Partie A : Oscillateur harmonique à 2 dimensions

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1 UNIVERSITE SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH Année Universitaire 2015/2016 FACULTE DES SCIENCES DHAR EL MAHRAZ - FES DEPARTEMENT DE PHYSIQUE T.D de Physique Quantique - SMP - S5 SERIE N 4 Exercice1/ Moment cinétique On considère une particule ayant un moment cinétique J et se trouve dans un état propre j, m de J 2 2 et J z correspondant au couple de valeurs propres j ( j 1) et m. 1) Calculer les éléments de matrice suivants: j, m J 2 j, m, j, m J z j, m, j, m J ± j, m, j, m J x j, m et j, m J y j, m 2) En déduire l expression de la valeur moyenne de J x et J y dans l état j, m, ainsi que les écarts quadratiques moyens ΔJ x et ΔJ y. 3) On suppose que la particule a pour moment cinétique j = 1, en utilisant les résultats de la 1 ère question, écrire les matrices représentant J 2, J z, J, J x, J y dans la base j, m. 3) Cette particule est soumise à un gradient de champ électrique et son hamiltonien s écrit alors: H ( J u J v ) ou J u et J v sont les composantes de J sur les directions Ou et Ov du plan XOZ à 45 de OX et OZ, et ω 0 est une constante réelle. Donner l expression de H en fonction de J x, J y et J z et écrire la matrice qui représente cet hamiltonien dans la base j, m 5) Déterminer les énergies propres et les états stationnaires 1, 2, 3 de cette particule. 6) A t=0 la particule est dans l état 0 t? , 1, 1 quel l état du système à l instant Exercice 2/ Partie A : Oscillateur harmonique à 2 dimensions Une particule de masse m est assujettie à se déplacer dans le plan XOY et qu'elle est soumise au potentiel harmonique V(X, Y). Ce système est un oscillateur harmonique à 2 dimensions de 2015/2016 1

2 pulsation ω, dont le potentiel est : V(X, Y) = 1 2 mω2 (X 2 +Y 2 ) On pose : a x = 1 2 [X + ip x ]; a y = 1 2 [Y + ip y ] ; N x = a x + a x ; N y = a y + a y avec X = βx ; P x = 1 P βħ x ; Y = βy ; P y = 1 P βħ y ; β = mω ħ Soit φ nx les états propres de N x de valeurs propres nx, φ ny les états propres de N y de valeurs propres ny, et soit φ nx φ ny leur produit tensoriel. Tous ces états sont normés. 1 ) Montrer que l'hamiltonien H de ce système s'écrit sous la forme d'une somme de deux hamiltoniens H x et H Y. Donner l'expression de H en fonction de N x et N Y. 2 ) Déterminer les états propres de H ainsi que les valeurs propres qui leurs sont associées et leur degré de dégénérescence. Donner un ensemble complet d'observables qui commutent (ECOC) dans l'espace des états de cette particule. 3 ) A t = 0 la particule est dans l'état : ψ(0) = 1 2 φ φ 01 quel est son état à l'instant t? Quelle est la probabilité pour qu'une mesure de l'énergie donne une valeur inférieure à 2?. 4 ) On introduit les opérateurs : et Montrer que les vecteurs : φ 00, d = A d + φ 00 et g = A g + φ 00 sont des états propres de H orthogonaux et normés et déterminer les valeurs propres qui leur correspondent. Partie B Oscillateur harmonique à 3 dimensions La particule de masse m se déplace maintenant dans l'espace à trois dimensions et soumise à une force centrale F = kr. L'énergie de la particule est donnée par 1 ) Quel est l'hamiltonien H de la particule. 2 ) Calculer les états propres et les niveaux d'énergies de la particule. H forme-t-il un E.C.O.C dans l'espace des états ξr. Donner un E.C.O.C dans ξr. 3 ) Quel est le degré de dégénérescence du niveau fondamental de cette particule et celui du n ième niveau excité. E = P2 2m m 2 r 2 avec = k m, k>0 4 ) Montrer qu'il existe une relation entre le n ème état excité et l'état fondamental 2015/2016 2

3 Exercice 3/ On considère un système quantique sans spin de moment cinétique orbital L ; une base de l espace des états de ce système est considérée par les états propres communs à L² et L Z et notés l, m. 1) Exprimer L + L - et L - L + en fonction de L² et L Z et en déduire les propriétés : L ± l, m = ħ l(l + 1) m(m ± 1) l, m ± 1 2) On suppose maintenant dans toute la suite que l=1 a) Calculer, dans la base { l, m }, les éléments de matrices des opérateurs L², L z, L x et L y. b) Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de L y. 3) On considère que la particule est dans l'état normé: ψ = a 1,1 + b 1,0 + c 1, 1 a) Quelle est la probabilité de trouver ħ si l'on mesure L y? b) Calculer la valeur moyenne <Lz > lorsque le système est dans l'état ψ, ainsi que les probabilités des différents résultats possibles lors d'une mesure portant sur cette observable. 4) Ce système est un noyau atomique soumis à un champ magnétique B dirigé selon une direction unitaire u d angles polaires θ et φ / [u (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ)]. On supposera que le rapport gyromagnétique γ du noyau est négatif et on posera : ω = γb. En écrivant que l hamiltonien d interaction est : H = μ. B où μ = γj. Montrer que la matrice représentant H dans la base des états propres { l, m } est donnée par : cosθ sin θ e iφ M H = ħω 2 0 ( sin θ e iφ 2 0 sin θ e iφ 2 0 sin θ e iφ 2 cos θ ) Calculer les énergies propres du système. 2015/2016 3

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