Feuille de TD n 1 : Logique, raisonnements mathématiques et théorie des ensembles

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1 Feuille de TD n 1 : Logique, raisonnements mathématiques et théorie des ensembles Opérateur d implication Exercice 1. ( ) On considère la proposition «s il pleut, mon jardin est mouillé». Quelle est sa négation? a. «s il ne pleut pas, mon jardin n est pas mouillé» b. «s il ne pleut pas, mon jardin est mouillé» c. «s il pleut, mon jardin n est pas mouillé» d. «si mon jardin n est pas mouillé, il ne pleut pas» e. «il pleut et mon jardin n est pas mouillé» f. autre réponse. Opérateur d équivalence Exercice 2. ( ) Soit x un réel. A-t-on (x 2 = 9) (x = 3)? (en français : pour que x 2 = 9 il faut et il suffit que x = 3) Exercice 3. ( ) Démontrer que (p q) (NON(q) NON(p)). Exercice 4. ( ) Soient p et q deux propositions. Montrer que : 1) NON(p ET q) (NON(p) OU NON(q)) 2) NON(p OU q) (NON(p) ET NON(q)) 3) NON(NON(p)) p 1

2 4) [(p q) ET (q r)] (p r) Exercice 5. ( ) Soient p et q deux propositions. Exprimer la proposition (p q) en n utilisant que les connecteurs logiques OU et NON. Utilisation de quantificateurs Exercice 6. ( ) Vrai ou faux? Justifier les assertions suivantes quand elles sont justes et donner un contreexemple quand elles sont fausses. a. x R, x 2 x b. x R, y R, x = y 2 c. x R, x 2 = 2 d. n N, p N, n = 2p e. n N, p N, p = 3n f. n N, p N, n(n + 1) = 2p g. x R, y R, x < y 2 h. x R, y R, x > y 2 i. x > 0, y > 0, y < x j. x R, y R, z R, e y = xz 2 Exercice 7. ( ) Exprimer la négation des propositions de l exercice précédent. Exercice 8. ( ) Écrire à l aide de quantificateurs les propositions suivantes. a. La fonction f : R R admet un maximum. b. L équation f(x) = 0 a exactement une solution dans R. c. L équation f(x) = 0 n a pas de solution. d. La fonction f est constante. e. Tout réel a un antécédent par f. f. Tout réel a au moins deux antécédents par f. g. La fonction f ne prend jamais deux fois la même valeur. h. La fonction f ne prend pas de valeurs négatives. 2

3 Méthodes de démonstration Exercice 9. ( ) Démontrer que la proposition suivante est fausse. x ], 1[, 2 3x.(ln(1 x) + 1).(3x 3 + xe x 4) 0 Exercice 10. ( ) Montrer qu un entier ne peut pas être à la fois pair et impair. Exercice 11. ( ) Pour x élément de R, montrer que : (( ε > 0), x ε) x 0. On procédera par contraposée. Exercice 12. ( ) Pour x élément de R, montrer que : (( ε > 0), x ε) x 0. On procédera par l absurde. Exercice 13. ( ) Soit n N. Montrer par l absurde que si n 2 est pair alors n est pair. Faire de nouveau la démonstration en procédant par contraposée. Exercice 14. ( ) Soit n N. Démontrer que n 2 n est pair. Théorie des ensembles Exercice 15. ( ) Dans chacune des questions suivantes, on donne un ensemble E et des parties A et B de E. Déterminer explicitement les ensembles A B, A B, A B ainsi que A B. a. E = {1, 2, 3, 4}, A = {1, 2}, B = {2, 4} b. E = R, A = ] ; 3], B = [2; + [ c. E = R, A = ] ; 2], B = [3; + [ d. E = R, A = N, B = ]0; + [ 3

4 Exercice 16. ( ) X, Y et Z désignent des ensembles. Démontrer les affirmations suivantes : a. Si X Y alors X Z Y Z. b. (X Y ) (X = X Y ) c. X = (X Y ) (X \ Y ) d. (X Y ) (X Z) = X Y Z Exercice 17. ( ) (Un peu de différence ensembliste...) a. Que valent A \ et A \ A? b. Montrer que A \ B = A B \ A = B. c. Montrer que (A \ B) \ B = A \ B. Exercice 18. ( ) (Un peu de différence symétrique...) Soit E un ensemble, A et B deux parties de E. On définit la différence symétrique de A et de B, notée A B par : A B = (A B) \ (A B) a. Que valent A A et A? b. Montrer que A B = (A \ B) (B \ A). c. Montrer que A B = (Ā B) (A B). d. Montrer que (A B) B = A. Exercice 19. ( ) Soit E un ensemble, A et B deux parties de E. a. Montrer que A (B C) = (A B) (A C). b. Montrer que A (B C) = (A B) (A C). c. Montrer que : (A B = A B) A = B. Exercice 20. ( ) A, B, C étant trois parties d un ensemble E, montrer que : } A B A C B C A B A C 4

5 Exercice 21. ( ) (De la bonne utilisation du quantificateur universel... ) Soit A une partie d un ensemble E. Démontrer que : a. ( X P(E), A X = E) A = E. b. ( X P(E), A X = ) A =. Exercice 22. ( ) A et B étant deux parties d un ensemble E, montrer que les propositions suivantes sont équivalentes. a. A B b. (E \ B) (E \ A) c. B (E \ A) = E Ensemble des parties d un ensemble E Exercice 23. ( ) On note E = {1} et F = {1, π}. a. Détailler P(P(E)) et P(F ). b. Est-ce que l un est inclus dans l autre? Exercice 24. ( ) Soient A et B deux ensembles. 1. Démontrer que P(A B) = P(A) P(B). 2. a. Démontrer que P(A B) P(A) P(B). b. Y a-t-il égalité? 5