Sommaire PARTIE I : PRESENTATION DE LA VALUE-AT-RISK 3

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1 Sommaire PARTIE I : PRESENTATION DE LA VALUE-AT-RISK 3 I. PRESENTATION GENERALE DEFINITION GENERALE UTILISATION DE LA VAR TYPES DE RISQUES MESURES PAR LA VAR COMMENT ADAPTER LA VAR EN ASSURANCE? 6 a. Résumé du principe de fonctionnement d une société d assurance 6 b. Adaptation de la VaR en assurance 7 c. Utilisation de la VaR dans dans le calcul du besoin en fonds propres 8 II. DEFINITION PROBABILISTE DE LA VALUE-AT-RISK DEFINITION DE LA VAR 10 a. Distribution des profits et pertes (P&L) 12 b. Définition probabiliste de la VaR COMMENT ESTIMER LA VALUE-AT-RISK? 13 PARTIE II : ESTIMATION DE LA VALUE-AT-RISK 14 I. ESTIMATION PARAMETRIQUE PRELIMINAIRES : APPROCHE UNIVARIEE APPROCHE VARIANCE COVARIANCE METHODE RISKMETRICS AVANTAGES ET LIMITES DES METHODES D ESTIMATION PARAMETRIQUES 17 II. ESTIMATION NON PARAMETRIQUE SIMULATION HISTORIQUE (HS HISTORICAL SIMULATION) 18 a. Principe et définition 18 b. Exemple d utilisation : Cours de clôture AXA du 25/10/2007 au 23/10/ c. Limites de la Simulation Historique 22 d. Prévision de la VaR selon la méthode de Simulation Historique 22 e. Exemple de prévision de la VaR HS METHODE BOOTSTRAP DE SIMULATION HISTORIQUE WEIGHED HISTORICAL SIMULATION (WHS) SIMULATION HISTORIQUE ET SIMULATION PARAMETRIQUE DE LA DENSITE 26 a. Principe et définition 26 b. Exemple d application sous R 27 III. ESTIMATION SEMI-PARAMETRIQUE THEORIE DES VALEURS EXTREMES 30 a. Cadre d analyse 30 1

2 b. Théorème limite de Fisher-Tippett 30 c. Méthode des excès et distribution de Pareto généralisée 32 IV. METHODE DE MONTE CARLO PRESENTATION AVANTAGES ET LIMITES DE LA METHODE DE MONTE CARLO 35 PARTIE III : LIMITES DE LA VALUE-AT-RISK 36 I. INTRODUCTION 36 II. LA VALUE-AT-RISK, UNE MESURE DE RISQUE COHERENTE? DEFINITION D UNE MESURE DE RISQUE COHERENTE NON SOUS-ADDITIVITE DE LA VALUE-AT-RISK 38 BIBLIOGRAPHIE 39 2

3 Partie I : Présentation de la Value-at-Risk Apparue pour la première fois à la fin des années 80 dans le domaine de l assurance, la Value-at-Risk (VaR) est devenue en moins d une dizaine d années, une mesure de référence du risque sur les marchés financiers. C est la banque JP Morgan, qui a popularisé ce concept avec son système RiskMetrics implémenté en La Value-at-Risk est notamment utilisée dans la réglementation prudentielle définie dans le cadre des accords de Bâle II. (cf. II/ Utilisation de la VaR) I. Présentation générale 1.1. Définition générale La Value-at-Risk correspond au montant des pertes qui ne devraient pas être dépassées pour un niveau de confiance donné sur un horizon temporel donné. Le niveau de confiance choisi est en général de 95 ou 99%. Considérons : un seuil de risque de %, équivalent à un seuil de confiance de 1 % un horizon temporel N La VaR permet de répondre à l affirmation suivante : «Nous sommes certains, à 1 %, que nous n'allons pas perdre plus de V euros sur les N prochains jours». La valeur V correspond à la VaR. Il s agit donc de la perte maximale potentielle qui ne devrait être atteinte qu avec une probabilité donnée (ou un risque donné) sur un horizon temporel donné. Exemple : Si une banque annonce une VaR quotidienne de 1 million d euros sur son portefeuille pour un niveau de confiance de 99%, cela implique qu il y a seulement une chance sur 100, sous des conditions normales de marché, que la perte associée à la détention de ce portefeuille sur une journée excède 1 million d euros. Autrement dit : La VaR au seuil de confiance de 99% à 1 jour, que l'on notera, VaR (99%, 1j), égale à 1 million d'euros signifie qu'un jour sur cent en moyenne, le portefeuille est susceptible d'enregistrer une perte supérieure à cette somme de 1 million d'euros Utilisation de la VaR La VaR est utilisée aussi bien par les institutions financières et les régulateurs, que par les entreprises non financières. Les institutions financières ont été les premières à utiliser cet outil. En effet, la diversification des risques financiers, la complexité des nouveaux instruments financiers et l évolution de la régulation ont poussé les institutions financières à mettre en place des systèmes centralisés de surveillance et de management des risques. De leur côté, les réglementations doivent évaluer ces risques financiers afin d imposer aux institutions financières un niveau minimal de capitaux disponibles. Par ailleurs, le management centralisé des risques est utile à toute entreprise 3

4 exposée à des risques financiers. Les entreprises non financières, comme les multinationales par exemple, utilisent quant à elles la VaR pour se prémunir contre le risque de change. La VaR peut donc être utilisée : de façon passive : reporting des risques L objectif est de mesurer un risque agrégé (1ère utilisation par la banque JP Morgan). C est une mesure du risque simple à interpréter car elle s exprime sous forme d un montant maximal de perte, et elle permet de synthétiser en une seule mesure une appréciation sur le risque global. de façon défensive : contrôle des risques L objectif est de déterminer des positions limites à ne pas dépasser, qui seront imposées aux traders ou aux business units. Au-delà de ces limites, il n est plus possible de prendre une position sans l autorisation d un responsable risque. Cette méthode vise à limiter la prise de risque au-delà d une limite acceptable. Pour être pertinent, le contrôle des risques doit être global. Les développements informatiques associés, sont donc des applications dites «transverses», souvent complexes, regroupant des informations en provenance de tous les centres d'activités. de façon active : management des risques La VaR est utilisée dans l allocation du capital entre les tradeurs, les business lines, les produits et ou les institutions. Exemple 1 : Réglementation prudentielle Bâle II et capital réglementaire La réglementation Bâle II autorise les banques à déterminer leur capital nécessaire pour répondre au risque de marché par un modèle interne utilisant la VaR(99%, 10j). Le capital réglementaire exigé vaut généralement 3 fois la VaR(99%, 10j). Exemple 2 : problème d allocation des fonds propres Il s agit, pour le dirigeant d entreprise, d évaluer d abord le montant de fonds propres nécessaire pour couvrir l activité globale (notamment pour éviter la faillite) et ensuite de trouver une clé de répartition de ces ressources entre les différentes branches qui composent cette activité. Cette clé doit associer des exigences de rendement et de maîtrise du risque tout en restant compréhensible et justifiée en interne Types de risques mesurés par la VaR La Value-at-Risk permet de mesurer différents risques, sur différents marchés (marché des changes, marché financier, marché des produits dérivés), et pour différents actifs à risque (change, actions, obligations, options, etc ) L objectif de la VaR est de fournir une mesure du risque total de portefeuille. Par conséquent, la VaR doit tenir compte des effets de levier et de diversification. En effet, la diversification d'un portefeuille de titres ou d'actifs permet en variant les types de placements, soit de réduire le risque pour un niveau de rentabilité donné, soit d'améliorer la rentabilité pour un niveau de risque donné. Pour un groupe la diversification permet de réduire le risque de volatilité des résultats. 4

5 La VaR mesure donc différents risques financiers, généralement classés en quatre grandes catégories : Risques de marché Il s agit du risque de perte lié à l évolution des niveaux ou à la volatilité des prix du marché. Les différents facteurs de risques liés au marché sont les taux, les cours de change, les cours des actions et les prix des matières premières. Toute variation de ces données a un impact sur les positions et les portefeuilles détenus par la salle. Il s agit du principal champ d utilisation de la VaR. Risques de liquidité Il est composé du risque de liquidité d actifs (asset liquidity risk) et du risque de liquidité de financement (cash flow risk). L Asset Liquidity Risk est le risque de ne pouvoir vendre à son prix un titre financier. Il peut se traduire, soit par une impossibilité effective de le vendre, soit par une décote. Le Cash Flow Risk est lié au fait que les banques reçoivent majoritairement des dépôts à court terme de leurs clients et font des prêts à moyen et long terme. Il peut donc se créer un décalage entre les sommes prêtées et les sommes disponibles, car ces dernières peuvent être insuffisantes. Dans ce cas on parle de manque de liquidités. Risques de crédit Il résulte de l'incertitude quant à la possibilité ou la volonté des contreparties ou des clients de remplir leurs obligations. Il existe un risque pour une banque, dès qu elle se met en situation d attendre une entrée de fonds de la part d un client ou d une contrepartie du marché. Exemple 1 : Un client utilise son compte courant pour effectuer des paiements: si la banque autorise le client à être à découvert, il y a risque de crédit. Exemple 2 : La banque négocie sur le marché des changes une vente à terme d'euros contre dollars avec une autre banque. A l échéance, la banque acheteuse émet son paiement eu euros en direction de sa contrepartie. Elle s expose au risque que la banque émettrice ne paie pas les dollars. Risques opérationnels Le comité de Bâle définit le risque opérationnel comme le "risque de pertes provenant de processus internes inadéquats ou défaillants, de personnes et systèmes ou d'événements externes". Cette définition recouvre les erreurs humaines, les fraudes et malveillances, les défaillances des systèmes d'information, les problèmes liés à la gestion du personnel, les litiges commerciaux, les accidents, incendies, inondations, etc Des défaillances spectaculaires, comme celle de la Barings, ont attiré l'attention des autorités de tutelle sur la nécessité de doter les banques de mécanisme de prévention et de couverture contre les risques opérationnels, via la constitution de fonds propres dédiés. 5

6 1.4. Comment adapter la VaR en assurance? Nous avons vu que la Value-at-Risk a été créée historiquement au sein de banques d investissement pour contrôler le risque du marché. Comme ce sont en effet les opérations de trading qui génèrent la majeure partie du risque de marché d une banque, la VaR est utilisée pour mesurer le risque des positions prises par les gérants de portefeuille. Ces positions changent fréquemment et peuvent être libérées rapidement. Par conséquent, les banques évaluent leur risque de marché pour des horizons courts. En pratique, la VaR est donc estimée pour une journée ou quelques jours. La méthodologie de calcul de la VaR a été étudiée pour le secteur bancaire, et elle n est pas directement applicable dans le secteur de l assurance. a. Résumé du principe de fonctionnement d une société d assurance Contre le versement d une somme appelée prime, une société, soit une mutuelle, soit une société de capitaux, s engage à procéder à une indemnisation en cas de réalisation d un sinistre. Le risque couvert est donc transféré entièrement ou en partie de l assuré à l assureur. La société d assurance peut se permettre d assumer le risque dans la mesure où elle procède à une addition de nombreux risques similaires, cohérents et non corrélés entre eux. L assureur bénéficie donc d un effet de mutualisation des risques, qui est la base même de l activité d assurance. Etant donné que les primes sont versées avant la réalisation du sinistre, l assureur est en trésorerie positive. La compagnie d assurance dispose donc de fonds qui doivent être placés à plus ou moins longue échéance sur les marchés financiers, afin de bénéficier d un rendement intéressant. La compagnie d assurance doit cependant s assurer qu elle dispose d une certaine liquidité pour faire face au paiement des sinistres. Les pouvoirs publics ont éprouvé le besoin de réguler ce secteur et d assurer une supervision prudentielle. Toutes ces règles sont rassemblées dans le Code des Assurances. Le but de cette supervision est de permettre à la compagnie d assurance de respecter ses engagements à l égard des assurés. L un des grands principes de la supervision concerne la qualité des actifs : Règle de cumul Une société d assurance doit limiter la part de chaque type de titres dans son portefeuille (ex : actions, obligations, placements immobiliers). Règle de dispersion Une société d assurance ne doit pas s exposer à un seul émetteur. Elle ne doit pas posséder plus de 5% de titres d un même émetteur. Règle de congruence Une société d assurance doit limiter le risque de change en établissant un lien entre les placements et les engagements en devise. 6

7 b. Adaptation de la VaR en assurance L objectif de la gestion financière en assurance est donc l optimisation du portefeuille, via le couple rendement/risque, tout en respectant les contraintes réglementaires et les engagements à l égard des assurés et des actionnaires. Les sociétés d assurance définissent donc une politique d investissement prudente et à long terme. Une société d assurance achète donc des actifs financiers qui garantissent un rendement à long terme lui permettant de respecter ses engagements envers ses assurés et ses actionnaires. Son but n est pas de spéculer. Le portefeuille d une société d assurance est par conséquent beaucoup plus stable dans le temps que celui d une institution financière. Néanmoins, les assureurs doivent obtenir un rendement à plus court terme de leur portefeuille d actifs tout en maîtrisant son risque. Cela impacte aussi la politique financière à court et à long terme. Notamment, le risque de marché doit être évalué conformément au timing de reporting financier, généralement trimestriel et annuel. Cette évaluation du risque de marché peut être utilisée comme un indicateur de la solvabilité de l entreprise face à de brutales évolutions du marché, et permettre de fixer le montant des fonds propres annuels. Par conséquent, les sociétés d assurance devraient chercher à estimer leur risque de marché via la VaR pour des horizons allant de 3 mois à un an. Par conséquent, l estimation de la VaR journalière dans le secteur de l assurance n a aucun sens. Par ailleurs, une spécificité inhérente au secteur de l assurance est la forte proportion des produits de dette (obligations, prêts et dépôts) dans les portefeuilles des sociétés. Ces différentes caractéristiques influencent donc l estimation du risque de marché. Pour adapter la VaR dans le domaine de l assurance, il est nécessaire de modifier la méthodologie de calcul, en considérant des horizons plus longs, et un portefeuille stable sur la période d estimation, comprenant une grande quantité de produits de taux. 7

8 c. Utilisation de la VaR dans dans le calcul du besoin en fonds propres Qu est ce que le besoin en fonds propres? Le besoin en fonds propres est dû à la fois à des contraintes de solvabilité et de rentabilité. Dans le domaine de l assurance Non Vie, le besoin de fonds propres dépend de plusieurs points de vue : celui des assurés, des organismes de contrôle et des agences de notations Contraintes de solvabilité celui des actionnaires et du management de la compagnie Contraintes de rentabilité Il peut être défini de façon interne ou externe : Vision interne de la compagnie Il s agit du niveau de capital dont souhaite disposer la compagnie, afin de respecter l objectif de solvabilité qu elle s est fixée, i.e. pour maintenir son activité. Ce capital est évalué à partir des risques propres à la compagnie et est fondé sur ses propres estimations, issues de données qui peuvent être confidentielles. Vision externe du besoin en capital Il s agit du niveau de capital désiré par des acteurs extérieurs à l entreprise, à savoir, les organismes de contrôle qui déterminent un capital réglementaire, et les agences de notations qui évaluent le niveau de capital exigé par le marché La Value-at-Risk, une mesure de risque pour évaluer le besoin en fonds propres Une des mesures de risque permettant d évaluer le besoin en fonds propres d une compagnie d assurance est donc la Value-at-Risk. Pour cela, on doit définir une probabilité de ruine : D un point de vue probabiliste, on considère la variable aléatoire X, représentant le résultat de la compagnie (en assurance, X peut également représenter la charge agrégée des sinistres). On définit alors la fonction de répartition de X : = C est la probabilité que le résultat de la compagnie soit inférieur à un certain montant m. La probabilité de ruine d une compagnie est la probabilité que le capital initial C connu, soit absorbé par un résultat déficitaire, i.e. = La VaR correspond au capital minimal nécessaire pour ne pas être en ruine avec une probabilité supérieure à 1. = = 8

9 Lien avec la réglementation européenne Dans le prolongement de la réforme Bâle II pour les banques, l Union Européenne a établi un nouveau cadre réglementaire en matière de gestion des risques pour les compagnies d assurance, baptisé «Solvency II». Par rapport à la directive Solvency I, cette réforme est beaucoup plus sensible aux risques réels supportés par la compagnie. Différents niveaux d adaptation sont possibles, jusqu au développement de modèles internes. Solvency II impose ainsi un véritable dispositif de mesure et de supervision du risque. L un des piliers de cette réforme détermine des exigences quantitatives à respecter, notamment sur l harmonisation des provisions et l instauration de minima de fonds propres. Le Minimum de Solvabilité Requis est l une de ces exigences. Son objectif est de renforcer les assurances contre la répétition de situations exceptionnelles. Plusieurs méthodes de calcul sont à l étude : Risk-Based Capital Méthode factorielle, chaque type de risque est couvert par un montant de capital donné. Value-at-Risk Montant de capital permettant d avoir une probabilité de ruine inférieure à 0,5% sur une année, en prenant compte de l ensemble des risques encourus par l entité. 9

10 II. Définition probabiliste de la Value-at-Risk 2.1. Définition de la VaR La Value-at-Risk définie pour un taux de couverture de % correspond au quantile d ordre de la distribution de profits et pertes (profits and looses, P&L) associée à la détention d un actif ou d un portefeuille d actifs sur une période donnée. Fonction de répartition de rendements sous l'hypothèse gaussienne Données: Rendements AXA du au ,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0-0,15-0,1-0,05 0 0,05 0,1 0,15 Probabilité cumulée F(x) Fonction de densité de rendements sous l'hypothèse gaussienne Données: Rendements AXA du au ,15-0,1-0,05 0 0,05 0,1 0,15 Densité de probabilité f(x) Figure 1 : La VaR, un fractile de la distribution des P&L 10

11 La VaR d'un portefeuille dépend essentiellement de 3 paramètres : La distribution des profits et des pertes (P&L) du portefeuille ou de l actif Souvent cette distribution est supposée gaussienne, mais beaucoup d'acteurs financiers utilisent des distributions historiques. La difficulté réside alors dans la taille de l'échantillon historique : s'il est trop petit, les probabilités de pertes élevées sont peu précises, et s'il est trop grand, la cohérence temporelle des résultats est perdue, car on compare des résultats non comparables. Les données de P&L à partir desquelles on calcule une VaR sont généralement exprimées sous forme de rendements. Le niveau de confiance choisi (95 ou 99% en général) C'est la probabilité que les pertes éventuelles du portefeuille ou de l'actif ne dépassent pas la VaR. L'horizon temporel choisi (période de détention de l actif) Ce paramètre est très important car plus l'horizon est long plus les pertes peuvent être importantes. 11

12 On note : a. Distribution des profits et pertes (P&L) la valeur d un actif ou d un portefeuille à la date t l ensemble des paiements intermédiaires obtenus entre les dates t-1 et t Les profits et pertes associés à la détention de l actif ou du portefeuille sont alors définis par : / = + Les valeurs positives indiquent des profits et les valeurs négatives indiquent des pertes. Exemple : Dans le cas où l on ne reçoit aucun paiement intermédiaire entre les dates t-1 et t : Si le prix de l actif a augmenté : > donc > 0 il s agit d un profit Si le prix de l actif a baissé : < donc < 0 il s agit d une perte Les P&L sont généralement exprimés sous forme de rendements géométriques, notés, et définis par : = ln + Les rendements géométriques supposent que les paiements intermédiaires sont ré-investis en continu, et garantissent que le prix des actifs n est jamais négatif. Un rendement positif indique un gain ( > 0) et un rendement négatif indique une perte ( < 0). On suppose que est une variable aléatoire réelle, caractérisée par sa fonction de densité : R Cette fonction de densité est appelée la distribution des profits et pertes (P&L). b. Définition probabiliste de la VaR On se fixe : un horizon temporel d une journée (détention de l actif pendant 1 journée) un taux de couverture % La Value-at-Risk, notée correspond à l opposé du fractile d ordre de la distribution des P&L. = = Où. désigne la fonction de répartition associée à la fonction de densité. 12

13 NB : La VaR correspond généralement à une perte, donc il s agit d une valeur négative. Pour simplifier, on définit donc la VaR en valeur positive, c est pourquoi on prend l opposé du fractile Comment estimer la Value-at-Risk? La VaR n est donc rien d autre qu un fractile de la distribution de Profits et Pertes (P&L). Si la distribution est connue, on en déduit immédiatement la VaR. L estimation de la Value-at-Risk consiste donc à estimer la fonction de densité associée à la distribution P&L, ou les paramètres de cette densité, ou directement le fractile. 13

14 Partie II : Estimation de la Value-at-Risk I. Estimation paramétrique Les méthodes paramétriques d estimation de la VaR reposent sur 3 hypothèses simplificatrices : 1. Les distributions des rendements des actifs qui composent le portefeuille suivent une loi normale. 2. La relation entre les variations de valeur du portefeuille et les variations des variables du marché sont linéaires. 3. Les produits dérivés (Futures, Swaps, ) sont linéaires. Remarque 1 : Les options constituent une exception à ses trois hypothèses. En effet, les portefeuilles d options dépendent non linéairement des rendements des actifs et ne suivent pas une distribution normale. Remarque 2 : Ces hypothèses sont très contraignantes mais on peut corriger la non-normalité des distributions en introduisant des coefficients d asymétrie (coefficient de Skewness) ou d aplatissement (coefficient de Kurtosis) Préliminaires : Approche univariée On considère la VAR associée à la distribution P&L d un seul actif (change, action, obligation, etc.). En d autres termes, on considère le rendement global du portefeuille comme celui d un actif particulier et on calcule la VaR directement sur ce rendement agrégé. (H1) On suppose que la distribution des P&L à la date t est une distribution normale d espérance et de variance ~, On cherche donc la valeur de la VAR à la date t pour un taux de couverture de % telle que : = = D après l hypothèse (H1) : ~, Donc, soit Φ la fonction de répartition de la loi normale 0,1, on obtient : = = 14

15 Sous l hypothèse H1, la VaR associée à un taux de couverture de % est définie par : espérance de la distribution des P&L variance de la distribution des P&L = NB : En réalisant ces calculs sur une distribution journalière des rendements, on exprime une VaR à horizon d un jour. Pour passer d un horizon d un jour à un horizon de X jours, on utilisera la formule suivante : = 15

16 1.2. Approche variance covariance Il s agit d une approche multivariée de la VaR. Au lieu de considérer le rendement global du portefeuille comme celui d un actif particulier, on prend en compte explicitement les corrélations entre les actifs du portefeuille. On considère un portefeuille de N actifs corrélés entre eux. Soit le rendement du portefeuille d actifs à la date t, = L hypothèse principale est donc que Les distributions des rendements des actifs qui composent le portefeuille suivent une loi normale, i.e. ~, On définit donc la rentabilité espérée du portefeuille, i.e. son espérance par : = = = On définit ensuite la volatilité du portefeuille, i.e. sa variance par : Où : =, = =,, le vecteur représente le poids des actifs dans le portefeuille le vecteur représente l espérance des rendements des actifs du portefeuille la matrice Γ est la matrice de covariance des actifs du portefeuille On aboutit donc à la définition suivante : Dans le cas d un portefeuille corrélé d actifs, la formule de calcul de la VaR associée à un taux de couverture de % est la suivante : = = Où : le vecteur représente le poids des actifs dans le portefeuille le vecteur représente l espérance des rendements des actifs du portefeuille la matrice Γ est la matrice de covariance des actifs du portefeuille 16

17 1.3. Méthode RiskMetrics Ce modèle a été développé par la banque JP Morgan au début des années 90. Il diffère de l approche Variance-covariance au niveau du calcul de la volatilité des rendements du portefeuille. La volatilité est estimée en utilisant ses valeurs passées ainsi que celles des rendements en accordant plus de poids aux valeurs les plus récentes. Ceci permet de pouvoir s adapter plus facilement aux changements de conditions de marché et de pouvoir mieux tenir compte des évènements extrêmes. On note la volatilité des rendements du portefeuille à la date t : = La volatilité conditionnelle des rendements du portefeuille va être une combinaison linéaire de l innovation passée et de la valeur passée de la volatilité : Où est un paramètre de lissage = 0,97 On aboutit donc à la définition suivante : = + Dans le cas d un portefeuille corrélé d actifs, la VaR issue de RiskMetrics définie pour un taux de couverture de % peut s écrire sous la forme : = Où : est estimée à partir de la formule = + paramètre de lissage (on fixe souvent = 0,97) 1.4. Avantages et limites des méthodes d estimation paramétriques Le principal avantage des méthodes d estimation non paramétriques est que les calculs sont simples et rapides, et nécessitent de connaître uniquement la matrice de variance-covariance des rendements du portefeuille. Cependant, ces méthodes restent inadaptées aux portefeuilles non linéaires, aux queues de distribution épaisses et aux distributions non normales de rendements. 17

18 II. Estimation non paramétrique On n impose a priori aucune distribution paramétrique de pertes et profits. Dans cette section, on considèrera une approche univariée de la VaR, i.e. le portefeuille est considéré comme un actif particulier possédant un rendement global Simulation historique (HS Historical Simulation) Il s agit de la méthode la plus simple à réaliser, et certainement la plus utilisée actuellement. a. Principe et définition Le principe de cette méthode est d estimer la VaR par le fractile empirique des rendements passés. Soit,,, une séquence de rendements d un actif ou d un portefeuille, pour t allant de 1 à T. On dispose d une série de T réalisations,,, associée à cette séquence de variables aléatoires. Problème : On ne dispose que d une seule réalisation pour chaque variable aléatoire. Il est donc impossible d estimer la densité associée et la VaR. La méthode de simulation historique va donc reposer sur l hypothèse suivante : (H1) On suppose que les rendements observés à la date t sont identiquement et indépendamment distribués i.e. = = = Grâce à cette hypothèse, on dispose maintenant d un échantillon de T réalisations,,, d une variable aléatoire de densité.. On peut donc estimer la VaR : Sous l hypothèse H1, un estimateur convergent de la Var pour un taux de couverture de % est défini par le fractile empirique d ordre associés aux T réalisations historiques des rendements,,, =, + 18

19 b. Exemple d utilisation : Cours de clôture AXA du 25/10/2007 au 23/10/ ère étape : Télécharger les cours sur Internet en format TXT (URL : ) 2 ème étape : Enregistrer au format CSV afin de pouvoir exploiter les données sous Excel 3 ème étape : Exploitation des données On dispose donc du cours de clôture de l action AXA du 25/10/2007 au 23/10/2009. A partir de ces valeurs, on calcule le rendement associé : Soit la valeur de l actif à la date t, le rendement associé est défini par : = Ensuite, on peut exploiter ces données sous Excel ou R Sous Excel On peut ainsi visualiser le graphe des rendements quotidiens d AXA du 25/10/2007 au 23/10/2009 : Rendements quotidiens AXA du 25/10/2007 au 23/10/2009 0,3 0,2 0,1 0-0,1-0,2-0,3 Figure 2 : Rendements quotidiens AXA sous Excel On classe ensuite les valeurs de la distribution des rendements par ordre croissant et on obtient alors le graphe des fractiles de la distribution des rendements. Pour obtenir la VaR, il suffit de prendre en abscisse le taux de couverture souhaité (par exemple 5%) et en ordonnée on obtient le fractile correspondant i.e. la Value-at-Risk pour le taux de couverture considéré. Fractiles AXA 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0-0,05-0,1-0,15-0,2-0,25 19

20 Script R Sous R Y<-read.csv("C:/Users/Pauline/Desktop/PFE SVN/Fichiers de données Excel/coursAXA.csv", header=true, sep=";") seriept<-ts(data=y[2]) seriert<-ts(data=y[3]) seriertord<-sort(seriert) plot(seriept,main="cours de l'action AXA \ndu 25/10/2007 au 23/10/2009",xlab="",ylab="Cours AXA") plot(seriert,main="rendements quotidiens AXA \ndu 25/10/2007 au 23/10/2009",xlab="", ylab="rendements AXA") plot(seriertord,main="fractiles AXA",xlab="",ylab="Rendements ordonnés") Sorties obtenues Figure 4 : Cours de l action AXA sous R Figure 5 : Rendements quotidiens AXA sous R Figure 6 : Fractiles AXA sous R 20

21 On dispose dans ce cas d un échantillon de 510 réalisations,,,. Pour un taux de couverture de 1%, la 1% va correspondre à la 6 ème valeur : % =, i.e. si l on dispose d un portefeuille d actions AXA d un montant total d 1 million d euros, si l on détient ce portefeuille d actif pendant 1 journée, il y a 1% de risque de réaliser une perte au moins égale à euros. Pour un taux de couverture de 5%, la 5% va correspondre à la 26 ème valeur : % =, i.e. si l on dispose d un portefeuille d actions AXA d un montant total d 1 million d euros, si l on détient ce portefeuille d actif pendant 1 journée, il y a 5% de risque de réaliser une perte au moins égale à euros. Données : date t valeur de l'actif rendement de l'actif 25/10/ ,17 0, /10/ ,96-0, /10/ ,35 0, /10/ ,45 0, /10/ ,86 0, /11/ ,37-0, /11/ ,04-0, /11/ ,52-0, /11/ ,25-0, /11/ ,83-0, /11/ , /11/ ,2-0, /11/ ,52 0, /11/ ,58 0, /11/ ,19 0, /11/ ,57-0, /11/ ,14-0, /11/ ,28-0, /11/ ,46 0, /11/ ,68-0, /11/ ,33-0, /11/ ,42 0, /11/ ,88-0, /11/ ,58 0, /11/ ,29 0, /11/ ,4 0, /11/ ,93 0, /10/ ,49 0, /10/ ,715 0, /10/ ,2-0, /10/ ,5 0, /10/ ,475-0, /10/ ,045-0, /10/ ,525-0, /10/ ,44-0, Rendements ordonnés -0, , , , , , = VAR(1%) -0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , = VAR(5%) -0, , , , , , , , ,

22 c. Limites de la Simulation Historique La VaR HS est l estimateur d une VaR associée à une distribution de P&L non conditionnelle. En d autres termes, cette distribution n est pas calculée sachant un ensemble d informations disponibles à la date t. Par conséquent la prévision de VaR selon la méthode de Simulation Historique sera invariante aux modifications de l environnement économique. On qualifie donc les prévisions de VaR selon la méthode de Simulation Historique de "plates" ou "pratiquement plates". d. Prévision de la VaR selon la méthode de Simulation Historique Principe : Utiliser le fractile empirique associé aux observations passées. En effet, puisque les rendements sont iid, a la même distribution que,, et donc un estimateur de sa var peut être obtenu à partir de l estimateur de la VaR des rendements passés. Le backtesting consiste à construire une séquence de prévisions de la VaR. Pour ce faire, il existe 2 solutions : Prévision Glissante : Construction d un estimateur glissant (rolling estimate) de la VaR en T+1, à partir d un ensemble d informations récentes de taille fixe appelée largeur de fenêtre. Les prévisions glissantes de la VaR pour un taux de couverture de % par la méthode HS correspondent au fractile empirique d ordre de la chronique des rentabilités passées observées sur une fenêtre de largeur. =, 100 Plus la largeur de fenêtre est petite, plus les prévisions sont volatiles. Plus la largeur de fenêtre est grande, plus les prévisions sont rigides. La VaR prévue convergera vers la VaR non conditionnelle et tendra donc vers une valeur constante dans le temps. Prévision non Glissante : Construction d une succession d estimateurs de la VaR conditionnellement à toute l information disponible. L ensemble d informations croît donc au fur et à mesure du temps. Généralement, on utilise la prévision glissante afin d introduire un minimum de conditionnement et de limiter le poids des réalisations des rendements plus anciennes. 22

23 e. Exemple de prévision de la VaR HS L objectif est de construire une séquence de prévisions de la VaR HS à 5%, pour le cours du Nasdaq du 22 juin 2005 au 20 juin On utilise pour cela la méthode d estimation glissante avec une fenêtre de 250 observations. Sur Excel 2400 Cours du Nasdaq du 22 juin 2004 au 20 juin Cours du Nasdaq Figure 7 : Cours du Nasdaq sous Excel 0,04 Rendements historiques et Prévisions de la VaR HS à 5% Cours du NASDAQ du 22 juin 2005 au 20 juin ,03 0,02 0,01 0 Rendements Prévisions de la VaR HS 5% -0,01-0,02-0,03 Figure 8 : Prévisions de la VaR HS pour le cours du Nasdaq sous Excel 23

24 2.2. Méthode Bootstrap de Simulation Historique C est une méthode stochastique alternative. On reconstitue une distribution des pertes et profits du portefeuille en allant piocher aléatoirement avec remise dans l échantillon historique. La procédure consiste à créer un grand nombre d échantillons de rendements simulés, où chaque observation est obtenue par tirage au hasard à partir de l échantillon original. A partir de chaque nouvel échantillon ainsi constitué, on estime alors la VaR par la méthode de Simulation Historique standard. Au final, on définit une estimation en faisant la moyenne de ces estimations basées sur les rééchantillonnages. Soit une séquence de rendements tirés au hasard avec remise dans l échantillon des rendements historiques, et soit la VaR-HS associée à cet échantillon de rendements bootstrappés (pour un taux de couverture de %). L estimateur BHS de la VaR correspond à la moyenne empirique des VaR-HS obtenues à partir des S échantillons bootstrappés : = Avec =, =,, Remarque : On peut combiner la méthode de méthode de Bootstrap avec d autres méthodes d estimation de la VaR. Une fois les échantillons constitués, on calcule la VaR avec la méthode désirée à partir des nouvelles distributions générées, et on définit une estimation de la VaR en faisant la moyenne des différentes estimations basées sur les ré-échantillonnages. 24

25 2.3. Weighed Historical Simulation (WHS) Dans la méthode de Simulation Historique, si l on considère une estimation de la VaR pour un taux de couverture de 1% à partir d une fenêtre glissante de 500 réalisations, cela revient à sélectionner le 5 ème rendement le plus faible parmi les 500 réalisations les plus récentes. Parmi ces 500 réalisations, tous les rendements ont donc le même poids : Le rendement de la veille va avoir la même importance que celui d il y a 500 jours. Une approche alternative consiste donc à attribuer aux observations de rendements des poids en fonction soit de leur ancienneté, soit de la volatilité observée des marchés, ou de tout autre facteur. Cette méthode de Simulation Historique «Pondérée» est qualifiée de Weighted Historical Simulation (WHS) et recouvre différentes variantes selon le facteur de pondération utilisé : La méthode Aged-weighted HS où les poids dépendent de l ancienneté des observations La méthode Volatility-weighted HS où les poids dépendent de la volatilité. L objectif est de prendre en compte les changements récents de volatilité. La méthode Correlation-weighted HS où l on ajuste les rendements passés de façon à ce qu ils reflètent les changements entre les corrélations passées et futures. Aged-weighted HS ou Méthode Hybride On exploite dans cette méthode une information supplémentaire, à savoir le caractère plus informatif des rentabilités les plus proches de l horizon de prévision. Méthodologie de calcul de la VaR Hybride On considère une largeur de fenêtre 1) On associe à chacune des rentabilités les plus récentes,,, une pondération décroissante avec le temps, i.e plus la rentabilité est ancienne, plus la pondération est faible. Les pondérations sont donc de la forme suivante : 1 1, 1 1, 1 1,, < < 1 2) On ordonne ensuite les rentabilités (et les pondérations qui leur sont associées) dans l ordre croissant. 3) On somme les poids ordonnés suivant les niveaux de rentabilité croissants jusqu à atteindre le taux de couverture de % désiré. La VaR Hybride est alors égale à la rentabilité correspondant au dernier poids utilisé dans la sommation. 25

26 2.4. Simulation Historique et Simulation Paramétrique de la densité a. Principe et définition On sait que l histogramme associé aux réalisations historiques des rendements n est pas un bon estimateur d une fonction de densité. C est un estimateur très facile à calculer mais il est peu régulier et présente une allure constante par morceaux. On se propose donc d utiliser les estimateurs obtenus par lissage, comme par exemple les estimateurs à noyaux, qui présentent de meilleures propriétés. Le principe de la méthode d estimation HS étendue est donc le suivant : Estimer tout d abord la densité conditionnelle des pertes et profits par une méthode de noyau. Puis, calculer à partir de cette densité, le fractile correspondant à la Value-at-Risk voulue. On peut ainsi estimer la Value-at-Risk pour n importe quel niveau de confiance, indépendamment de la taille de l échantillon. Avec la méthode de Simulation Historique, il est par exemple impossible de calculer la VaR sur un échantillon de 50 points pour un seuil de couverture de 1%. Le seuil de couverture minimal est en effet de 2%. Cette méthode d estimation possède cependant une limite. Les estimateurs à noyaux présentent des effets de bords. Leur précision est parfois faible sur les bords de l échantillon, i.e. là où l on souhaite estimer la VaR. Un estimateur de la VaR pour un taux de couverture de % peut être obtenu à partir de l estimateur à noyau de la fonction de densité des pertes et profits : Avec : = le noyau : R R le paramètre de lissage la taille de l échantillon On a donc : = = 26

27 Exemples de noyaux : Noyau naïf Noyau triangulaire = ; = ; Noyau gaussien = Noyau d Epanechnikov Noyau Triweight = ; = ; b. Exemple d application sous R On utilise le cours du Nasdaq du 22 juin 2004 au 20 juin 2006 comme pour l exemple précédent. Script R : Import des données et graphes du cours et des rendements #Import du cours et des rendements du Nasdaq Z<-read.csv("C:/Users/Pauline/Desktop/PFE/coursNASDAQ.csv", header=true, sep=";") seriept2<-ts(data=z[2]) seriert2<-ts(data=z[3]) #Représentation graphique du cours et des rendements du Nasdaq du 22 juin 2004 au 20 juin 2006 plot(seriept2,main="cours du Nasdaq \ndu 22 juin 2004 au 20 juin 2006",xlab="",ylab="Cours du Nasdaq") plot(seriert2,main="rendements quotidiens du Nasdaq \ndu 22 juin 2004 au 20 juin 2006",xlab="",ylab="Rendements") Sorties obtenues : Figure 9 : Cours du Nasdaq sous R Figure 10 : Rendements du Nasdaq sous R 27

28 Script R : Différents noyaux et estimateurs de densité associés #Noyau Gaussien fkgaussien=function(x) { return (1/(sqrt(2* ))*exp(-0.5*x*x)) } #Noyau Epanechnikov fkepanechnikov=function(x) { if(abs(x)<=1) {return (3/4*(1-x^2))} else {return (0)} } #Kernel density with Gaussian Kernel densitenoyau1=function(seriert2,x,h) { sum=0 n=dim(seriert2)[1] for(i in 1:n) { sum=sum+fkgaussien(((seriert2[i]-x)/h)) } return (sum/(n*h)) } #Kernel density with Epanechnikov Kernel densitenoyau2=function(seriert2,x,h) { sum=0 n=dim(seriert2)[1] for(i in 1:n) { sum=sum+fkepanechnikov(((seriert2[i]-x)/h)) } return (sum/(n*h)) } 28

29 Script R : Graphique des estimateurs de densités #Graphiques des densités #Graphique 1 : Estimateur à noyau de la densité avec noyau gaussien G1=c(400,1) U1=c(400,1) x=-2 i=1 while(i<=400) { G1[i]=densiteNoyau1(serieRt2,x,0.28) U1[i]=x i=i+1 x=x+0.01 } plot(u1,g1,type="l", main="estimateur à noyau de la densité\n Noyau Gaussien h=0.25",ylab="", xlab="") #Graphique 2 : Estimateur à noyau de la densité avec noyau d'epanechnikov G2=c(400,1) U2=c(400,1) x=-2 i=1 while(i<=400) { G2[i]=densiteNoyau2(serieRt2,x,0.28) U2[i]=x i=i+1 x=x+0.01 } plot(u2,g2,type="l", main="estimateur à noyau de la densité\n Noyau Epanechnikov h=0.25",ylab="", xlab="") Sorties obtenues : Figure 11 : Estimateur à noyau sous R Cas Gaussien Figure 12 : Estimateur à noyau sous R Cas Epanechnikov 29

30 III. Estimation semi-paramétrique 3.1. Théorie des valeurs extrêmes La théorie des valeurs extrêmes mesure le risque extrême directement à partir des queues de distribution, contrairement aux autres méthodes qui estiment la distribution dans son ensemble. a. Cadre d analyse On considère un n-échantillons,,, de variables aléatoires iid de fonction de répartition F. Soit = max,, représentant la plus grande perte observée sur les n pertes observées,,. Les variables aléatoires,, étant iid, on peut facilement calculer la fonction de répartition de : =,, = Cependant, si on considère right-end point de F, i.e. le point tel que : = < 1 On remarque que : = < > = = La loi de converge donc vers une loi dégénérée (prenant seulement les valeurs 0 ou 1), lorsque n tend vers l infini. Le principe de la théorie des valeurs extrêmes va donc être d identifier la famille de loi vers laquelle va converger et d estimer F par cette fonction, lorsque n tend vers l infini. On veut donc trouver les distributions limites telles que : = non dégénérée b. Théorème limite de Fisher-Tippett Il s agit du théorème fondamental de la théorie des valeurs extrêmes. On considère des variables aléatoires iid. S il existe des constantes > 0 et R et H une fonction de distribution non dégénérée telle que = Alors H appartient à l un des 3 types suivants de distribution : Type 1 : Fréchet > 0, =, > 0 Type 2 : reverse Weibull > 0 =,, > 0 30

31 Type 3 : Gumbel = Ψ, Φ et Λ sont appelées les distributions standards de valeurs extrêmes. Définition : On dit que la variable aléatoire X (ou la fonction de répartition F) appartient au MDA (Maximum Domain of Attraction) de H, si > 0, R = R Dans la pratique, la majorité des lois usuelles appartiennent à l un des 3 MDA de Gumbel, Fréchet ou Weibull. Exemple : Les distributions exponentielles, Gamma et Log-normale appartiennent au MDA Gumbel (distributions à queues fines). Les distributions de Pareto, Log-Gamma et de Student appartiennent au MDA Fréchet (distributions à queues lourdes). Les distributions uniformes appartiennent au MDA Weibull (distributions sans queue). Figure 13 : Densités des distributions standards de valeurs extrêmes Proposition : [Jenkinson Von Mises] Ψ, Φ et Λ sont des cas particuliers de la distribution = + Avec paramètre de localisation et paramètre de dispersion. 31

32 Cette fonction de distribution correspond à la loi de probabilité des valeurs extrêmes généralisée, appelée «Generalized Extreme Value distribution» (GEV). On a les correspondances suivantes : Fréchet : = > 0 Weibull : = < 0 Gumbel : 0 Remarque : En pratique, on ne connaît pas les valeurs de, et. Il faut donc les estimer à partir des données (par exemple par la méthode du maximum de vraisemblance) et les remplacer par leur estimation. Le paramètre est couramment appelé «indice de queue» ou «indice de valeur extrême». Plus cet indice est élevé en valeur absolue, plus le poids des extrêmes dans la distribution initiale est important. On parle alors de distributions à «queues épaisses». c. Méthode des excès et distribution de Pareto généralisée La méthode des excès est également connue sous le nom de Peaks Over Threshold (POT). Elle permet de modéliser les queues de distribution d une série de données. A partir de cette distribution, on peut alors estimer la probabilité d occurrence d évènements rares, au-delà des plus grandes valeurs observées. Définition : Soit X une variable aléatoire de fonction de répartition F et un réel suffisamment grand appelé seuil. On définit les excès au-delà du seuil comme l ensemble des variables aléatoires Y telles que : =, > On appelle right-end point de F, le point tel que : = < 1 On cherche donc à partir de la distribution F de X, à définir une distribution conditionnelle par rapport au seuil pour les variables aléatoires dépassant ce seuil. On définit alors la distribution conditionnelle des excès par : = < > = = < > = + pour pour L objectif de la méthode POT est de déterminer par quelle loi de probabilité il est possible d estimer cette distribution conditionnelle des excès. 32

33 Le théorème de Picklands, Balkema et Haan va être le résultat théorique central de la théorie des valeurs extrêmes : Théorème : [Picklands, Balkema et Haan] Si F appartient à l un des 3 MDA de Gumbel, Fréchet ou Weibull, alors il existe une fonction de répartition des excès au-delà du seuil, notée qui peut être approchée par une loi de Pareto Généralisée (GPD) telle que :, = La loi de Pareto généralisée, s écrit sous la forme :, = + où est la loi de probabilité des valeurs extrêmes généralisée. En considérant le modèle GEV avec le paramètre de localisation = 0 (car pour les excès l effet de ce paramètre est pris en compte dans la suite ), on montre que la loi GPD correspond à : +, = = ; ; < 0 On a vu que plus l indice de queue est élevé, plus la ditribution considérée a des queues épaisses. Par conséquent, > 0 signifie que la probabilité d occurrences de rentabilités extrêmes et notamment le risque de pertes extrêmes est plus importante que ce que prévoit la loi normale. Ainsi, le risque d investissement, i.e. des pertes extrêmes est d autant plus important que l indice de queue correspondant à ses plus faibles rentabilités (queue gauche) est élevé. A partir de ces résultats, il est possible d évaluer la perte maximale pour une probabilité donnée et sous des conditions de marché extrêmes. Un estimateur de la distribution conditionnelle des excès et donc un estimateur de la VaR avec le nombre d excès au-delà du seuil sont ainsi donnés par : = + Et donc : = + 33

34 IV. Méthode de Monte Carlo 4.1. Présentation La méthode utilisant la simulation de Monte Carlo est similaire à la simulation historique dans le sens qu il s agit d une méthode de valorisation totale basée sur divers scénarios. Cette méthode ne suppose pas que les variables de marché suivent une distribution normale. Contrairement à la méthode historique, où les scénarios se sont déjà déroulés dans le passé, les scénarios de la méthode de Monte Carlo sont générés au hasard. Ils ont une forme similaire à celle des scénarios passés mais ils ne sont pas limités par l histoire. A partir de cette simulation, on en déduit une distribution de pertes et profits des scénarios. La Value-at-Risk correspondra donc au fractile empirique de cette distribution (Simulation historique). Exemple : Si on dispose de scénarios, la VaR associée à un taux de couverture de 1% sera déterminée par la perte du 100 ème scénario le plus défavorable. Distributions des pertes des scénarios Pertes Scénarios classés par ordre du plus défavorable au plus favorable Figure 14 : Exemple de Simulation de Monte Carlo 34

35 4.2. Avantages et limites de la méthode de Monte Carlo L avantage de cette méthode d estimation est qu elle convient à tous les types d instruments, y compris les options, et qu elle permet de tester de nombreux scénarios et d y inclure explicitement des queues de distribution épaisses. Les évènements extrêmes peuvent donc être pris en compte dans une certaine mesure, ce qui n est pas le cas des méthodes d estimation paramétriques. L inconvénient essentiel de la simulation de Monte Carlo est le temps de calcul pour générer un grand nombre de scénarios. Cette méthode de calcul reste donc très lente pour de larges portefeuilles. En comparaison, les méthodes d estimation paramétriques comme l approche variance-covariance ou la méthode RiskMetrics permettent d obtenir des résultats instantanés et une analyse en temps réel, ce qui n est pas le cas pour les méthodes de Monte Carlo. 35

36 Partie III : Limites de la Value-at-Risk I. Introduction La Value-at-Risk présente l avantage indéniable d être simple à interpréter. Elle permet d obtenir une vision globale du risque en l exprimant sous la forme d une seule valeur, correspondant à la perte maximale encourue. Cependant, cette mesure de risque ne donne aucune information sur la sévérité de la perte, ou de la ruine dans le cas de son utilisation pour l évaluation du besoin en fonds propres d une compagnie d assurance. Elle ne permet pas de connaître l ampleur des pertes extrêmes au-delà de la Value-at- Risk. Ainsi, deux positions, que ce soit des portefeuilles dans le cas d une approche bancaire, ou des centres de profit dans le cas d une approche assurance, peuvent avoir la même Value-at-Risk, et cependant des risques extrêmes complètement différents. Figure 15 : Pertes extrêmes au-delà de la VaR Cette mesure de risque peut donc entraîner des agents à prendre de mauvaises décisions d investissement ou à prendre volontairement plus de risques. 36

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