1.1 Réviser ses gammes

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1 1 Géométrie plane TD Seconde 1.1 Réviser ses gammes vant toute chose, vous pouvez reprendre vos fiches sur les connaissances du collège. Gamme n 1 Nombres relatifs alculer : a) +( 9) b) ( 7,3)+(,8) c) 7 ( 3) d) 6, (+8,5) Gamme n Distance sur une droite graduée Sur une droite graduée, placer les points,, et D d abscisses respectives ; ; et 3. alculer les distances,, D et D. Gamme n 3 Les fractions alculer les expressions suivantes et en donner le résultat sous forme de fraction irréductible. = 1 3 = = 3 7 ( 5 D = ) 5 E = Gamme n Racines carrées Écrire sous la forme a b avec b le plus petit entier possible. a) 5 b) 98 c) d) e) 7. Simplifier les écritures suivantes. = ( +3) = 56 = 7(5+3 7) D = (+ 5)( 5) E = 3. Soit u= 7+3 et v = 7 3. u v est-il un nombre entier? Gamme n De la géométrie plane Trois points, et du plan sont tels que : = 0, = 5 et = 15. Les points, et sont-ils alignés?. Soit un triangle tel que = 3 6, = 5 et = 5+. Montrer que ce triangle est rectangle. 3. Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. (a) Un quadrilatère qui a un angle droit est un rectangle. (b) Les diagonales d un losange se coupent en leur milieu. (c) Un quadrilatère dont les côtés sont de même longueur est un losange. (d) Un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange. (e) Tout rectangle est un carré. (f) Il existe des carrés qui sont des parallélogrammes. Gamme n 6 Équations du premier degré Résoudre les équations suivantes : a) x 1= b) x 3 x = 5 c) 5= d) 3x+ 1 = x 5 3 Gamme n 7 Un nombre remarquable On note φ= alculer φ et φ+1.. Que remarquez-vous? 3. Montrer que φ=1+ 1 φ N. SNS page 1 Lycée Jean Giono Turin

2 1 Géométrie plane TD Seconde Gamme n 8 Vocabulaire lié aux repères Dans le repère ci-contre, les points indiqués sont à coordonnées entières. Préciser dans chaque cas si l affirmation est vraie ou fausse. 1. Le point E est sur l axe des abscisses. F 3 E. Les points et F ont même abscisse Le point a pour coordonnées (; 3).. Les points et D ont même ordonnée. 5. Les points, et D ont des abscisses négatives. 6. Les points E et F ont des ordonnées positives. 3 1 D 1. Pour construire le cours TIVITÉ 1 (Se repérer sur un site archéologique) L`o r s `d`e f o u i l l eṡ `a r`c h`é o l oˆgˇi`qfi u`eṡ, l eṡ p`oşfi i tˇi`o n s r`e l a tˇi vfleṡ `d`eṡ `o b j eˇtṡ `d`é c o uffl- vfleˇr tṡ sfi`o n t tˇr`èṡ i m p`o r t a n t eṡ. S iffl `o nffl `d`o i t `d`éṗ l a`c eˇrffl l eṡ `o b j eˇtṡ p`o u rffl l eṡ `éˇtˇu`d i`eˇrffl `e nffl l a bˆo r`a t o i r`e, i l f a u t p`o u vˆo i rffl l eṡ r`e m`eˇtˇtˇr`e `d`a n s l affl m`ê m`e `d i s- p`oşfi i tˇi`o nffl. 1. Pourquoi les archéologues positionnent-ils une grille sur les objets découverts?. Expliquer comment repérer ces objets pour que, après un déplacement, on puisse les replacer à leur emplacement d origine. On appelle cette technique le carroyage TIVITÉ (Une position particulière) Une histoire de milieu! 1. u cours du trimestre, lémentine a eu deux notes en EPS : 13 et 16. Quelle sera la note inscrite sur son bulletin du trimestre?. Un point et un point sont repérés sur une droite graduée par les nombres 5 et 13. Quelle est l abscisse du point M milieu du segment []? Et dans le cas où le point a pour abscisse 3? 3. Quel calcul peut-on proposer pour repérer le point milieu d un segment quand on connaît la position des extrémités dans un repère du plan?. Dans un repère du plan, déterminer les coordonnées du point I milieu de segment [] avec pour coordonnées (; 3) et ( ; 5) TIVITÉ 3 (Repère oblique) Dans un parallélogramme D, on construit les points M, N, P et Q respectivement sur les segments [], [], [D] et [D] tels que : M = 1 ; N = 1 ; P = 1 D et DQ = 1 D. On s intéresse au quadrilatère MNPQ. N. SNS page Lycée Jean Giono Turin

3 1 Géométrie plane TD Seconde D P On se place dans le repère (,, D). ela signifie que est l origine du repère, la droite () est l axe des abscisses avec pour unité et la droite (D) est l axe des ordonnées avec D pour unité. 1. Lire les coordonnées des points de la figure.. Étudier la nature du quadrilatère MNPQ. Q N 3. Les quadrilatères D et MNPQ ont-ils le même centre? M TIVITÉ (Une formule fondamentale) L objectif de cette activité est de déterminer une formule dans un repère spécifique du plan afin de calculer la distance entre deux points. 1. Dans quelle situation suivante, pouvez-vous calculer la distance? Situation 1 Situation Situation 3. Dans le repère suivant, Loïc a placé les points et. Pour calculer la distance, il a placé un point M tel que M soit un triangle rectangle en M. Expliquer pourquoi son idée est très intéressante. 5 3? 1 M 1 3? Lire les coordonnées des points, et M.. En déduire les distances M puis M. 5. alculer la distance. 6. Déterminer des formules en fonction des coordonnées (x ; y ) et (x ; y ) pour exprimer les points d interrogation sur chaque axe. 7. En déduire une formule générale permettant de calculer la distance connaissant les coordonnées des points et. 8. Donner la condition nécessaire pour utiliser cette formule. N. SNS page 3 Lycée Jean Giono Turin

4 1 Géométrie plane TD Seconde 1.3 Des exercices Différents types de repère EXERIE 1 D 1. Relever les coordonnées des points, D, E et H dans le repère (O, I, J) ci-contre.. Sur ce graphique, placer les points (; ), ( ;), F (0; ), G ( ; ) et K ( ; 0) iter, parmi tous les points placés dans ce repère, au moins deux points : la même abscisse ; une ordonnée nulle ; des ordonnées opposées ; des coordonnées opposées. J O H I + E EXERIE On considère le repère (O, I, J) ci-dessous. D J O I E 1. Expliquer pourquoi (O, I, J) est un repère du plan.. Donner les coordonnées des points,,, D et E dans ce repère. 3. Placer dans ce repère les points F et G de coordonnées respectives (0; ) et (6; ).. olorier l ensemble des points du plan tels que leurs coordonnées (x ; y) vérifient x 1 et y aractériser l ensemble des points du plan se trouvant dans le premier quadrant du repère. EXERIE 3 Soit EFGH un carrée de centre O. 1. En justifiant, (E, F, H) est-il un repère orthonormé du plan?. Dans ce repère, donner les coordonnées de tous les points de la figure. 3. Reprendre les deux questions précédentes avec le triplet (O, G, F). N. SNS page Lycée Jean Giono Turin

5 1 Géométrie plane TD Seconde 1.3. Milieu d un segment EXERIE (pplication directe) alculer les coordonnées du milieu I du segment [] dans les cas suivants : 1. ( ; 3) et ( ; ) ; 3. ( ; 8) et (0 ; 7) ;. ( 1 ; 3) et ( 5 ; 3) ;. ( ; π) et (π ; ). EXERIE 5 (preuve analytique) Le plan est muni d un repère orthonormé (O, I, J). 1. Placer les points ( ; 3), (1 ; ), (0 ; 5) et D ( 3 ; 3).. Montrer que le quadrilatère D est un parallélogramme. EXERIE 6 Le plan étant muni d un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points ( ; 6) et ( ; ). 1. alculer les coordonnées de M le milieu de [].. Soit N ( ; 3), démontrer que (MN) et (O) sont parallèles. Vérifier graphiquement. EXERIE 7 (Une figure très particulière) Soit (O, I, J) un repère orthonormé du plan. 1. Placer dans un repère les points ( ; 3), ( ; ), (6 ; ) et D ( ; ).. Démontrer que le quadrilatère D n est pas un parallélogramme. 3. Soit E, F, G et H les milieux respectifs des segments [], [], [D] et [D]. (a) Placer E, F, G et H sur votre figure. (b) Démontrer que EFGH est un parallélogramme.. Soit D un quadrilatère convexe quelconque. (a) Rechercher la définition d un quadrilatère convexe. (b) Démontrer que le quadrilatère EFGH où les points E, F, G et H sont définis comme ci dessus est toujours un parallélogramme. EXERIE 8 (Échauffement) Le plan est muni d un repère orthonormé (O, I, J). Placer ou construire les points dans le repère puis calculer leurs coordonnées. 1. K le milieu de [IJ].. I le symétrique de I par rapport à O. 3. le symétrique du point ( ; ) par rapport au point (3 ; ). EXERIE 9 (Points symétriques par rapport à un centre) Soit (O, I, J) un repère du plan. 1. Déterminer les coordonnées du points M (x ; y ) tel que M soit le symétrique du point M ( ; 1) par rapport au point ( ; 3).. Recommencer avec M (3 ; 0) et ( ; ). 3. Déterminer une formule générale avec M (x ; y) et (x ; y ).. Que se passe-t-il dans le cas où le point est confondu avec le point O? EXERIE 10 (Grand classique) Le plan étant muni d un repère orthonormé (O, I, J). 1. Placer les points ( 3 ; ), ( ; 3) et (7 ; ).. alculer les coordonnées du point D tel que D soit un parallélogramme. 3. Déterminer les coordonnées du point E tel que E soit un parallélogramme.. Vérifier graphiquement les calculs. 5. Démontrer astucieusement que est le milieu de [DE]. N. SNS page 5 Lycée Jean Giono Turin

6 1 Géométrie plane TD Seconde Distance en repère orthornormé EXERIE 11 (Des triangles) Dans les trois questions suivantes, nous nous plaçons dans un repère orthonormé. 1. Soit les points ( 3; 1), (; 3) et (0; ). Montrer que est un triangle isocèle.. Soit les points T (; 0), R (1; 0) et I (0; 3). Montrer que TRI est un triangle équilatéral. 3. Soit les points E (; ), D ( 3; 6) et F ( 7;). Montrer que EDF est un triangle rectangle. EXERIE 1 (Points cocycliques) Dans un repère orthonormé, on donne les points : ( 5; ), ( ; 3), ( ; 5) et D (3;). 1. alculer les longueurs D, D et D.. En déduire que les points, et sont sur un même cercle nommé dont on précisera le centre et le rayon. 3. Les points E (10; 3) et F (6; 7) sont-ils aussi sur le cercle? Justifier! EXERIE 13 (Un losange) Dans un repère orthonormé, on considère les points : P (; 5), O ( 3; 0), U ( ; 7) et R (1; ). Démontrer que le quadrilatère POUR est un losange. EXERIE 1 (Équidistance) Dans un repère orthonormé, on donne les points : (; 3), (; 0) et K (3;). 1. alculer les longueurs K et K.. En déduire que K appartient à la médiatrice de []. ( ) 1 3. En est-il de même pour le point L ; 3? 1.3. Méli - mélo EXERIE 15 (Encore un classique) On se place dans un repère orthonormé. 1. Placer les points ( ; 3), (1; 0), ( 7; ).. Montrer que le triangle est rectangle et isocèle. 3. En déduire les coordonnées du centre de son cercle circonscrit et le rayon de ce cercle.. alculer l aire de. EXERIE 16 (encore des cercles) Dans un repère orthonormé, on considère les points ( ;) et (6; 3). 1. Déterminer les coordonnées de ω le milieu de [].. Montrer que le point appartient au cercle de diamètre []. 3. Déterminer les coordonnées du point diamétralement opposé à sur le cercle.. Le point D (1, 3+ 5) appartient-il au cercle? EXERIE 17 (Vrai/Faux?) Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes en justifiant. On se place dans un repère orthonormé. 1. (1 ; ) et ( ; 1) alors = Si M (x ; y) alors OM = x + y.. Si EF = FG alors F est le milieu de [EG]. N. SNS page 6 Lycée Jean Giono Turin

7 1 Géométrie plane TD Seconde EXERIE 18 (Un rectangle) 3 Dans le repère orthonormé ci-contre, on a placé les points R, E, et T. E J 1 T 1. Lire les coordonnées des points R, E, et T.. onjecturer la nature du quadrilatère RET. 3. Prouver votre conjecture. 3 R O I 1 3. alculer l aire de RET. EXERIE 19 (une conjecture à prouver) Dans un repère orthonormé du plan, on donne les points (3; 1), (; 3), ( 3;) et D (1; 3). près avoir conjecturé la nature du quadrilatère D, démontrer celle-ci. EXERIE 0 (Merci qui?) Soit D un carré. On appelle E le point tel que DE soit un parallélogramme et F le symétrique de par rapport à. On se place dans le repère (,, D). près avoir déterminé les coordonnées de tous les points de la figure, prouver que EDF est un demi-carré. EXERIE 1 (Lecture d un algorithme) Variables Début Fin a, b, c, d, D : nombres réels Saisir a Saisir b Saisir c Saisir d D (a c) + (b d) fficher D Expliquer précisément ce que fait l algorithme ci dessus Finir en beauté PROLÈME 1 (Trop o ;-)) F On considère D un rectangle avec = 8 et D = 5. Soit E sur [D] tel que DE = et F sur [] tel que F = Établir la nature du triangle EF. E. On note H le pied de la hauteur issue de F. alculer FH. D N. SNS page 7 Lycée Jean Giono Turin

8 1 Géométrie plane TD Seconde PROLÈME (Médiane) Dans un vieux livre, Mongi trouve la formule donnant la longueur des médianes d un triangle non rectangle en fonction des longueurs de ces trois côtés. L = 1 ( a + b c ) Mongi est curieux de la preuve de cette formule. On se place dans un repère orthonormé d origine où () est l axe des abscisses. 1. Quelles sont les coordonnées de et de?. Quelles sont les coordonnées du milieu I de []? 3. On note (x ; y ), les coordonnées du point. Vérifier que : L = I = x + y cx + c. alculer a et b en fonction de x, y et de c. Donner les résultats sous forme développée. 5. Établir la formule du livre de Mongi. PROLÈME 3 (Un super complet à rédiger) Dans un plan muni d un repère orthonormé (O; I, J), on place les points suivants : P(, 5; ), T (3, 5; ) et L(, 5; ). 1. Faire une figure à compléter au fur et à mesure.. (a) Tracer le cercle ( ) de diamètre [T P]. (b) Quelles sont les coordonnées de, son centre? (c) alculer la mesure r de son rayon. 3. (a) Démontrer que le cercle ( ) passe par L. (b) En déduire la nature du triangle PLT. (c) Montrer que le cercle ( ) ne passe pas par O.. (a) alculer les coordonnées du milieu de [OL]. (b) En déduire les coordonnées du point U tel que POU L soit un parallélogramme. (c) Placer le point U. (d) Les points P, T et U sont-ils alignés? Justifier. 5. (a) Placer le point S tel que L S soit un triangle rectangle isocèle et que S soit situé sous le segment [LP]. (b) Lire les coordonnées du point S. (c) Le point S appartient-il au cercle ( )? 6. (a) Placer E, symétrique de L par rapport au point. (b) Quelle est la nature de PLT E? (c) alculer les coordonnées du point E. (d) Le point E appartient-il à l un des axes du repère? (e) Démontrer que le triangle E T est isocèle. N. SNS page 8 Lycée Jean Giono Turin