Les nombres complexes

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1 Les nombres complexes 1 Un peu d histoire En 157, l italien NICCLÓ FNTANA dit TARTAGLIA le bègue) découvre une méthode de résolution d équations du troisième degré. Il la dévoile à CARDAN. Celui que les français appellent CARDAN, de son vrai nom GERLAM CARDAN, publie cette méthode en 155. Cette méthode est ensuite développée par BMBELLI ). Le problème est qu en généralisant sa méthode il est obligé d utiliser des racines carrées de nombres négatifs ce qui allait à l encontre de tout ce qui était connu beaucoup de mathématiciens n acceptaient déjà pas l existence de nombres négatifs). Il les utilise quand même et les appelle nombres impossibles. C est RENÉ DESCARTES qui, en 167, leur donne le nom de nombres imaginaires. En 176, D ALEMBERT montre que tous ces nombres peuvent s écrire sous la forme x + y 1. La notation 1 fut très vite abandonnée car les formules classiques sur les racines donnaient une contradiction : a ) a donc 1 ) 1 a b ab donc 1 ) 1 1 1) 1) 1 1 C est EULER qui, en 1777, introduit la notation i plutôt que 1 et GAUSS qui utilise, en 181, le terme nombres complexes. Le norvégien WESSEL, en 1797, puis le Genevois ARGAND en 1806, puis beaucoup d autres, utilisent les points du plan pour représenter les nombres complexes. Forme algébrique.1 L ensemble C n admet qu il existe un nombre noté i tel que i 1 n note C l ensemble des nombres s écrivant sous la forme a + b i, a et b étant des nombres réels. Exemples : + i, 5i, + i sont des nombres complexes. Cet ensemble C est appelé ensemble des nombres complexes. L écriture a + b i est appelée forme algébrique du nombre complexe. Le nombre réel a est la partie réelle du nombre complexe et le réel b est sa partie imaginaire. La partie imaginaire est un nombre réel, c est b et non pas b i Les nombres réels sont des nombres complexes puisqu un nombre réel a peut s écrire a + 0i. Si a 0 on dit que le nombre complexe b i est un imaginaire pur.. Les techniques de calcul Pour calculer dans C on utilise les règles de calcul usuels dans R en y ajoutant i Égalité Les nombres complexes 1 a 1 + b 1 i et a + b i sont égaux si et seulement : a 1 a et b 1 b 1 A.B Vauban

2 .. Addition - soustraction Soient 1 + 5i et + i on a alors : ) )i 6 + 8i 1 ) + 5 )i + i.. Produit Soient 1 + i et i pour effectuer le produit 1 on : développe 1 + i ) i ) 6 8i + i i puis on simplifie en utilisant i i + i i.. Quotient Une identité remarquable importante : a + bi )a bi ) a + b Exemple : + i ) i ) + 1 le nombre a bi est appelé le conjugué de a + bi. Le conjugué de a + bi se note a bi Pour simplifier le quotient de deux nombres complexes 1 on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur, ce qui permet " d éliminer " les i du dénominateur. Exemple : Soit + i + i n multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué de + i qui est i : + i ) i ) i + 6i i + i ) i ) i i 5 5 Exercice 1 Calculer : A i ) + 1 i ) B + i ) 11 i ) C + i ) + i ) D + i ) i ) E + i ) F 1 5 i G i i i )1 + i ) H + i I 1 i J i 199 K 1 + i + i Exercice Résoudre dans C les équations suivantes : a) i ) + i 0 b) 1 + i ) + i 5i c) i 1 A.B Vauban

3 . Représentation graphique..1 Définitions n muni le plan d un repère orthonormé ; i, ) j. Au point Mx, y), ou au vecteur M, on fait correspondre le nombre complexe x + y i y M)) x L axe ; ) est l axe réel, il contient tous les nombres réels a + 0i ). L axe ; ) est l axe imaginaire, il contient tous les nombres complexes de la forme b i. n dit que le point M est l image du nombre et que est l affixe du point M, ou du vecteur M... Propriétés w 1 + w Soient w 1 et w deux vecteurs d affixes 1 et. w1 + w a pour affixe 1 +. Si k est un nombre réel alors k w 1 a pour affixe k 1. w w1 Soient A et B deux points du plan d affixes A et B : Le vecteur AB a pour affixe B A Le milieu de AB a pour affixe A + B Exercice Soient les points A1 + i ), B i ) et C i ). Déterminer le quatrième sommet D du parallélogramme ABCD et son centre I.. Conjugaison..1 Définition Le conjugué du nombre complexe a + bi est a bi, on le note a bi. Exemple : i ; + i... Propriétés ; 1 1 ; 1 ) 1 A.B Vauban

4 Z est réel si et seulement si est un imaginaire pur si et seulement si Si a + bi alors + a bi a + b Forme trigonométrique.1 Définitions Soit le nombre complexe a + bi et M son image dans le plan rapporté à un repère ; i, ) j orthonormal direct. M peut être repéré par la distance M et l angle θ, M) b M θ a M) n appelle module de, la distance M, on le note. Le théorème de PYTHAGRE nous dit que : a + b. n appelle argument de toute mesure de l angle, M), il est défini à π près. n le note arg Exemple : Soit i. Soit a + b i. Le module de est : a + b cosθ a Un argument de est θ tel que : sinθ b Le module de est : + ) 18. cosθ Un argument de est θ tel que : 1 sinθ 1 Donc θ π Conclusion : i a pour module et pour argument π Exercice Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants : 1 5 ; i ; 1 + i ; 1 i ; 5 i ; 6 + i ; 7 i.. Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique De cosθ a b et sinθ on tire a cosθ et b sinθ. n peut donc écrire la forme trigonométrique de : cos θ + i sin θ). n l écrit souvent sous forme abrégée :,θ. Exemple : Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique A.B Vauban

5 Donner la forme algébrique de, π. 6 cos π ) + i sin π )) ) 6 6 i 1 i Exercice 5 Donner la forme algébrique de : 1, π ; 1, π, π, 5π 6 ;, π ; 5 5,π ; 6. Interprétation géométrique de 1 Soit A et B les points d affixes A et B. B A est l affixe du vecteur AB. n en tire : A B A B arg B A ) AB AB B A L angle, AB) a pour mesure arg B A ) Exercice 6 Dans le plan muni d un repère orthonormé ; i, ) j on considère les points A, B, C et D d affixes A, B 1 + i, C 1 i et D. 1) Faire une figure. ) Calculer les distances D A, DB, et DC. Que peut on en déduire? ) Montrer que le triangle ABC est équilatéral.. pérations..1 pposé, conjugué arg ) arg) + π π) arg) arg) π).. Produit 1 1 arg 1 ) arg 1 ) + arg ) π) 5 A.B Vauban

6 .. Quotient 1 1 ) 1 arg arg) π) arg ) arg 1 ) arg ) π).. Inégalité triangulaire En général mais on a l inégalité triangulaire : Exercice 7 Soit les nombres complexes : 1 1, π ;, π ;, π 1 ;, 5π 6 1 ; 5, π ; 6 6,0 Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants : 1 ; ; 5 6 ; 1 ; 1 ; 5 ; ; ; ; ; 6 5 Exercice 8 Soit Z i et Z 1 + i. 1) Calculer le module et un argument de : Z 1, Z, ) Déterminer la forme algébrique Z 1. Z π π ) En déduire cos et sin. 1) 1) i Z 1, Z 1 Z et Z 1 Z. Forme exponentielle.1 Notation exponentielle Cette notation est due à LÉNHARD EULER ). n note cosθ + i sinθ e iθ qui se lit "exponentielle i thêta " Exemples : La forme exponentielle de, de module r et d argument θ, est r e iθ e 0 1 ; e i π i ; e iπ 1 ; e i π π ) π )) ) 1 cos + i sin + i + i Exercice 9 Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes suivants : 1 i ; i ; ; i ; 5 + i ; 6 i 6 A.B Vauban

7 Exercice 10 Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants : 1 6e i π ; e i π ; e i π ; 8e i 5π 6 ; 5 1 eiπ Exercice 11 Soit les nombres complexes : i et i. 1) Déterminer le module et un argument de 1 et. ) Écrire 1 et sous forme exponentielle. ) En déduire la forme exponentielle de : 1 ; 1 1 ; 1 et 1.. Formule de MIVRE De e iθ) n e inθ on tire : cosθ + i sinθ) n cosnθ + i sinnθ Exemple d application : cosθ + i sinθ cosθ + i sinθ) cos θ + i cosθ sinθ sin θ cos θ sin θ + i cosθ sinθ Deux nombres complexes sont égaux si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire donc on retrouve les deux formules classiques : cosθ cos θ sin θ et sinθ cosθ sinθ. Formules d EULER { e iθ cosθ + i sinθ n sait que : e iθ cosθ i sinθ En additionnant les deux on obtient : e iθ + e iθ cosθ En soustrayant : e iθ e iθ i sinθ n en tire les formules d EULER : cosθ eiθ + e iθ sinθ eiθ e iθ Exemple d application : Linéarisation de cos x. n a besoin de la formule : a + b) a + a b + ab + b e cos i x + e i x ) x 1 e i x ) + e i x ) e i x ) + e i x )e i x ) + e i x ) 8 1 e i x + e i x e i x + e i x e i x + e i x 1 e i x + e i x + e i x i + e x e i x i x + e + ei x + e i x n en tire : cos x 1 cosx + cos x) i 5 Équation du second degré à coefficients réels Une équation du second degré est une équation de la forme ax + bx + c 0 où a 0. Elle est dite à coefficients réels si a, b et c sont réels. n admet les résultats suivants : Soit Px) ax + bx + c, où a 0 b ac est le discriminant de ax + bx + c. 7 A.B Vauban

8 Solutions de Px) 0 Factorisation > 0 0 < 0 Deux solutions distinctes : x 1 b a et x b + a Une solution double : x 0 b a Deux solutions complexes conjuguées : x 1 b i a et x b + i a Px) ax x 1 )x x ) Px) ax x 0 ) Px) ax x 1 )x x ) Exercice 1 Résoudre dans C l équation P) 0 puis factoriser P) a) P) b) P) c) P) +. 8 Exercice 1 Résoudre dans C les équations suivantes : a) b) c) Exercice 1 n pose P) +. 1) Calculer P1) puis factoriser P). ) En déduire les solutions dans C de l équation P) 0. Exercice 15 Déterminer l ensemble des points du plan d affixe tels que : a) I m) b) Re) c) + i d) arg + i ) π Exercice 16 n pose P) ) Calculer P ). En déduire une factorisation de P). ) Résoudre, dans C, l équation P) 0. ) n considère les nombres complexes : 0, i ) et 1 i ). Calculer le module et un argument de 0, 1 et. ) Donner la forme trigonométrique du nombre complexe w 01. 5) Soit ; i, ) j un repère orthonormal unité cm). Placer les points M 0, M 1 et M d affixes respectives 0, 1 et. Que peut-on dire du triangle M 0 M 1 M? 8 A.B Vauban

9 Correction des exercices Exercice 1 A - B - C : Il suffit d ajouter les parties réelles entre elles puis les parties imaginaires entre elles. A i ) + 1 i ) + 1 i i i 1 + ) B + i ) 11 i ) + i 11 + i 1 + i C + i ) + i ) + i i i D - E : n développe en utilisant la distributivité a + b)c + d) ac + ad + bc + bd, puis on utilise i 1 D + i ) i ) 6 + i + i i 6 + i + i + + 7i E + i ) + i ) + i ) 9 6i 6i + i 9 1i 5 1i F - G - H - I : Pour simplifier une fraction où le dénominateur est de la forme a + bi on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué de a + bi qui est a bi. Pourquoi? : parce que cela fait disparaître le i du dénominateur car a + bi )a bi ) a + b F 1 5 i i 5 i 5 + i 5 + i 5 i )5 + i ) 5 + i i i G i i i )1 + i ) H + i i ) + i ) 6 + i i i i ) + i ) i i + i i i + i I 1 i 1 i i i i i i 1 i J i 199 i ) 996 i i K 1 + i + i 1 + i ) i ) + i ) i ) + i i + i + i 1 i + i i Exercice + i + i ) + i ) a) i ) + i 0 i ) + i i i ) + i ) i + 8i 8 + 6i b) 1 + i ) + i 5i 1 + i ) i i i 1 i ) 1 + i 1 + i )1 i ) i i c) i i )1 ) car i i i + i i 1 + i 1 + i 1 + i i Exercice ABCD est un parallélogramme donc AB DC d où : B A C D n en tire : D C B + A i + + i i A Le centre I est le milieu de AC, il a donc pour affixe : A + C 1 i 1 1 i B C I D 9 A.B Vauban

10 Exercice Juste les réponses : 1 5 et arg 1 π ; et arg π ; et arg π ; et arg π ; 5 6 et arg 5 π 6 ; 6 et arg 6 π ; 7 et arg 7 π Exercice 5 1, π π ) π )) cos + i sin 1 + i ) 1 + i 1, π cos π ) + i sin π )) 0 + i 1) i, 5π 6, π cos 5π 6 cos π ) + i sin 5π 6 ) + i sin π )) + i )) + i 1 ) ) i )) 5 5,π 5cosπ + i sinπ) i ) 5, π 6 ) )) π π cos + i sin ) + i 1 + i Exercice 6 ) D A A D DB B D 1 + i 1 + i 1 + DC C D 1 i 1 i 1 + D A DB DC donc les points A, B et C appartiennent au cercle de centre D de rayon. ) AB B A 1 + i + i AC C A 1 i i BC C B 1 i 1 i i Conclusion : équilatéral. AB AC BC donc le triangle ABC est i B C D A Exercice 7 1 De même : 1, π + π 1, π 1 1, π 1, π 1 1, π, π π et 1 1 6, et 5 6 6, 0, π π + 9π 1, π, 1π 1 1 De même : 1 1, π et 5, 5π 6 De même 6, π et 1, π A.B Vauban

11 Exercice 8 1) n trouve : 1 et arg 1 π ; et arg 1 π i 1 ) i 1 et arg π 1 π π 6 ; 1 et arg 1 ) π + π 7π 1 1 ) 1 et arg π π π 1 ) i 1 + i )1 i ) 1 i + i i 1) 1 + i 1 + i )1 i ) ) n tire des questions précédentes : 1 cos π 1 + i sin π ) 1 et i 1) 1 D où cos π et sin π 6 1 Exercice 9 1 i. Le module de 1 est 1 + ) a pour argument θ tel que : cosθ 1 sinθ Donc θ π La forme exponentielle de 1 est donc 1 e i π De même e i π ; e iπ ; e i π ; 5 e i 5π 6 ; 6 6e i π Exercice e i π 6 cos π ) + i sin π )) 6 i ) i De même : i ; 1 + i ; + i ; 5 1 Exercice 11 1) 1 a pour module et pour argument π a pour module et pour argument π 6 ) 1 e i π et e i π 6 ) 1 e i π e i π 6 e i π π 6 ) e i π e i π π 6 1 e i π ; e i e i π 1 e i π π 6 1 e i π e i π 6 ) 5π i e 1 π ei + π ) 6 ei 5π 1 ; 11 A.B Vauban

12 Exercice 1 a) Soit P). a, b 1 et c. Le discriminant est b ac 1) ) > 0 donc l équation P) 0 a solutions : 1 b a b + a Factorisation : P) a 1 ) ) + 1) b) Soit P) a, b 7 et c 9 8. ) Le discriminant est b ac donc l équation P) 0 a une seule solution : 1 b a Factorisation : P) a 1 ) 7 ) 1 c) Soit P) +. a 1, b et c. Le discriminant est b ac ) < 0 donc l équation P) 0 a solutions complexes conjuguées : 1 b i a b + i a i 7 + i 7 Factorisation : P) a 1 ) ) i 7 ) + i 7 ) Exercice 1 a) ; il y a donc deux solutions complexes : i 7 et 1 i b) i ; il y a donc deux solutions complexes : i et 1 i c) ; il y a donc deux solutions complexes : i 8 + i et i Exercice 1 1) P1) 0 ; on peut donc factoriser P) par 1). P) 1)a + b + c) a + b + c a b c a + b a) + c b) c Par identification avec P) + on a : a, b a, c b 1 et c. n en tire a, b 5 et c. Donc P) 1) ) 1 A.B Vauban

13 ) P) 0 1 ou Les solutions de sont i 7 Les solutions de P) 0 sont donc : 1 ; 5 + i 7 Exercice 15 y et 5 i 7 et 5 i 7 Im) y Re) x x y y arg + i) π A i) x A i) x + i Exercice 16 1) P ) 0 on peut donc factoriser P) par + ). P) + )a + b + c) a + b + c + a + b + c a + b + a) + c + b) + c Par identification avec P) + 16 on a : a 1, b + a, c + b 0 et c 16. n en tire a 1, b et c 8. Donc P) + ) + 8) ) P) 0 ou Les solutions de sont 1 + i et i Les solutions de P) 0 sont donc : ; + i et i ) n trouve : 0 et arg 0 ) π 1 et arg 1 ) π ; et arg ) π ) ) w ) ; π + π π ) 1 ; 9π 1 ; π 5) y M 1 M 0 M i 0 M 0 M 0 i 0 M 0 M 1 M 1 i Donc le triangle M 0 M 1 M est isocèle en M 0 x M 1 A.B Vauban

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