Les inéquations. NIVEAU 3ème

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Armand Beaudin
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1 Les inéquations NIVEAU 3ème Dans ce cours nous verrons Comment résoudre une inéquation Comment représenter les solutions sur une droite graduée Des exercices pour s'entraîner I- RESOUDRE UNE INEQUATION 1) Un peu de vocabulaire pour commencer... Notion d'inégalité : symboles à connaître > est le symbole qui signifie "supérieur à" ou "strictement supérieur à" < est le symbole qui signifie "inférieur à" ou "strictement inférieur à" est le symbole qui signifie "inférieur ou égale" est le symbole qui signifie "supérieur ou égale" 2) Notion d'ordre et d'opérations On considère les deux inégalités suivantes 6 < 9 a) que devient cette inégalité si on ajoute 5 aux deux membres? 6+5<9+5 11<14 b) que devient cette inégalité si on multiplie les deux membres par 3? Puis si l'on divise les deux membres par 2? 11 3< < < ,5<21

2 c) Que devient cette inégalité si on multiplie les deux membres par -2? Puis si l'on divise les deux membres par -3? 16,5 ( 2)<ou>21 ( 2)? 33> <ou>42 3? 11> 21 d) Quelles sont les opérations qui conservent l'ordre? Quelles sont les opérations qui inversent l'ordre? On conserve l'ordre lorsqu'on ajoute ou que l'on soustrait un même nombre au deux membres d'une inégalités. Autrement dit, une opération par la somme ou par la soustraction ne change pas le sens de l'inégalité. On conserve l'ordre lorsque l'on multiplie ou que l'on divise les deux membres d'une inégalité par un nombre strictement positif. Autrement dit, une opération par le produit et par le quotient avec un nombre strictement positif ne change pas le sens de l'inégalité. On inverse l'ordre lorsqu'on multiplie ou que l'on divise les deux membres d'une inégalités par un nombre strictement négatif. Autrement dit, une opération par le produit et par le quotient avec un nombre strictement négatif change le sens de l'inégalité. 3) Inéquation : Notion d'inéquation et Méthode de résolution a) Notion d'inéquation Lorsque l'un des nombres présent dans une inégalité est inconnu, on ne parle plus d'inégalité mais d'inéquation. Exemple On considère l'inéquation x+8 7+2x Elle est composée d'un membre de gauche et d'un membre à droite de l'inégalité de nombres connus : 8 et -7 d'opérations : +, -, x d'une inconnue : x b) Résoudre une inéquation Résoudre une inéquation c'est trouver toutes les valeurs du nombre inconnu pour lesquelles l'inégalité sera vérifiée.

3 Méthode : Pour résoudre une inéquation il faut isoler l'inconnue, c'est-à-dire obtenir d'un côté une inconnue et de l'autre côté de l'inégalité un nombre connu. Exemple 1 3x 6<0 il faut ajouter +6 aux deux membres 3x<6 il faut diviser les deux membres par 3 x<2 phrase réponse : l'ensemble des solutions sont les nombres strictement inférieurs à 2 Exemple 2 3x 48<0 il faut retrancher 48 aux deux membres 3x<48 il faut diviser les deux membres par -3 x> 48 3 x> 16 phrase réponse : l'ensemble des solutions sont les nombres strictement supérieurs à -16 Exemple 3 5x+115< 20 il faut retrancher 115 aux deux membres 5x< x< 135 il faut diviser les deux membres par 5 ET changer le sens de l'inégalité x> x>27 phrase réponse : l'ensemble des solutions sont les nombres strictement supérieurs à 27 Exemple 4 5x+9>3x 1 Il faut rassembler les termes inconnus d'un côté de l'inéquation il faut soustraire 3x aux deux membres 5x+9 3x> 1 2x+9> 1 il faut soustraire 9 aux deux membres 2x> 1 9 2x> 10 il faut diviser les 2 membres par 2

4 x> 10 2 x> 5 phrase réponse : l'ensemble des solutions sont les nombres strictement supérieurs à -5 Exemple 5 5x 4<2x+8 Il faut rassembler les termes inconnus d'un côté de l'inéquation il faut soustraire 2x aux deux membres 5x 4 2x<8 3x 4<8 il faut ajouter +4 aux deux membres de l'inéquation 3x<8 4 3x<4 Il faut diviser les 2 membres par 3 x< 4 3 X <0,75 phrase réponse : l'ensemble des solutions sont les nombres strictement inférieurs à 0,75 Exemple 6 3x+2<8+6x Il faut retrancher 6x des deux membres 3x 6x+2<8 3x+2<8 il faut retrancher 2 des deux membres 3x<8 2 3x<6 Il faut diviser chaque membre par -3 ET changer le sens de l'inégalité x> 6 3 x> 2 phrase réponse : l'ensemble des solutions sont les nombres strictement supérieurs à -2 II REPRESENTATION DES SOLUTIONS SUR UNE DROITE GRADUEE Les solutions d'une inéquation peuvent être représentées sur une droite graduée. a) Posons-nous les deux questions suivantes : Comment peut-on écrire l'ensemble des nombres x tels que x -4 et x < 5 Comment peut-on représenter graphiquement les nombres supérieures ou égaux à -4 et les nombres strictement inférieurs à 5

5 b) Notations et représentations graphiques Pour représenter les solutions graphiquement sur une droite graduée : on trace la droite graduée et on surligne la portion de la droite représentant l'ensemble des solutions de l'inéquation on limite la portion des solutions par un crochet. Le crochet est tournée vers les solutions si le nombre limite appartient aux solutions de l'inéquation. Le crochet est tourné à l'extérieur si le nombre limite n'appartient pas aux solutions. Exemple 1 : x+4 6 x 2 solutions Exemple 2 : x+4<6 x<2 III EXERCICES POUR S'ENTRAÎNER Exercice 1 a. Le nombre 60 est-il solution de l'inéquation 2,5 x 75>76? b. Résoudre l'inéquation et représenter graphiquement les solutions sur une droite. Exercice 2 Résoudre les inéquations et représenter les solutions sur une droite graduée. a. 3x 4 4( x 2) b. 12 8x+4(3x 5)<2x 3 c. 9x 7 (9 6x) 5x+8 Exercice 3 (Brevet Amérique du Sud, Novembre 2005) a. Résoudre l'inéquation x (x+27) b. Un bureau de recherche emploie 27 informaticiens et 15 mathématiciens. On envisage d'embaucher le même nombre x d'informaticiens et de mathématiciens. Combien faut-il embaucher de spécialistes de chaque sorte pour que le nombre de mathématiciens soit au moins égal aux deux tiers du nombre d'informaticiens?

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