( vecteur unitaire et tangent à la trajectoire). a même direction et sens que 3.5 Le vecteur-accélération 6/25

7 On définit le vecteur-accélération moyen par : et le vecteur-accélération instantanée par : C est la dérivée du vecteur vitesse. [a] = LT -2 Attention : Ne pas confondre dx 2 = dx. dx infiniment petit au carré : c est un carré, dimension de x au carré. d² x = d(dx) infiniment petit du 2 ordre : c est la dimension de x. d(x 2 )= 2x. dx dimension de x au carré. 3.6 Composantes des vecteurs-vitesse et accélération en coordonnées cartésiennes 7/25

8 Les coordonnées cartésiennes du point M sont (x,y,z) Vecteur position (rayon vecteur) Le vecteur-position est donnée par : La base est Les vecteurs de base ne changent pas de direction ni de sens, ni de norme au cours du temps. Leurs dérivées par rapport au temps sont nulles. Elément de longueur L élément de longueur peut s écrire : 8/25

9 9/25

10 Elément de volume L élément de volume est donné par : Calculons le volume d un parallélépipède de coté a, b et c en faisant varier x de 0 à a y de 0 à b et finalement z de 0 à c en utilisant l élément de volume on obtient alors : Vecteur-vitesse 10/25

11 Vecteur-accélération Le vecteur-accélération est donné par : 11/25

12 3.7 Composantes des vecteurs-vitesse et accélération en coordonnées polaires Les coordonnées polaires de M sont : Vecteur position (rayon vecteur) La base est : avec 12/25

13 ; ;, en général n est pas tangent à la trajectoire. La base est une base mobile, changent de direction au cours du temps. Passage en coordonnées cartésiennes Le passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes se fait en projetant le point M sur les axes. On peut aussi passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires. 13/25

14 Vecteur-vitesse Rappel mathématique : Comment dériver un vecteur unitaire tournant (variable)? Quand on dérive un vecteur unitaire par rapport à son angle polaireθ, on obtient un vecteur unitaire perpendiculaire au premier. 14/25

15 Vecteur-accélération Rappel mathématique : Comment dériver un produit de trois fonctions? 15/25

16 Elément de longueur Elément de surface 16/25

17 Calculons le volume d un disque de rayon R, en faisant varier r de 0 à R et θ de 0 à 2π. En utilisant l élément de volume on obtient alors : 3.8 Composantes des vecteurs-vitesse et accélération en coordonnées cylindriques Les coordonnées cylindriques du point M sont 17/25

18 Les trois coordonnées n ont pas la même dimension. La base est : mobile. sont des vecteurs variables ; ils varient au cours du temps suivant la position du est un vecteur constant, il conserve la même direction et le même sens quelque soit la position du mobile. Vecteur position (rayon vecteur) Si M subit une variation infiniment petite qui le fait passer de M à M, alors, respectivement de à + d ; de à + d et z à z + dz M(,,z) M ( + d, + d, z + dz) Déterminons le vecteur-vitesse. et z varient Vecteur-vitesse 18/25

19 Vecteur Accélération Passage en coordonnées cartésiennes 19/25

20 On peut alors déterminer les composantes cartésiennes de la vitesse en fonction des coordonnées cylindriques. Eléments de longueur 20/25

21 z z M M IPSA M. Bouguechal cours de Physique I 22 Elément de surface Elément de volume 21/25

22 Calculons le volume d un cylindre de rayon R et de hauteur h. En utilisant l élément de volume en intégrant ρ de 0 à R, z de 0 à h et θ de 0 à 2π, on balaie le cylindre de rayon a et de hauteur h. Exemple : (t) = R z=0 OM = Ru + 0u z du = du d = (-u ) du = du d = (-u ) dt d dt dt d dt V = R u = R u a = R u - R ²u accélération centripète normale accélération tangentielle si le mouvement est uniforme = = cst a = -R ²u = -R ²u = -v²/r (car v = R ) 22/25

23 formule de passage des coordonnées cylindrique ( ; ; z) aux coordonnées cartésiennes x = cos y = sin z = z z z=z M O k y = sin y x = cos i j x v x = dx = cos - dt v y = dy = sin + dt v z = z sin cos v = v x ² + v y ² + v z ² = ² + ( )² + z ² 3.9 Composantes des vecteurs-vitesse et accélération en coordonnées sphériques 23/25

24 M(r ; ; ) r base (U r ;U ;U ) dv=(rd )(dr)(rsin d ) dv = r²sin drd d soit une sphère de rayon R calculons son volume v v= R r=0 =0 2 =0 r²sin drd d v= R r=0 r²dr =0 sin d 2 =0 d v=[r 3 ] r 0 [-cos ] 0 [ ] 2 0 = R = 4 R 3 [ 3] 3 3 OM = ru r dl = MM = dru r + rd u +rsin d u élément de longueur en coordonnée sphérique vitesse v = dl = MM = dom dt dt dt v = r * u r + r * u + rsin * u (la dérivé de u r ne donne pas u car l angle polaire de u r n est pas connu et la variation de u r se fait dans l espace) 24/25

25 Relations avec les coordonnées cartésiennes x = rsin cos y = rsin sin z = rcos v x = r * sin cos + r * cos cos - r * sin sin v y = r * sin sin + r * cos sin + r * sin cos v z = r * cos - r * sin 3.10 Exemples de mouvements Un point M décrit une hélice circulaire d axe oz. Son mouvement est donné par : x = acos y = asin z =h a : rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l hélice h : une constante z h=2 h /2 a a y x x=a x=0 x=a =0 y=0 = /2 y=a =2 y=0 z=0 z=h /2 z=2h à chaque tour on monte de 2 a) déterminer le vecteur position en coordonnée cylindrique OM = OH + HM = au r + h u z b) déterminer le vecteur vitesse et sa norme en coordonnée cylindrique v = a * u + h * u z v = ((a * u )² + (h * u z )²) 1/2 25/25

26 c) déterminer le vecteur accélération et sa norme en coordonnée cylindrique a = a ** u -a * ²u r + h ** u z a = -a * ²u r + a ** u + h ** u z d) Que deviennent les formules si le mouvement est uniforme? 26/25

27 Coordonnées cartésiennes Coordonnées d un point M M(x,y,z) x : abscisse y : ordonnée z : côte Vecteurs de base ( i, j, k ) ou ( u x, u y, u z ) Eléments de base dx dy Dz Eléments de surface ( 3 faces ) ds 1 ds 2 ds 3 dy.dz dx.dz dx.dy Variation élémentaire du vecteur position dl d OM MM ' OM ' Volume élémentaire : OM dv dx. dy. dz Vecteur position OM r 27/25